独立学院n维向量空间的教学改革

刘明，刘伟



独立学院n维向量空间的教学改革

刘明，刘伟

（天津师范大学 津沽学院，天津 300387）

作为数学专业基础课的高等代数课程，对于独立院校数学专业而言，是一门重要而又难学的课程．高等代数有着深刻的几何背景，教师在进行教学设计时，要巧妙借助向量空间的几何背景来优化教学．以维向量空间为例，结合数学学习论理论，给出相关的教学建议，从而达到提高教学质量的目的．

高等代数；维向量空间；认知结构；几何直观；独立院校

空间解析几何、高等代数与数学分析组成了数学专业的三大基础课程．学好这3门课程对学生后续的学习有着重要的作用．空间解析几何的内容与高中学习的平面解析几何有着紧密的联系，是数学专业里最简单的课程．高等代数内容虽然比数学分析内容要少，但是学习起来却不是那么容易，最主要的原因就在于高等代数的抽象性[1]．数学分析研究的内容是学生在中学就已经学习过的函数，只不过数学分析用极限的方法来研究函数，也就是数学分析是用新方法来研究具体的函数．而高等代数名约“代数”，却与中学里的代数相去甚远，中学的代数是具体的多项式、分式、方程和函数等．高等代数研究的对象之一是抽象的代数系统[2]（向量空间、线性空间和欧式空间等）和抽象的代数运算（线性变换等），很多学生无法适应这一抽象的转变，从而导致学习效果不佳．

其实高等代数也有很直观的几何背景，而如今中学课程学习的平面向量完全可以作为高等代数的向量空间、线性空间和欧式空间的直观模型．教师如果能够在教学中借助直观的几何背景来教学，就能较好地简化高等代数的教学难度．

独立院校的学生其数学基础要弱于普通院校的学生．因此，教学中要更多地考虑到学生的基础．目前天津师范大学津沽学院数学专业依然采用面向普通本科院校的北京大学数学系几何与代数教研室编著的《高等代数》[3]（以下简称北大版高代）作为授课教材．因此，更要结合数学的学习理论去设计针对独立学院学生的教学设计．

1.1从认知接受理论角度分析

奥苏贝尔的认知接受理论在数学学习中有着重要的应用．按照奥苏贝尔的观点，学习过程是在原有认知结构的基础上形成新的认知结构的过程[4]．所以对于数学学习而言，原有的数学认知结构对于新的数学知识的学习始终是一个最关键的因素．学习的主要形式是有意义的接受学习，即符号代表的新知识与学习者认知结构中已有的适当知识建立非人为的、实质性的联系[5]．因此，学生学习新知识时，如果能在其认知结构中找到足够的内容去同化新的知识，那么新知识的学习就会变得容易．

1.2结合几何直观角度分析

数学是研究数量关系和空间形式的一门科学[6]．几何直观是一种思维形式，它是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态，借助几何直观可以帮助学生更好地理解抽象的数学内容[7]．大学里的抽象空间，如向量空间、欧式空间和赋范空间等，均有着具体的几何背景，这些空间的抽象过程大致如下：中学几何中的空间是以现实生活中的具体空间形式为基础的表征抽象，属于上的维空间是以表征性抽象为基础的原理性抽象，而一般空间是以原理性抽象或已经建立的概念为基础的理想化抽象[8]．因此，即使是抽象的空间依然具有现实的几何基础，所以不能忽视几何直观在学习这些内容中的重要性．对于维向量空间来说，它的几何背景就是平面向量，也就是．尤其是对于独立学院的学生而言，其抽象概括能力弱于普通院校的学生，更要充分借助平面向量，才能使学生更好地理解维向量空间．

对于独立学院数学专业学生而言，其数学归纳和抽象能力更弱一些，但是高等代数课程的课时并没有增加，反而少于普通院校，并且采用的教材也是大多数普通院校采用的北大版高代，很容易造成高等代数难教难学的情况．因此，在进行教学设计时要充分考虑学生的特点，教学过程中要重视维向量空间概念的形成过程．高等代数课程的教学任务之一就是培养学生的抽象概括能力．教学中要不断地帮助学生去体会或掌握这种从特殊的几何和代数事实中归纳抽象出一般代数结构的能力，那么学生在学习后续高等代数内容（如线性空间、线性变换和欧式空间）时，就会类比之前的学习方法，产生有利于学习的正迁移．同样也为后续课程，如近世代数或泛函分析的学习打下良好的基础．

这里给出的教学设计思路是基于奥苏贝尔有意义学习理论，突出维向量空间概念的形成，充分借助学生认知结构中的平面向量知识，再次引导学生体会平面向量的坐标表示和线性运算（加法与数乘），寻找旧知识与新知识之间非人为和实质性的联系．不但教会学生知识，更重要的是在首次学习抽象空间的过程中就开始强调几何直观与归纳抽象方法在高等代数学习中的重要作用．

