深沟球轴承的载荷分布

魏延刚，吕晶晶，刘彦奎

(大连交通大学 机械工程学院，辽宁 大连 116028)*



深沟球轴承的载荷分布

魏延刚，吕晶晶，刘彦奎

(大连交通大学 机械工程学院，辽宁 大连 116028)*

根据滚动轴承载荷分布理论，用传统的连续函数模型计算法、离散方法模型计算法和有限元法对深沟球轴承的载荷分布进行了计算，计算结果表明三种方法所求出的载荷分布规律相同，但计算精度不同，离散模型方法不仅计算精度最高，所给出的深沟球轴承的离散模型载荷分布计算程序，使得离散模型方法应用最为方便.

深沟球轴承；离散模型；有限元；载荷分布

0　引言

滚动轴承的载荷分布分析也是其力学特性分析的基础,如刚度、变形和承载能力、润滑状态、摩擦与温升、预期寿命等滚动轴承的一些主要性能，都是在进行载荷分布分析的基础上获得的.因此滚动轴承的载荷分布分析是确定轴承疲劳寿命和可靠性的关键因素.

滚动轴承的载荷分布是指轴承在一定的载荷作用下，参与承载的滚动体数目和各受载滚动体所受载荷的大小，换句话说，也就是载荷在滚动体之间是如何分配的.实际上，滚动轴承的载荷分布不但与所受载荷的大小和方向、滚动轴承的类型和几何参数(滚动体的数目等)有关，还与滚动轴承的内部间隙、滚动体与内、外圈的变形有关.

在静载荷作用下传统的滚动轴承载荷分析是在刚性套圈假设条件下进行的，并且不计摩擦力和滚动体惯性力，只考虑轴承内部间隙，滚动体与内、外圈之间的接触变形产生位移的影响(没有考虑内、外圈的整体变形的影响)，而且将滚动轴承滚动体与内、外圈接触的离散模型变换为连续模型，用载荷积分这个连续函数来表示滚动轴承滚动体与内、外圈接触的位置间隙与变形的离散分布函数，为了方便应用，将载荷积分(包括径向载荷积分、轴向载荷积分和力矩载荷积分)制成表或图供设计计算时使用.这种方法是经典的滚动轴承专著采用的方法，也是国际标准所使用的方法，也就是被公认的方法[1-3].然而，经典载荷分布分析这种方法也仍然存在不足.不足之一是，实际上完全刚性的套圈是不存在的，在静载的作用下，内外套圈会不可避免的产生位移和偏离圆形的变形.不足之二是，实际上滚动体与内、外圈之间的接触是离散的，不是连续的，因此，用载荷积分这种连续函数表达离散模型必然存在一定的误差；不足之三是，实际上轴承的载荷来自轴或轴承座，轴或轴承座与轴承之间的载荷分布不是集中力，而是分布力，这种分布力必然导致轴承内、外圈产生总体变形，内外圈的总体变形对轴承的载荷分布必然会产生一定的影响.

本文拟针对上述静载荷作用下传统的滚动轴承载荷分布计算的不足，一是用轴承载荷分布实际的离散模型计算轴承载荷分布，二是考虑内、外圈总体变形对滚动轴承载荷分布的影响，用有限元法对深沟球轴承的载荷分布进行计算，并比较传统的滚动轴承载荷分布计算模型、实际的离散模型计算轴承载荷分布和有限元法这三种方法的结果，从而对深沟球轴承实际的设计计算提供参考.

1　离散模型载荷分布计算

1.1离散模型下载荷分布数学模型与编程

对于径向载荷作用下的深沟球轴承，轴承外圈固定不动，内圈在径向载荷的作用下向下移动，产生径向位移δr.以承载最大滚动体为起点，在任意角度位置滚动体的径向位移为δψ，如图1所示.

图1　轴承套圈位移

由弹性力学理论可得任意角度位置ψ的滚动体所承受的径向载荷与最大承载滚动体所承受的载荷的关系为

根据变形协调条件和静力平衡关系可以求出轴承所承受的径向载荷Fr与最大承载滚动体所承受的载荷的关系为

式中，载荷分布系数

负荷区域角度范围

径向积分

又

所以

实际上滚动体与内、外圈之间的接触是离散的，不是连续的，因此，用载荷积分这种连续函数表达离散模型必然存在一定的误差.本文将应用轴承载荷分布离散模型进行计算，即对式直接进行求解.

可应用二分法(其流程图如图2所示)求出未知量δr，从而可求出

从而求出

图2　二分法流程图

为了方便计算，将深沟球轴承离散模型下的载荷分布编制VB程序，其程序框图如图3所示.

图3　VB程序框图

图4　滚动体编号

1.2两种模型下轴承载荷分布算例与结果比较

以型号为209DGBB深沟球轴承为例，轴承的径向载荷为Fr=8900N，轴承内径为45mm，外径为85 mm,滚动体数目9，滚动体直径12.7 mm，弹性模量207 000 N/mm2，泊松比0.3；分别用Qψc和Qψd表示连续模型和离散模型下的深沟球轴承各个滚动体所承受的载荷，为了能够更直观的说明轴承载荷分布，将各个滚动体编号，如图4所示.

在不同径向载荷Fr作用下，不同径向间隙时，传统方法和离散方法计算出的轴承的载荷分布分别在表1、表2中给出.表中列出了所有滚子的编号、与编号对应的滚子的位置角ψi、滚子所承受的载荷Qψc和Qψd；表中最后两行还给出了所有滚子所受载荷在轴承径向力方向的和力∑Fr和∑Fr与轴承径向力Fr的相对误差.

