寻找数学的美与理

董文彬

小学数学主题作业的优化设计主要是针对当前教学中作业设计的现实困境，围绕单元学习中的知识、技能、思想、方法、现象方面的困惑为主题，引导学生在作业中经历探索、发现、研究、快乐的学习体验，注重体现学生数学思考主动参与的全过程，注重体现学生经历问题解决自主探究的完整过程，形式新颖多样，内容丰富有趣，让儿童感到数学“好吃而有营养”、好玩而有深度，力求以此为载体，整体发展儿童的数学核心素养。下面，笔者仅以北师大版小学数学中段教材教学为依托，例谈小学数学主题作业优化设计的主要策略。

一、关注儿童身边的数学问题—超市中的混合运算

身边的生活是最好的数学百科情境。教学中我们绞尽脑汁地为学生创设问题情境，有时创设得不好还会偏离儿童的现实生活，显得“假生生”而经不住追问和考验，殊不知身边的生活就是给儿童的最好的学习情境。比如超市、操场、社区、游乐园等，我们的作业能不能把孩子扔到身边这些活生生的“生活”里，让他们自己去探索、去发现数学问题？

在学习完三年级（上）“混合运算”单元后，笔者设计了超市中的混合运算主题作业，要求学生用一周时间走进家门口附近的超市购购物、找一找、看一看，可以针对自己感兴趣的售货区域认真观察，收集、记录、整理商品的价格信息，自己尝试发现和提出这其中与混合运算相关联的数学问题并尝试解答，最终以文字、图示、表格、算式等多种方式呈现成果，并写出自己的反思、收获和感受。

学生走进超市用相机、笔、纸等收集记录下商品价格，在作业本上用剪、贴、画等方式分类整理出这些价格信息，然后根据自己在数学课堂上刚刚学习过的不同类型的混合运算，提出了很多有价值的相关问题，并通过画图、列式等方式表达对问题的思考、解释和理解。孩子们发现和提出的数学问题丰富多元又不失深刻。

例1：超市大促销时，优益C 6元一瓶，买五赠一，纯牛奶8元一盒，第2盒半价。笑笑五共有54元钱，她买6瓶优益C还剩多少元？剩下的钱还能买几盒纯牛奶？学生得出的算式如下：54-5×6=54-30=24（元）;8+8÷2=8+4=12（元）;24÷（12÷2）=24÷6=4（盒）

运算教学一直以来被公认为是重要的、抽象的，同时又是枯燥的、乏味的。三年级的孩子初次接触混合运算，无论是问题的发现和提出、数量关系的分析和表达、运算顺序合理性的理解对学生来说都是难度不小的挑战。如何把运算内容的学习变“枯燥”为“好玩”，让孩子们亲近数据信息、亲近问题、亲近运算、培养数感、热爱数学是教师义不容辞的责任。通过这样的主题作业，学生经历了数学问题发现、提出、分析、解决的创生的全过程，同时对整个单元的乘加、乘减、除加、除减、加减、小括号等各种类型混合运算的意义和拓展运用实现了再认识、再理解、再建构。学生通过这种开放性的作业，需经历“发现—提出—分析—解决”数学问题的全过程，学生需要收集、记录、整理生活情境中的信息，然后从这些信息中发现并把数学问题抽离出来，并通过画图、算式等方式表征和解答这些问题，这是真正把生活问题数学化的过程。学生得到的不仅仅是对运算意义本身深层次的理解，更是在从头到尾问题解决过程中达成的一种丰富体验。

二、关注数学本身意义的理解—算式变故事

数学其实是生活的数学，数学是故事的数学，数学更是意义的数学。每个数学算式或代数式背后都有与其意义相关的现实故事，这个故事就是算式或代数式在生活中的原型。北师大第四版教材十分重视对数学算式回归生活原型的体现—给算式讲故事。

在学习“混合运算”的过程中，笔者设计了算式变故事的主题作业，要求学生给3×6+7、12÷2+6、（48-24）÷6、（6+2）×4、20-20÷4、36÷（3+3）、100-75+23、7×9-50这八个算式（有想法的同学也可以自己写算式）编故事，用图文并茂的方式清晰表达出算式背后故事的意思、算式所解决的问题，并尝试解答。

