非广延统计的幂律分布律及其微观动力学基础

郑亚辉，梁法库，罗旺，任晓辉



非广延统计的幂律分布律及其微观动力学基础

郑亚辉，梁法库，罗旺，任晓辉

（齐齐哈尔大学 理学院，黑龙江 齐齐哈尔 161006）

综合介绍了非广延统计中用以推导幂律分布函数的方法，分别是最大熵原理、系综论和分子运动论等．从随机动力学角度分析了产生幂律分布的微观机制，指出这种机制源于相空间的非均匀特征，也与温度涨落相关联．这２种机制分别联系于加性噪声和乘性噪声．

幂律分布；非均匀性；乘性噪声

非广延统计是近几十年出现的一种统计理论，它于1988年由巴西物理学家C Tsallis首次提出[1]，之后得到广泛研究和认同，并被应用于医学[2]、复杂网络[3]、经济学[4]和地震研究[5]等领域．非广延统计理论不同于经典玻尔兹曼-吉布斯统计理论，它给出的分布函数不是指数型而是幂律型的．在很多复杂的系统中，幂律分布现象被多次观测和证实过，如在等离子体[6-7]、太阳磁场[8]、地震预测[9]、基因族谱[10]和股票市场[11]等系统中，都观测到了幂律分布现象．

幂律分布函数是非广延统计理论的基础，它在非广延统计的诸多领域扮演着核心角色，因此有关它的推导过程和正确性就显得至关重要．本文旨在介绍迄今为止公认的导出幂律分布函数的方法，这些方法都与经典统计有着千丝万缕的联系．

１ 幂律分布函数的导出

1.1 最大熵原理方法

熵增加原理无论是在经典统计还是在非广延统计理论中都是成立的．所以，由金斯确立的最大熵原理在非广延统计中也能使用．假定一个系统的微观状态是分立的，系统在第个微观态上的概率用表示，非广延熵和概率归一化条件可分别写为

根据归一化条件和内能的形式，定义泛函

求该泛函的极值，可得

整理后可得分布函数

其中的配分函数定义为

为了方便引入物理温度概念[13]，定义

则分布函数可写为

由最大熵原理方法给出的幂律分布函数是6维相空间的概率密度分布函数，可称为广义吉布斯分布．当时，式（9）趋向于经典统计中的指数分布，因此这种幂律形式的函数又称广义指数函数．下一种方法，是直接在系综论中讨论幂律分布函数．

1.2 系综论方法

先考虑微正则系综．微正则系综的能量是确定的，在该系综内定义的泛函不受内能限制的影响，即

很显然，由泛函导致的分布函数是等概率形式

再考虑正则系综．在正则系综，系统与一个大热源接触，它与后者构成一个复合系统．假定系统能量为，热源能量为，则复合系统总能量．一般假设热源很大，因此有．当系统与热源达到“平衡态”时，复合系统的微观状态数最多．当系统处在某个特定的微观态时，与它处在统计平衡的热源的微观状态数为．这也是系统处在该微观状态时复合系统可能的微观状态数．因此，系统处在微观态的概率可以表示为

显然，它对所有微观态求和等于1．

根据式（12），非广延熵与微观状态数之间有如下关系

引入勒让德变换

因系统与热源处于“热平衡”中，有

这样系统的平衡态分布函数就变成

显然，配分函数可以定义为

与第3能量定义中的配分函数（7）一样，式（20）配分函数也是物理温度的函数．

以上推导用了近似方法，即假定热源的能量较大．介绍一种较精确的方法，这种方法不依赖于大热源，却需要预先给出一个假定，即Almeida假定[14]

其中的展开系数为

由式（16）可得

根据式（24），并考虑到式（21），可得

将式（13）中复合系统的微观状态数进行泰勒展开，有

考虑到式（25），式（26）可进一步写为[15]