从表1中不难发现，在径向载荷Fr=4 450 N作用下，径向间隙分别为0.015、0和-0.015时，两种算法所得出的载荷分布规律一致，但受载滚子所受载荷在数值上有所不同.当径向间隙为0.015时，只有3 个滚子承受载荷，而当径向间隙为0和-0.015时，受载滚子增加为5个；而且间隙越小受载最大的滚子所受载荷越小.传统连续模型计算方法所得出所有滚子所受载荷在轴承径向力方向的和力∑Fr与轴承径向力Fr的相对误差分别约为0.98%、0.39%和0.91%，而离散模型方法所计算出的相对误差都是约为0.03%、0.01%和0.02%.

表1　径向载荷Fr=4 450 N，不同径向游隙时两种计算模型中各个滚动体的受载

表2　径向载荷Fr=8 900 N，不同径向游隙时两种计算模型中各个滚动体的受载

当载荷Fr=8 900 N时，三个间隙下都是有5个滚子承受载荷，也是间隙越小受载最大的滚子所受载荷越小.从表2中类似的得到相应的两种算法的误差分别约为0.19%、0.36%、0.64%和0.01%、0.02%、0.005%.显然，离散模型方法所计算出的结果精度高.

2　有限元仿真与滚动轴承载荷分布

2.1有限元仿真模型

将深沟球轴承的内外圈和滚动体均设置为弹性体.其外圈固定，内圈转动，在其内圈的几何中心处施加Fr的径向载荷.

图5　网格划分后模型

为了提高计算效率，由于轴承几何结构的对称性，本文采用沿轴承轴线方向取有限元模型的二分之一进行计算分析，并将滚动体按照顺时针的方向进行编号.其简化后的模型如图4所示.为了在保证计算精度的同时能尽量减少计算时间，在发生接触的区域进行网格细化并设置合理的边界条件.整个轴承有限元模型共有412 068个节点和373857个单元.网格细化后的模型如图5所示.

2.2有限元仿真结果及轴承载荷分布分析

对于大多数的球和滚子轴承，内滚道的法向接触应力要大于外滚道的法向应力，且内滚道与外滚道的接触应力分布规律相似.由于篇幅有限，在此仅给出径向间隙为0 mm、径向载荷为8 900N时，用有限元法进行仿真所获得的接触应力云图，见图6.由图可知，只有3号～7号滚动体承受载荷，其中5号滚动体所受的载荷最大，其最大接触应力值3 057 MPa.

图6　深沟球轴承内圈接触应力云图

可以将有限元分析所得出的接触应力，通过积分的方法，将各个接触面上的应力求和，从而获得所需的每个滚动体所承受的载荷，也就是轴承的载荷分布.

径向间隙分别为0 mm时，在三个大小不同的径向载荷Fr(4 450、6 675、8 900 N)作用下，三种计算方法计算出的209DGBB深沟球轴承的载荷分布在表3中给出.由表3可知，用有限元法计算出的结果与前述两种算法得出的载荷分布规律一致，但受载滚动体所受载荷在数值上有所不同.在不计接触面上的摩擦力时，有限元法计算出的相对误差分别约为1.8%、1.7%和1.7%.

表3　径向游隙Pd=0时，各模型中不同径向载荷下各个滚动体的受载

3　结论

对深沟球轴承的载荷分布采取了三种不同的方法.分别为：传统连续型模型算法、改进后的离散模型方法以及有限元分析法.这三种方法所得出的分布规律完全相同.相比之下，离散模型算法所得出的精度最高，传统连续型模型算法次之；而根据有限元分析计算出的接触应力，通过对接触区域的接触应力进行积分所求出的结果精度相对最低，其主要原因是没有考虑接触面上摩擦力的影响.考虑到离散模型算法不但计算精度高，而且计算公式具有通用性，改变其中的一些变量即可以推广到圆柱滚子轴承和圆锥滚子轴承等其他轴承的载荷分布计算中，因此，建议应用中使用离散模型算法.

[1]HARRIS TA, KOTZALA MN.Rolling Bearing Analysis FIFTH EDITION: Essential Concepts of Bearing Technology[M]. Boca Raton: CRC Press, 2007.

[2]HARRIS TA.滚动轴承分析(第1卷):轴承技术的基本概念[M] .5版，北京：机械工业出版社, 2010:104-157.

[3]中华人民共和国国家标准.GB/T20060-2011滚动轴承国家标准[S].北京：中国标准出版社,2003:29-33.

[4]邓四二.滚动轴承设计原理[M].北京：中国标准出版社,2004:55-68.

[5]魏延刚,赵兵.四点接触球轴承接触角对接触应力的影响初探[J].大连交通大学学报, 2015，36(4)：51-53..

Three Methods of Internal Load Distributions of Deep Groove Bearing

WEI Yangang,LV Jingjing,LIU Yankiu

(School of Mechanical Engineering,Dalian Jiaotong University,Dalian 116028,China)

Distributions of internal load in cylindrical roller bearing are calculated by continuous function model (conventional method), discrete function model and finite element method according to the internal load distribution theory of rolling bearing. The results of the three methods show that the pattern of the internal load distributions is the same with different accuracy. The discrete function model has not only the highest accuracy, but it is also convenient to be used in practice with the program offered by the paper.

deep groove bearing; distributions of internal load; discrete function model; finite element method

1673- 9590(2016)05- 0062- 05

2016-03-26

魏延刚(1961-),男,教授,硕士,从事机械设计与制造的研究

A

E- mail:ygwang78@126.com.