复合荷载下简支梁的弹性弯扭屈曲

管海龙，郭兵，褚昊

(山东建筑大学 土木工程学院, 山东 济南 250101)



复合荷载下简支梁的弹性弯扭屈曲

管海龙，郭兵*，褚昊

(山东建筑大学 土木工程学院, 山东 济南 250101)

复合荷载作用下单向受弯简支梁的弹性临界弯矩对简支梁的稳定设计非常重要。文章基于总势能公式，围绕复合荷载作用下简支梁的弹性弯扭屈曲进行了研究，针对简支梁在复合荷载作用下的弹性临界弯矩计算公式适用范围有限的情况，通过采用瑞利—里兹法主要推导了单个集中荷载、满跨均布荷载和端弯矩单独作用以及组合作用下简支梁的弹性临界弯矩和对应参数的计算方法，并与现有的计算方法进行了对比分析。结果表明：推导的弹性临界弯矩计算公式在形式上与传统公式完全一致，但参数C1、C2、C3不再是简单荷载下的具体数值，而是通用计算公式，不仅可适用于简单荷载，也可适用于复合荷载;一系列的算例表明，文中所给公式的计算结果与传统计算方法所得结果最大偏差为5.5%，精度较高且适用范围广。

弹性弯扭屈曲；简支梁；总势能公式；临界弯矩；复合荷载

0　引言

受弯构件的稳定研究始于18世纪，但早期没有考虑弯曲与扭转的耦合作用，直到19世纪末，国内外学者才首次考虑，并建立了工字形截面受弯构件的弯扭平衡微分方程[1-4]。随着各种求解稳定问题近似方法的出现，弯扭屈曲理论在20世纪中叶得到了快速发展，形成了经典弯扭屈曲理论。在此基础上，后来的一些学者又通过不同的研究方法提出了新的见解[3-6]。

弹性临界弯矩Mcr对稳定设计非常重要，由于问题的高度复杂性，各国规范给出的Mcr计算公式不尽相同。国内外部分学者对复合荷载下简支梁的弯扭屈曲进行了研究，研究对象或限于双轴对称截面，或限于特定的荷载形式，适用范围有限[7-8]。周绪红等和刘占科等虽然给出了参数C1、C2、C3的通用计算公式，可用于不同荷载类型并且可以同时考虑多种荷载，但由于文献中假设的位移函数为单个正弦函数，只能描述对称变形，与简支梁的实际变形不一定完全相符，当荷载非对称时，得到参数会有较大的偏差[9-10]。

文章研究复合荷载作用下简支梁的弹性弯扭屈曲，为了扩大简支梁在复合荷载作用下的弹性临界弯矩计算公式的适用范围以及减小刘占科等计算公式的误差[10]，文章将采用多项式表达的位移函数，并利用童根树的总势能公式，通过瑞利—里兹法对简支梁的临界弯矩及其参数进行推导，得到复合荷载作用下的简支梁弹性临界弯矩计算公式。

1　简支梁的临界弯矩计算公式

1.1基本假设

推导临界弯矩的总势能公式有很多，比如Bleich公式、童根树公式和吕烈武公式[11-13]。文章采用了童根树的总势能公式来研究临界弯矩计算公式，势能公式由式(1)表示为

-2Mu'θ'+2βyM'θθ'-2M'u'θ)dz

(1)

式中：П为总势能，J；E为弹性模量，N/mm2；G为剪切模量，N/mm2；M为弯矩，kN·m；P为集中荷载，kN；qy为均布荷载，kN/m；Iy为绕y轴的惯性矩，mm4；Iω为翘曲惯性矩，mm6；It为自由扭转惯性矩，mm4；βy为截面不对称参数；l简支梁的长度，m；u和θ分别为梁上任意一点在x方向的位移和该点绕剪心S的转角；θ(z1) 为集中荷载处构件截面的转角;a为荷载作用点到剪心在y方向的距离，mm。图1中各作用点在剪心上方时取负值，反之取正值。

图1所示简支梁，承担一个沿z方向任意位置的集中荷载P、满跨均布荷载q以及端弯矩，假设P和q的作用点位置一致，与剪心之间在y向的距离为a，忽略自重的影响。

图1　构件坐标、荷载及截面侧向弯扭位移图(a)坐标及荷载；(b) 截面位移

在图1中P为集中荷载，kN；q为均布荷载，kN/m；M1、M2为端弯矩，kN·m；x、y、z为坐标轴；z1为跨中集中荷载作用点的位置，mm；S为剪力中心；O为形心；u和θ分别为梁上任意一点在x方向的位移和该点绕剪心S的转角；S′ 和O′分别为构件转动后的剪力中心和形心；a为荷载作用点到剪心在y方向的距离，mm。

假设u、θ、ψ、ζ以及Mx的函数表达式由式(2)～(6)表示为

u=Aψ+Bζ

(2)

θ=Cψ

(3)

ψ=sin(πz/l)

(4)

ζ=sin(2πz/l)

(5)

Mx=Mmaxη

(6)

