长沙市岳麓区第一小学数学教研组 潇湘数学教育工作室
“用(加法)估算解决问题”教学研究报告
长沙市岳麓区第一小学数学教研组潇湘数学教育工作室
《义务教育数学课程标准(2011年版)》将第一学段的估算教学目标修改为“能结合具体情境,选择适当的单位进行简单估算,体会估算在生活中的作用”。人教版教材据此做了相应的调整,在三年级上册“万以内数的加法和减法(一)”这个单元增加了用估算解决问题的教学内容例4(如图1)。这个增加的教学内容,让教师们在教学实践中产生了众多的困惑与问题。
图1
(一)教学实践中的问题
1.学生不愿意估算。
大部分学生第一次面对本问题时,居然是先精确计算一至六年级的总人数,再通过比较判断是否坐得下,能想到用估算解决问题的学生很少。当教师在教学中提醒学生可以估一估再判断时,很多学生就先精确计算出223+239的得数,再将得数与座位数进行比较后作出判断。这一做法是典型的为估算而估算。
2.学生不会估算。
学生不能根据具体情境选择适当的估算策略,不知道什么时候估大,什么时候估小。以例4为例,同一个问题背景,已知条件不变,当求解的问题是“441个座位坐得下吗”,需要用“估小”法解决。如果求解的问题变成“470个座位坐得下吗”,又需要用“估大”法解决(如图2)。由于这种“估大”“估小”策略的选择全凭问题的需要,非常灵活,无规律可循,很多学生课上完后仍旧未能真正掌握。
图2
(二)对问题的再调查
以上两个问题是教师们在教学实践中普遍反映难以处理的问题。学生的真实情况又是怎样的呢?为此,我们在三年级451名学生中进行了学习前的问卷调查。随后,我们选取了一个班的66名学生,按照教材的编排进行了教学,课后也进行了问卷调查。下面两表分别是前测(见表1)和后测(见表2)的统计结果。
表1
表2
从两次调查问卷的统计结果看,教师们反映的两个问题不但集中存在,而且比较严重。在学习前的调查中,当问题中没有“大约”两字时,选择估算解答的学生不超过15%。在后测调查中,居然有50%的学生采用“四舍五入”求近似数的方法解决“够不够”的问题。
(三)对问题的分析
1.学生不愿意选择估算解决问题的原因。
要解决例4的问题,需要比较223+239与441的大小。而对三年级的学生来说,计算出223+239的得数并不困难,有的学生甚至可以口算出结果。因此,估算与之相比并没有什么优势可言。这是第一个原因。第二个原因,如前所述,当教师把问题呈现在学生面前时,很多学生并不具备用估算解决此问题的能力,就更谈不上选择估算解决该问题了。
2.学生用估算解决“够不够”问题时的常见错误及原因分析。
在例4的教学中,学生常见的典型错误就是采用“四舍五入”求近似数的方法解决问题,导致将两个加数一个估大、一个估小,推理不符合逻辑。比如:223≈220,239≈240,220+240=460,而460>441,所以223+239>441,坐不下。
我们认为原因有以下两点。
(1)用估算解决“够不够”的问题有着鲜明的特殊性。它不同于以往常见的求近似数的估算问题,然而学生对此并没有充分的认识。常见的估算问题一般以判断一个估算对象近似等于多少为目标,比如,“估一估操场上有多少人”,“估一估一个不规则图形的面积有多大”等。此类估算问题在不增加计算复杂程度的前提下,结果总是越精确越好。
但是教材上这类“够不够”的问题,估算的目标不再是判断一个估算对象(近似)等于多少,而是通过估算得出两个数据之间的大小关系。一般会用到不等式的性质:a>b,b>c,所以a>c。此时,找到比较桥梁中的中间数b是问题的关键,估得准确与否对解决问题已经没有任何帮助了。但是,学生仍然延续以往的习惯,继续用求近似数的思维来解决问题,碰壁也就在所难免了。