2.2教学改革建议

2.2.1概念的引入首先，让学生回忆中学所学习的平面向量的线性运算和坐标表示．对于向量学生很熟悉，而对于“维”和“空间”学生比较陌生，学生可能会好奇中学学习的向量和现在学习的向量是否有联系和区别．按照有意义接受学习理论，有意义学习发生需要２个条件，一个是学习者具有意义学习的心向，也就是具有将新内容与以前学过内容联系起来的愿望．基于此，教师应该先带领学生回顾旧的知识，并对旧知识的认识有一定提高．教师在学生回顾平面向量知识时，要引导学生归纳出平面向量的坐标表示，实质是引出有序数对的概念．中学虽然接触过有序数对，但对其理解并不深刻，见到的有序数对多数也只是坐标形式．同时要强调向量的线性运算最终可以抽象为有序数对的线性运算，并且这个运算是封闭的．要帮助学生归纳出平面向量可以看作是一个由二元有序数对组成的集合，并且这个集合对于线性运算是封闭的．

其次，引导学生思考：除了平面向量外，还有哪些有序数对．这个问题的设置是为了引导学生从具有几何意义的特殊有序数对过渡到一般的有序数对．以便进一步引出维向量的概念．由于学生对于有序数对的理解多局限于二维的坐标，在教师提出这个问题后，学生并不一定能够举出相关的实例．因此，需要教师举例，先举学生熟悉的例子，如平面中的点和空间中的点分别可以由二元有序数对和三元有序数对来表示．进而引导学生去体会空间中球面的方程，有了这个方程就知道了球的大小和位置．要想确定这个方程，需要知道球心和半径，换句话说，如果知道了球心和半径就可以确定球的位置和大小．那么有序数对就可以唯一确定一个圆．这样就把有序数对推广到了四元．之后教师继续举例，最后要回到之前所讲的线性方程组．对于一个元方程，就可以用元有序数对来表示．

2.2.2概念的形成介绍完有序数对，再次引导学生和平面向量对比．平面向量可以看作是二元有序数对，因此可以将元有序数对定义为维向量，这样就比较自然地引出了维向量的概念．为帮助学生建立维向量空间的概念，可以进行合理的问题设计．

高等代数里的抽象空间就是赋予了一定运算的集合，因此，讲授向量空间等概念时首先要明确集合的元素，之后就要明确集合元素间的运算．教学时教师可以借助线性方程组这一背景帮助学生理解维向量的运算．

通过问题的设计，在学生原有数学认知结构的基础上，就自然地引出了本节课的内容——维向量空间．

问题的设计也遵循了维果茨基的最近发展区理论．如果教师不加引导，学生自然很难想到新旧知识之间的联系．而通过教师的精心设计，由问题引入，一步步地引导学生想到解决问题的方法，既降低了教学难度，也使学生感受到了数学发明创造的过程．

3结束语

该教学设计通过教学实践，取得了较好的效果．在1个课时内，通过教师的引导，多数学生能参与课堂活动中来，基本能够完成教学任务．并且学生不仅仅只获得了知识，同时也对高等代数课程中的重要方法有了体会，并且经历了探究发现的学习过程，即观察——归纳——抽象，有助于提高学生对数学的认识，同时也有助于提高学生的科学素养．

[1] 李尚志．线性代数[M]．北京：高等教育出版社，2006

[2] 庄瓦金．高等代数研究[M]．北京：科学出版社，2014

[3] 北京大学数学系．高等代数[M]．3版．北京：北京大学出版社，2003

[4] 孔凡哲，曾峥．数学学习心理学[M]．北京：北京大学出版社，2009

[5] 郭玉峰，刘春艳，程国红．数学学习论[M]．北京：北京师范大学出版社，2015

[6] 史宁中，孔凡哲．关于数学的定义的一个注[J]．数学教育学报，2006（15）：37-38

[7] 蒋文蔚．几何直观思维在科学研究及数学教学中的作用[J]．数学教育学报，1997，6（4）：67-71

[8] 钱佩玲．数学思想方法与中学数学[M]．北京：北京师范大学出版社，2008

Teaching reform of-dimensional vector space in independent college

LIU Ming，LIU Wei

（Jingu College，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）

As a basic course in mathematics major，advanced algebra is important and difficult to learn for students of independent colleges．Advanced algebra has a profound background of geometry，teachers must rely on geometric background of vector space to optimize teaching．Taking the-dimensional vector space as example，gave some suggestions to improve teaching quality based on mathematical theory of learning theory．

advanced algebra；-dimensional vector space；cognitive structure；geometric intuition；independent college

1007-9831（2016）07-0079-04

O151.24∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.07.021

2016-04-10

刘明（1989-），男，天津人，硕士，助教，从事数学教育研究．E-mail：121816834@qq.com