式中：ψ为u和θ的基函数；ζ为u的基函数；A、B、C为相对应的系数；Mx为绕x轴的弯矩；Mmax为弯矩最大值；η为简支梁上弯矩的分布函数。

当跨中作用集中荷载或集中荷载与满跨均布荷载的复合荷载时，令q=βP，β为系数，设式(7)为

Mmax=Pe

(7)

其中，e为等效力臂，表达式(8)为

(8)

将式(2)、(3)、(6)、(7)代入总势能公式即式(1)中，通过整理可得式(9)为

(9)

式中：k1～k10为参数，分别按式(10)～(19)计算为

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

1.2临界弯矩及参数公式

EIyk7A+EIyk10B-(k1+k2)MmaxC=0

(20)

EIyk10A+EIyk9B-(k3+k4)MmaxC=0

(21)

(EIωk7+GItk8+2k1Mmaxβy+2k2Mmaxβy-k5Mmaxβy+k5Mmaxa+k6Mmaxβy-k6Mmaxa)C

-(k1+k2)MmaxA-(k3+k4)MmaxB=0

(22)

因k10=0，可直接去掉，式(20)～(22)简化为(23)、(24)

EIyk7A-(k1+k2)MmaxC=0

(23)

EIyk9B-(k3+k4)MmaxC=0

(24)

(EIωk7+GItk8+2k1Mmaxβy+2k2Mmaxβy-k5Mmaxβy+k5Mmaxa+k6Mmaxβy-k6Mmaxa)C

-(k1+k2)MmaxA-(k3+k4)MmaxB=0

(25)

由A、B、C的系数行列式为零可得式(26)为

(26)

将式(26)进行整理可得式(27)为

(27)

将k7、k8、k9的值代入式(27)，整理可得弹性临界弯矩Mcr，由式(28)表示为

(28)

式中：C1、C2、C3为参数，分别按式(29)～(31)计算为

(29)

(30)

(31)

式中：当跨中作用集中荷载或集中荷载与满跨均布荷载的复合荷载时，k6=0。

2　与现有计算方法的对比分析

2.1跨中集中荷载

假设简支梁只在跨中央作用一个集中荷载，由式(32)表示为

(32)

由式(8)得e=l/4，由式(10)～(15)求得

将k1～k6的值代入到式(29)～(31)，解得C1=1.38、C2=0.56、C3=0.41；经典的解析解[14]为C1=1.35、C2=0.55、C3=0.4；对应参数的最大误差为5.5%。

假设只在简支梁跨中四分之一处作用一个集中荷载，由式(33)表示为

(33)

由式(8)得e=3l/16，由式(10)～(15)求得

将k1～k6的值代入到式(29)～(31)，解得C1=1.527、C2=0.413、C3=0.557；由童根树的βb公式解得βb=1.45[11]。当荷载作用在剪心且为双轴对称截面时，C1应与βb相等，误差为5.3%。

为了能进一步了解文章Mcr公式的具体偏差，下面举一个实例来进行对比分析。

图2为跨中央承担集中荷载的简支梁，选单轴对称的工字型截面为分析对象，l=3000 mm。假设钢材为弹性，弹性模量E=206000N/mm2，剪切模量G=79000N/mm2。该截面的几何参数为：A=4386mm2、Ix=6.0118×107mm4、Iy=3.3939×106mm4、It=1.251×105mm4、βy=-104.8mm、Iω=2.7985×1010mm6、ys=-86mm。当荷载作用点分别位于1号、2号、3号点时的根据公式(28)～(31)计算的临界弯矩见表1，其中括号内数值为经典解[14]。

图2　跨中作用集中荷载的简支梁图/mm

荷载作用点位置Mcr值/(kN·m)误差比/%1号点91.584(90.514)12号点114.935(113.218)13号点274.829(266.747)3

由表1可知，两条公式求到的临界弯矩值的误差较小，最大不超过3%。

2.2满跨均布荷载

假设只在简支梁上作用满跨均布荷载，则式(34)为

(34)

由式(10)～(15)求得

将k1～k6的值代入到式(29)～(31)，解得C1=1.15、C2=0.47、C3=0.53；与经典解析解完全一致，误差为0[14]。

2.3端弯矩

假设只在简支梁上作用端弯矩，当两端弯矩相等且同号(η=1)时，由式(10)～(15)求得

k4=0，k5=0，k6=0

将k1～ k6的值代入到式(29)～(31)，解得C1=1、C2=0、C3=1；与经典解析解[14]完全一致，误差为0。

当两端弯矩相等且异号，则式(35)为

(35)

由式(10)～(15)求得

将k1～k6的值代入到式(29)～(31)，解得C1=2.78、C2=0、C3=0；由童根树的βb公式解得βb=2.64[11]。当荷载作用在剪心且为双轴对称截面时，C1应与βb相等，误差为5.3%。

2.4复合荷载

图3所示简支梁，承担一个跨中央处的集中荷载P、满跨均布荷载q以及端弯矩M、P与q的作用点位置相同，令q=4P/l、M=Pl/4，则

图3　复合荷载作用下的简支梁图

(36)