(2)用估算解决“够不够”的问题需要用到两个常见的估算技巧:“去尾”法和“进一”法。从实际教学效果来看,学生并没有掌握这两种技巧,而是将这两种技巧与“四舍五入”求近似数的方法混淆在一起。
(四)解决问题的策略
1.巧设情境,化“不愿估”为“必须估”。
一般来说,用估算解决问题主要适用于以下两种情形:(1)没有必要精确计算;(2)无法精确计算。教材将例4编排在整百、整十数加减法之后、三位数笔算加法之前,其用意原本就是趁着学生还不会精确计算的时候,逼着学生用估算解决问题,体现估算的价值。然而事与愿违,实际教学中,大部分学生凭着两位数加法的基础,竟然都无师自通地精确计算出223+239的结果,使得教材的编写意图落空。针对这种情况,为了切实将学生逼入无法精确计算的境地,我们可以通过创设情境,想办法将两个加数中的某个数字盖住。
2.聚焦问题,改进板书,凸显推理过程。
例4这类“够不够”的问题实质就是一个比较大小的问题。人数比座位数小,则够坐;人数比座位数大,则不够坐。只不过我们没有必要精算出总人数,通过估算就能比较两者之间的大小关系。我们必须自始至终让学生明白,估算的目标是比较大小。
因此,在教学实践中,当教师抛出问题后,就应该问学生“什么情况下就够,什么情况下又不够”。接着将需要比较的算式223+239与目标数441同时板书(见图3-1)。因为学生只有同时观察算式与目标数,才有可能发现此时应该将223和239同时估小。很多教师在教学时往往只板书算式223+239(见图3-2)就让学生判断估大还是估小。由于看不到比较对象441,学生往往就采用“四舍五入”求近似数的方法进行估算了。这虽然只是一个细节,但很关键。
图3-1
图3-2
解答例4时,学生最容易犯的错误就是将两个加数中的一个估大,另一个估小。我们可以从改进板书入手解决这一问题。教学实践中,下面两种板书比较常见(如图4)。
图4
图5
这两种板书虽然简洁美观,但未能呈现数据之间的大小关系,学生难以把握其中蕴含的推理过程。不如将“≈”“↓”等符号换成“>”“<”(见图5),将数据之间的大小关系清晰地板书。即便此时学生再犯“一个加数估大,另一个加数估小”的错误,也会因为黑板上“>”“<”的不统一而很快发现问题。
基于以上认识,我们设计了一个“翻卡片比大小”的游戏,让学生在游戏中逐步学习和体会用估算比较大小的策略,再运用这个策略解决教材中的实际问题,在解决问题的过程中进一步感受估算的价值。
1.巧妙设计游戏,在比较大小的游戏中体会估算策略。
师:同学们,上课之前我们一起玩一个与数字有关的游戏——“快速比大小”。在黑板上贴的每张笑脸后面都有一个数字,它们是两个三位数。一人选一个,快速比较它们的大小,谁选的数大,谁就赢。明白吗?
(生选了右边的三位数)
师:要想快速地赢高老师,你打算翻哪一张比较大小?(生指百位上的卡片)为什么?
生:因为它在百位上。
(师生分别翻开百位上的数字)
师:谁赢了?
生:学生赢了。
师:不是还没有比较完吗?你们怎么能判断他赢了呢?
生1:无论你是200多少,反正比300小。
生1:是的。
生2:肯定比300大。
(生选择算式,师翻开右边的三位数卡片,是900)
师:谁赢了?
生:高老师赢了。
师:你是怎么判断高老师赢了的?说说你的想法。
生3:因为这个数比300小比400小,所以它们的和一定比700小,比900就更小。
师:还有愿意和我比大小的吗?(师重新贴出右边的三位数卡片,生选择算式)
师:(翻开右边的三位数卡片,是510)谁赢了?
生:不确定。
师:怎么办?
生:任意翻开一个加数十位上的数字。
生:学生赢。
师:你们是怎么判断的?