该式与用近似法得到的式（17）是完全相同的．由此可见，从Almeida假定出发，可以精确地推导出广义吉布斯分布函数．

广义吉布斯分布函数是正则系综分布函数，它是6维相空间内的概率密度分布函数．在实际应用时，如在处理输运和弛豫问题时，更希望应用单粒子分布函数，即6维相空间内的概率密度分布函数．较好的、能推导单粒子幂律分布函数的方法，是在分子运动论中，借助广义玻尔兹曼方程来实现的．

1.3 分子运动论方法

要想在非广延统计中得到幂律形式的单粒子分布函数，较好的方法是将玻尔兹曼方程加以推广．这个推广后的玻尔兹曼方程形式为[16] 2939

很显然，广义分子混沌假设实际上意味着单分子分布函数之间的关联．

因此，相应的广义H函数或说熵函数可取为

它的时间全导数为

将广义玻尔兹曼方程（28）代入后可得

可以看出，式（33）右边的第2项和第3项可以分别化为位形空间和速度空间的面积分．物理上要求将分布函数的边界条件取为零，因此右边后2项必然为零，也就是说

注意到广义分子混沌假设（29）满足2种对称性，一是对分布函数对称，即分子交换其所满足的分布函数时，分子混沌假设的形式不变；另一种是分子位置或碰撞前后的时间反对称性，即交换碰撞的前后顺序时，分子混沌假设的形式改变符号．

在这种对称性下，熵的时间导数变成

考虑到分子混沌假设的形式，可知必有

这就是熵增加原理，符合物理直觉，这说明推广的分子混沌假设是合理的．取等号，即熵达到最大值时的条件是且仅是

可以修改为

如果定义

熵取最大值的态，即平衡态时的分布函数为[16]2941

这是速度空间的幂律分布函数，与之前得到的正则分布函数形式类似．它与通过将麦克斯韦因式分解法推广得到的广义麦克斯韦速度分布函数是完全相同的[17]．

以上3种方法都有坚实的物理基础，已经发展成为非广延统计理论的三大领域．此外，还有一些与一定物理基础无关的方法，也可以导出非广延统计中的幂律分布函数．如最速下降法[18]、计数法[19]和中心极限定理法[20-21]等．这些方法没有直接的物理根源，在某种程度上可以说是纯粹的数学方法．

可以看出，推导的分布函数之所以会呈现出幂律特征，其根本原因是非广延参数偏离了1一定的数值．上述推导过程只是说明了在非广延参数偏离了1的情况下分布函数是怎样的，并没有说明该参数为什么会偏离1．也就是说还没有从根本上弄清楚产生幂律分布的物理根源是什么．弄清楚了这个问题，也就同时弄清了非广延参数的物理起源问题．为此，将从随机动力过程出发进行分析．

2 幂律分布的微观动力学基础

2.1 乘性噪声及温度涨落

从乘性噪声角度讨论非广延幂律分布产生的物理机制，考虑同时包含加性和乘性噪声的随机过程，它由无量纲随机微分方程描述

与随机微分方程（42）对应的福克-普朗克方程，按照Stratonovich规则可以表示成

非广延参数定义为

可见，温度与加性和乘性噪声都有关系．这在物理上是合理的，温度总是与某种随机运动有关．式（49）实际上是乘性噪声环境下的爱因斯坦涨落扩散关系．

乘性噪声其实意味着摩擦力系数的涨落，为了看得更清楚些，令，考虑式（46），随机微分方程变成了

方括号内的项就是涨落摩擦系数．根据这一点，C Beck提出了另一种导出幂律分布函数的方法[23]．他将摩擦系数的涨落与温度倒数，即拉格朗日乘子的涨落联系起来．为了方便，将随机微分方程改写为