由式(8)得e=3l/4，由式(10)～(15)求得

将k1～k6的值代入到式(29)～(31)，解得C1=1.162、C2=0.157、C3=0.843；由Kirby的βb公式解得βb=1.143[15]。当荷载作用在剪心且为双轴对称截面时，C1应与βb相等，误差为1.7%。

3　结论

针对单个集中荷载、满跨均布荷载以及端弯矩组合作用下的单向受弯简支梁，文章利用瑞利—里兹法推导出了临界弯矩Mcr及参数C1、C2、C3的通用计算公式，可以得到以下几点结论：

(1) 文中推导的弹性临界弯矩计算公式在形式上与传统公式完全一致。

(2) 参数C1、C2、C3不再是简单荷载下的具体数值，而是通用计算公式，不仅可适用于简单荷载，也可适用于单个集中荷载、满跨均布荷载以及端弯矩组合作用下的简支梁，集中荷载可沿z方向任意位置，而且复合荷载的大小与作用点位置也可以不同；一系列的算例表明，文中所给公式的计算结果与传统计算方法所得结果最大偏差为5.5%，精度较高且适用范围广。

(3) 文章提供的计算方法也有局限性，要求集中荷载与均布荷载的作用点位置a相一致，对于a不同的情况还有待进一步研究。

[1]付涛,方伟.轧制H型钢单伸臂梁的弹性弯扭屈曲分析[J].长沙理工大学学报(自然科学版),2011,8(1):25-29.

[2]陈宁,陈勇.钢主梁双伸臂梁横向荷载作用下的稳定承载力研究[J].公路与汽运,2015(4):176-179.

[3]Andrade A., Camotimb D..Costa P providênciae on the evaluation of elastic critical moments in doubly and singly symmetric i-section cantilevers[J].Journal of Constructional Steel Research,2007,63(7):894-908.

[4]Challamel N., Wang C.M..Exact lateral-torsional buckling solutions for cantilevered beams subjected to intermediate and end transverse point loads[J].Thin-Walled Structures,2010,48(1):71-76.

[5]罗金辉,顾强,方有珍.端弯矩及横向均布荷载共同作用下钢梁的整体稳定研究[J].钢结构,2009,24(ST1):148-152.

[6]秦桦, 郭成喜. 单轴对称工字形截面悬臂钢梁在横向荷载作用下的整体稳定性研究[J]. 工程力学, 2009(9): 152-155.

[7]杨波.工字梁在弯矩和均布荷载作用下的整体稳定[J].钢结构,2012,27(11):23-25, 86.

[8]周芬,池云祥,杜运兴.上下翼缘同时受荷的工字形钢梁整体稳定性分析[J].湖南大学学报:自然科学版,2012,39(11):7-12.

[9]周绪红,刘占科,陈明,等.钢梁弯扭屈曲临界弯矩通用公式研究[J].建筑结构学报,2013,34(5):80-86.

[10]刘占科,周绪红,何子奇,等.复合荷载作用下简支钢梁弹性弯扭屈曲研究[J].建筑结构学报,2014,35(4):78-85.

[11]童根树.钢结构的平面外稳定(修订版) [M].北京:中国建筑工业出版社,2013.

[12]Bleich F.. Buckling Strength of Metal Structures [M]. New York:McGraw-Hill,1952.

[13]吕烈武,沈世钊,沈祖炎,等.钢结构构件稳定理论[M].北京:中国建筑工业出版社,1983.

[14]陈骥.钢结构稳定理论与设计.第6版[M].北京:科学出版社,2014.

[15]Kirby P.A., Nethercot D.A..Design for Structural Stability[M].Suffolk:Constrado Monographs,1979.

(学科责编：吴芹)

Elastic flexural-torsional buckling of simply supported beam under combined loads

Guan Hailong, Guo Bing*, Chu Hao

(School of Civil Engineering, Shandong Jianzhu University, Jinan 250101, China)

The elastic critical moment of one-way flexural simply supported beam under combined loads is very important to the stable design of simply supported beam. The article is based on the total potential energy formula of Tong Genshu, studied around elastic flexural-torsional buckling of simply supported beam under combined loads, for the case of the scope of formula of the elastic critical moment of simply supported beam limited under combined loads, using Rayleigh-Ritz method to derive calculation method for critical simply supported beam bending moment and its parameters in the single concentrated loads、uniformly distributed load and end moment effect, making comparative analysis with the existing calculation method. The result shows: The critical moment formula derived in this article is fully consistent with the traditional formula in the form, however, the parameters CC2C3is no longer a specific value under the simple load, but the general formula, not only for simple load, but also be used in the composite load. A series of examples show that the maximum deviation of the results of the formula in this article and the traditional formula is 5.5%high precision and wide range of application.

elastic flexural-torsional buckling; simply supported beam; total potential energy equation; critical moment; combined loads

2016-03-23

管海龙(1992-)，男，在读硕士，主要从事钢结构等方面的研究. E-mail: 1490479117@qq.com

*：郭兵(1970-)，男，教授，博士，主要从事钢结构等方面的研究. E-mail: sdgb123@163.com

1673-7644(2016)03-0249-05

TU996

A