探究“双变量”不等式与函数“单调性”的联系

◇　湖北　刘　丽

(作者单位：湖北随州一中)



探究“双变量”不等式与函数“单调性”的联系

◇湖北刘丽

以函数为载体,设置的“双变量”不等式恒成立问题,往往与函数的“单调性”具有某种紧密的联系.那么如何寻找这种联系,并加以灵活运用呢?请看以下归类解析.

1　“双变量”分式不等式

又由h′(x)=-3x2+12=-3(x+2)(x-2)可知， 函数h(x)的单调递增区间为(-2,2). 所以

(2m,m+1)⊆(-2,2),

2　“双变量”绝对值不等式

f(x2)-h(x2)

(答案：[3/2,+∞))

3　含参“双变量”不等式的证明

综上可知,求证结论成立.

变式3已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1,求证:当a≤-2时,对任意x1、x2∈(0,+∞),不等式|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|恒成立.(证明略)

4　隐含的“双变量”不等式

综上,处理此类问题的关键是:先对“双变量”不等式适当变形,以便从不等式的结构特点出发,观察、确定相关函数的“单调性”;然后再借助导数知识和函数性质加以灵活处理.

(作者单位：湖北随州一中)