关于导数学习中的几个误区

孔庆海



关于导数学习中的几个误区

孔庆海

（东北大学 理学院，辽宁 沈阳 110004）

大一学生学习理解导数会有一些误区，经常会犯一些想当然的错误，通过实例或定理对这些错误进行剖析，从而达到使学生深刻理解导数的目的．

连续；可导；可积；积分上限函数

导数是高等数学中的最重要概念之一，现在的大学生其实在高中阶段就已经会求一些简单复合函数的导数，并利用导数解决一些实际应用题．如利用导数解决函数的单调性、极值和最值；利用导数几何意义和物理意义解决一些几何问题和物理问题．但是仍有很多学生对导数的学习有些误区，会犯一些看似想当然的错误．本文尝试通过对学生学习导数易犯的几个误区的分析，来强化对导数的深刻理解，以期帮助学生更深刻地理解导数概念．

误区1给学生出个最简单的题目：随意写出一个函数来．出于习惯，绝大多数的学生会写出诸如等类型的函数，这些函数不仅连续，而且可导，甚至导函数还连续或可导．学生之所以写这些函数，主要是在中学经过长期接触或训练，在感观上会使人非常亲切，正因为这种常见与亲切，也会使人狭隘地认为：凡是有定义的函数都是连续的，甚至导函数也是连续的．

若认为只要有定义的函数都是连续的话，就没有必要还学习间断点了．有的函数处处有定义，却处处不连续，当然更不能可导，如狄利克雷（Dirichlet）函数[1-2]．

特别要指出的是：

（2）对于在某些点不可导的函数，其导函数可以有跳跃间断点．

误区2 有学生想当然的认为一个连续函数除个别的点以外都是可导的．而历史上Weierstrass第一个给出了处处连续但是处处不可导的函数[3-4]，其中：是一个正奇数，，且．

误区3一些学生学习了函数极限的局部保号性定理后，就想当然地认为导数也应该局部保号，并进一步导致错上再错．如有学生认为：若，则必存在，使得当时，，进一步再错，得到函数在时单调上升的错误结论．

误区4 由于闭区间上的连续函数具有介值定理（或零点定理），而导函数不一定连续，于是就错误地认为导函数的介值定理（或零点定理）不成立．其实，导函数的介值定理——达布（Darboux）定理[4-5]与导函数是否连续无关．

（2）见文献[1]或文献[3]．

[1] 同济大学应用数学系．高等数学（上）[M]．5版．北京：高等教育出版社，2002

[2] 刘玉琏．数学分析讲义（上）[M]．5版．北京：高等教育出版社，2008

[3] 车向凯，谢崇远．高等数学（上）[M]．5版．北京：高等教育出版社，2005

[4] George B托马斯微积分[M]．10版．叶其孝，王耀东，唐兢，译．北京：高等教育出版社，2003

[5] 陈纪修，於崇华，金路．数学分析（上）[M]．2版．北京：高等教育出版社，2010

Some misunderstandings in the study of derivative

KONG Qing-hai

（School of Science，Northeastern University，Shenyang 110004，China）

Freshman will have some misunderstanding and often make a mistake when they learn to understand derivative．Some errors was analyzed by examples or theorems，so as to achieve the aim of college students a deep understanding of derivative.

continuous；derivable；integrable；upper limit function of integral

1007-9831（2016）07-0076-04

O172.1∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.07.020

2016-04-10

孔庆海（1964-），男，辽宁庄河人，教授，硕士，从事高等数学教学研究．E-mail：shenyanglaok@sina.com