生4:估小是200估小是360,200+360=560,比510要大。那么比510更大。
师:还有要挑战我的吗?就剩最后一个了。(师继续贴出右边的三位数卡片,生选择算式)
师:(翻开右边的三位数卡片,是600)谁赢了?
生:还不能肯定,目前来说是老师赢了。
师:说说你们的想法。
生5:虽然两个数的和现在比600小,但如果后面出现的数字是5,6,7,8,9,那就是学生赢了。
师:那怎么办?
2.运用策略解决实际问题,在解决问题中感受估算的价值。
课件出示:小明一共挑选了197元钱的商品,小芳挑选了289元钱的商品,他们两人一共准备了500元钱,够吗?
师:此题实际上是要我们解决一个什么问题?
生6:小明和小芳买东西共花的钱和准备的500元钱够不够的问题。
师:它的实质是要我们干什么?
生7:比大小。
师:谁和谁比较?
生7:197+289的和与500比较大小。
师:谁能用最快速的方法比较出这两个数的大小?
生8:够,因为197+289小于500。
师:说说你是怎样快速判断的。
生8:197估成200,289估成290,200+290=490,490<500,所以够。
师:将197估成200,197比200大还是小?
生:小。
师:同样地,将289估成290,289比290是大还是小?
生:小。
师:200+290=490,换句话说,也就是197+289<490,和500相比就更加小。原来解决“够不够”的问题也可以通过估算的方法快速比较它们的大小,从而知道够不够。
课件出示:巨幕影院有441个座位。一到三年级有223名学生,四到六年级有239名学生。六个年级的学生同时看巨幕电影,坐得下吗?
师:问题的实质是让我们干什么?
生9:比较人数和巨幕影院的座位数。
师:你们能帮助我解决问题吗?请同学们独立思考,看谁最快判断出座位数够还是不够。
(生独立思考)
师:谁来说说你是怎样解决这个问题的?
生10:223估算成220,239估算成230,220+230= 450,精确值肯定大于450,也就比441更大,因此座位数不够。
师:将223估成220,将其估小了,将239估成230也估小了,而220+230=450,很明显450>441。
设计意图综述:
本教学设计由一个“翻卡片比大小”的游戏展开,这个游戏是本教学设计的核心,对整个教学的推进起到了一石二鸟的作用。
首先,在“翻卡片比大小”时,由于总有数字被卡片盖住,学生无法精确计算出结果,就不得不通过估算比较大小。在整个游戏环节,教师一共抛出了4个比较大小的问题,学生在解决这4个问题的过程中,不但体会到了估算的价值,而且逐步掌握了用估算解决此类问题的策略和方法。在这之后,当教师出示教材的实际问题时,学生由于已经具备了解决此类问题的经验和能力,就愿意选择估算来解答了。
其次,本游戏在化解学生常见估算错误的同时,还巧妙地渗透了估算方法的训练。我们知道,解决此类问题需要学生正确使用两种估算技巧,“去尾”法和“进一”法。在解决实际问题时,对于同一个数,比如238,有时需要采取“去尾”法将238看成230,有时又需要采取“进一”法将238看成240。但是,由于个位数字“8”的影响,学生往往总是倾向于采取“进一”法将238看成240,因为240离238近些。如果估算的对象是“223+239”,就必然会估算成“220+ 240”,这就犯了将加数一个估大、另一个估小的典型错误。而在“翻卡片比大小”游戏中,由于数字“8”被盖住了,学生无法通过“四舍五入”法求近似数,只能根据实际问题的需要选择是用“去尾”法还是“进一”法。反复几次“翻卡片比大小”的游戏之后,学生在潜移默化中接受了这两种估算技巧,为接下来解答教材上的实际问题奠定了坚实的基础。
1.教材的教学要求是否过高?
