函数的单调性及其应用

彭 扬 邹黎敏



函数的单调性及其应用

彭 扬 邹黎敏

（重庆三峡学院数学与统计学院，重庆万州 404020）

在大学数学教学中，函数的单调性既简单又重要，利用函数的单调性来证明不等式是一个非常有效的方法．文章利用函数的单调性，得到了几何-算术平均值不等式的一个新证明．教学实践证明，通过引入这些有趣的例题，可以让学生更好的理解和掌握函数的单调性及其应用．

函数；单调性；均值不等式

在中学或是大学数学教学中，不等式的证明是学生学习的难点，利用函数的单调性来证明不等式是一个非常有效的方法[1]144，但是，如何利用函数的单调性来证明题目所给的不等式，这是学生很难把握的知识点．本文利用函数的单调性，给出了文献[2]中一个不等式的新证明，同时也得到了关于多个正数的均值不等式的一个改进．在教学实践中，通过这些例题的引入，可以加深学生对函数单调性及其应用的理解．

文献[3]给出了不等式（1）在算子不等式中的一个应用．作为泰勒中值定理的一个应用，我们在文献[4]中得到了不等式（1）的一个推广：设，则

在本文中，利用函数的单调性，我们给出了不等式（1）的一个新证明．

简单计算可知

接下来，利用函数的单调性和数学归纳法，我们将不等式(1)推广到关于多个正实数的情形．

简单计算可知

由归纳假设可知

所以

单调性是函数的一个既简单又重要的性质，它有广泛的应用，如，利用函数的单调性可以比较两个表达式之间的大小；利用函数的单调性还可以证明与正整数有关的命题；利用函数的单调性可以求解方程；利用函数的单调性可以求参数的取值范围．本文利用函数的单调性给出了均值不等式的一个新证明，同时也得到了关于多个正数的均值不等式的一个改进，通过这种较为新颖的例题的讲解，可以加深学生对函数单调性及其应用的理解．

[1] 同济大学数学系.高等数学：上册，第七版[M].北京：高等教育出版社，2006．

[2] Limin Zou, Youyi Jiang．Improved arithmetic-geometric mean inequality and its application [J]． Journal of Mathematical Inequalities．2015（1）：107-111．

[3] 黄介武.关于有界线性算子的几个不等式[J].湖南师范大学自然科学学报，2014（4）：92-95．

[4] Limin Zou, Yi Huang． A refinement of the arithmetic-geometric mean inequality [J]． International Journal of Mathematical Education in Science and Technology．2015（1）：158-160．

（责任编辑：涂正文）

Monotonicity of Functions and Its Applications

PENG Yang ZOU Limin

The monotonicity of function is simple but important in higher education. It is an efficient method to prove some inequalities. By using this method, the paper proves a new evidence of arithmetic-geometric mean inequality. Through these interesting examples, students are expected to get a better understanding for the monotonicity of function and its applications.

function; monotonicity; arithmetic-geometric mean

O174

A

1009-8135（2016）03-0013-03

2016-01-05

彭 扬（1986-），女，重庆人，重庆三峡学院助教，硕士，主要研究矩阵分析．

邹黎敏（1984-），男，重庆人，重庆三峡学院副教授，博士，主要研究矩阵分析.