按照经典步骤，该微分方程导致的分布函数是指数型的

其中的拉格朗日乘子与涨落摩擦系数的关系是

很显然，这个拉格朗日乘子已经成为了一个随机变量．既然关于它没有任何物理上的特殊要求，C Beck假定这个随机变量服从自由度为的分布，它的概率密度函数为

这个分布函数是幂律形式的，只需要做变换

它就可以转为标准的广义麦克斯韦速度分布函数（41）．

2.2 加性噪声及相空间的非均匀性

给出幂律分布的另一种解释，为此，引入二变量随机微分方程，形式为

这里只考虑加性噪声，不考虑乘性噪声，即摩擦系数与时间无关．在经典统计中，摩擦系数与随机力跟位置和动量都无关，这样得出的分布函数是指数形式的．但是，如果二者与位置和动量都有关（相空间依赖）的话，情况就不同了，这种相空间依赖性是可能的．在复杂系统中，噪声有可能表现为相空间的函数[24]．为了方便而且不影响结论，假定加性噪声是高斯白噪声，也就是说它的一阶矩和二阶矩分别是

按照Zwanzig规则[25]，与上述二变量随机微分方程对应的福克-普朗克方程为

定态分布函数总是可以表示成能量（粒子动能与势能之和）的某种函数，因此有

考虑到动量的任意性，式（61）的积分常数为零，因此能量依赖分布函数为

在一些复杂系统的反常扩散过程已经表明，扩散系数不仅与粒子动能有关[26]还与其势能有关[27-28]，所以一般地可以假设

这就是在非均匀相空间的涨落扩散关系[29]

将其代入式（62）可得解析形式的定态分布函数

上述解释假定摩擦系数与噪声关联强度同时依赖于位置和动量（速度）．与2.1中摩擦系数依赖于时间（温度涨落）不同，这次它依赖于一定的相空间位置．其物理根据可能是这样的，当系统中出现长程相互作用或关联时，摩擦力不再与速度成简单的正比关系，而是呈现出复杂的非线性关系．另一方面，当系统中存在长程作用力（或类似的等效长程力）时，随机力（噪声）也多少会带有一定的长程性质，这意味着长程力强的地方噪声关联也越强[30]．因此，这次幂律分布起因于相空间的不均匀性．

3 结语

在本文中，综述了3种在非广延统计理论中导出幂律分布函数的方法，分别是最大熵原理方法、系综论方法和分子运动论方法．最大熵方法依赖于熵增加原理，孤立系统的熵总是趋向于增加，一旦熵达到最大值，系统就处在平衡态，且具有唯一的分布函数．系综论方法的基础是等概率原理和各态遍历原理，通过等概率原理，只需计算系统的微观状态数就能确定某个能级出现的概率，各态遍历性保证了系综平均与时间平均的一致性．分子运动论方法从粒子的微观运动出发，在分析其微观运动规律的基础上给定其动理方程，即玻尔兹曼方程，最终通过求解该方程得到分布函数．从随机动力学角度来看，分布函数的幂律特征来源于相空间的非均匀性，同时也跟摩擦力涨落或温度涨落有关．根本来说，这2种机制是统一的．因为加性噪声强度的相空间依赖部分可以单独从噪声项中提出来，这样加性噪声就变成乘性噪声了．

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The power law distribution function of nonextensive statistics and its microscopic dynamic foundation

ZHENG Ya-hui，LIANG Fa-ku，LUO Wang，REN Xiao-hui

（School of Science，Qiqihar University，Qiqihar 161006，China）

Summarized several methods to be used to deduce power law distribution in nonextensive statistics，such as maximum entropy principle，ensemble theory，molecular kinetics，and so on．Analyze the microscopic mechanism to produce such power law distribution from stochastic dynamics，and conclude that this mechanism is derived from the inhomogeneous character of phase space，also related to the fluctuation of temperature．They are associated to additive noise and multiplicative noise，respectively．

power law distribution；inhomogeneity；multiplicative noise

1007-9831（2016）07-0034-08

O41

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.07.009

2016-05-31

黑龙江省教育厅科学技术研究项目（12541883）；国家自然科学基金资助项目（11405092）

郑亚辉（1979-），男，河北保定人，讲师，博士，从事非广延统计理论及其应用研究．E-mail：zhengyahui1979@163.com