为了解决例4提出的问题,教材提供的解答是这样的:
223>220,239>230,220+230=450,223+239一定大于450,坐不下。
我们将其中的推理过程略加抽象就是:因为a>m,b>n,所以a+b>m+n,又因为m+n>c,所以a+ b>m+n>c。这其实就是不等式证明中常用的技巧——放缩法。解答过程中需要对两个加数同时进行放缩,而且必须同时放大或缩小(否则推理过程就不符合逻辑)。我们认为,对小学三年级的学生来说,掌握这样的技巧未免要求太高,为时过早。
其实,在新人教版三年级上册第70页还有一个“用乘法估算解决问题”的教学内容(如图6)。
图6
同样是一个用估算解决问题的教学内容,却没有教师反映“内容太难,学生学不会”之类的问题。仔细比较这两个问题,我们不难发现,“用加法估算解决问题”需要同时对两个加数进行放大(或缩小),而在“用乘法估算解决问题”中,只需对其中的一个因数进行放大(或缩小)。以上题为例,因为29人<30人,而30人购票需要30×8=240(元),又因为250元>240元,所以带250元够了。由此证明,三年级学生能轻松处理只需对一个数进行放缩的问题,却难以处理像例4这样需要对两个数同时进行放缩的问题。
事实上,《义务教育数学课程标准(2011年版)》在第一学段关于估算教学只提供了一个实例(如图7)。巧合的是,它也是一道乘法估算题,而且解决它也只需要对其中一个因数进行放缩即可:显然987人<1000人,而1000人购票需要1000×8=8000(元),所以带8000元够了。
图7
基于以上理由,我们认为,新人教版三年级上册增加的“用(加法)估算解决问题”对学生的要求过高。
2.能否调整教学目标,仅仅要求学生“能通过估算大致判断够不够”?
现实生活中,我们同样会遇到需要判断够不够的情形,有时我们仅仅只做一个粗略的判断,比如,“差不多够了”“应该够了吧”,这种近似的回答也是很有价值的。与之相应的,在教学中,我们能不能将例4的教学目标调整为能大致判断够不够即可呢?比如,是否允许学生这样解答:把223估成220,239估成240,而220+240=460,所以不够。我们知道,这样解答是存在风险的,逻辑上并不成立。但是这种粗略的判断既符合现实生活的某些场景,又体现了估算的一般特点。所谓“估”,不就是大致判断的意思吗?问题在于,一旦允许学生这样解答,势必会让学生落入采用“四舍五入”求近似数的方法进行估算的泥沼。而学生一旦习惯用“四舍五入”求近似数的方法解决此类问题,就再也不会关心问题的具体背景。这恰恰是我们最不愿意看到的情况。关于这个问题,直到研究结束,我们都未能得出清晰的结论。
3.一个好的估算素材应该具备哪些特点?
在估算教学中,一个合适的教学素材对教学目标的达成起着决定性的作用。我们认为,一个好的估算教学素材应该满足以下两个条件:(1)精算复杂(或无法精算);(2)估算简便且能解决实际问题。《义务教育数学课程标准(2011年版)》提供的估算实例(例6)就是一个很好的范例(见图7)。该例如果直接精确计算987×8的得数就比较复杂,而采取估算解决却非常简单,充分体现了估算的价值。
比较而言,新人教版三年级上册第15页例4“用估算解决问题”(见图1)显然就不是一个很好的估算素材。因为,如果直接精确计算出总人数,再判断座位够不够并不复杂;相反,用教材提供的估算方法解答时,推理过程却显得格外复杂,学生难以掌握。
在估算教学中,我们经常指责学生缺乏估算意识,埋怨学生只有看到题目中出现“大约”二字时才想到估算,为估算而估算,却很少有人反思我们的估算教学本身是否出了问题。我们在估算教学中常常提供一些不好的估算素材,然后想当然地逼着学生去估算。学生由于在解决问题的过程中未能真正体会到估算的价值,就无法将估算内化为自觉的行为。这个问题应该引起我们足够的重视。否则,“培养估算意识”“结合具体情境,选择适当单位,体会估算在生活中的作用”等课程目标都会成为一句空话。
(执笔:高业波、郑志刚)