学生很喜欢这样有创造性的作业，每个人都讲述出了合理的故事—算式背后所能解决的生活中的实际问题。比如，有一位学生讲了一系列阿拉丁的故事，非常有创意。

例1：阿拉丁的妈妈每天缝7条裤子可挣7个第纳尔，为了多挣些钱，还要缝6件上衣，每件上衣可挣3个第纳尔，阿拉丁的妈妈每天挣多少第纳尔？其算式为3×6+7=25（第纳尔）

例2：一天一个自称阿拉丁叔叔的人来到他家里，给阿拉丁买了十分华贵的衣服：12个金币2条的裤子和1件价值6个金币的绸缎上衣，问阿拉丁穿一套衣服价值多少个金币？可得算式为12÷2+6=12（个）

在学生眼中，这些算式有了学习者所赋予他们的特定的现实意义，它们能解决很多问题，如购物、公交车站上下人、公园租船、会场布置盆花、吃糖、读书、年龄、桶内加水等问题……学生这种对运算抽象意义的感悟是非常难能可贵和了不起的。讲故事看似很简单，实则是在沟通运算与生活的联系，通过寻找生活情境中的例子或原型最终理解算式解决的是个什么问题。在这样有意义、有创造性的作业中，数学算式不再是冷冰冰的枯燥无味的符号、式子，而是儿童依托自身的知识经验所赋予它的在生活中随处可见、承载着情感的、具有鲜活意义的东西。这是一种数学问题生活化的过程，这样的经历体验能够帮助孩子亲近算式、理解算式，培养孩子们对数学的热爱。

三、关注数学不同思维方式的培养—玩转“铺地砖”

北师大版四（上）第三版教材第59页第1题“铺地砖中的学问（如下图）”（第1问）引发了笔者的思考：

这是一道考察学生用乘法解决实际问题的题目。然而，这道题目又是非常鲜活的教学资源，认真审视其蕴含的价值远不止于此—它既是对第三单元用乘法解决实际问题的运用，同时又是五年级学习“组合图形面积”问题的前奏。求“铺了多少块地砖”不就是求这个组合图形的“面积”吗？为什么不放手让学生自己来探索解决问题的策略呢？如果在讲解之前让学生尝试从不同角度思考解决此问题，学生就会不满足于一种方法，思维方式也许会更发散，在加深对所学知识内容的理解的同时，还可以有效地发展学生多角度思考问题的多元的数学思维能力。

于是，笔者设计了“玩转铺地砖”的主题作业，要求学生用一周时间尝试思考用多种方法和思路解答本题。尽量详细记录在解决此问题时思考的过程性痕迹，画图说明，列式计算，并附带必要的文字解释，给所用的方法起个合适的名称。

学生作答效果较好，大部分学生都用到了5种及以上解决问题的方式方法。如数一数，分割法（左右分、上下分）—将原图分割成两部分分别计算地砖数再相加，填补法—将原图右上角填补成一个新的长方形，再用长方形的地砖数减去右上角小长方形的地砖数，挪移法—根据图形边长的数据，在将图形分割后将上半部分挪到剩余图形的右边，或者将分割后的右半部分挪移到剩余图形的上边等。通过这种方法，同学们深刻地体会到多角度解决问题的妙趣。数学题不但不可怕，反而很好玩。

教材中的习题因其科学性、合理性、开放性，蕴含着数学知识和数学思想的核心本质，同时传达着编者的意图及思考，一直以来成为巩固和评价学生学习效果的重要载体。深入挖掘这些有价值的课后习题资源，并将这些资源深入挖掘、用实、用活，在原来的基础上进一步丰富和加工，能够帮助学生创造性地理解和解决数学问题。如果教师认真研读教材中充满智慧和挑战的这些有价值的习题资源，启发学生读懂教材和编者意图，更多地关注对数学问题解决的不同思维方式，这样就能避免大量的机械性练习给学生带来的负担和烦扰，帮助学生真正理解数学知识、掌握技能、内化数学的思想方法，进而切实提升学生的数学素养和数学能力。

四、关注数学刻画的多元表征方式—丰富的分数

北师大版三（下）第六单元“认识分数”在数的认识领域中是十分重要的内容，由于学生在小学阶段第一次接触分数，而北师大版教材更是在初识阶段就把对分数认识平均分的对象由“个”扩展到“群”，增加了学生认知和理解上的难度，因此对“分数意义”的理解更是成为这个单元的重中之重。在学习完这个单元后，为考察学生通过多种表征方式所达成的对分数意义的理解程度，笔者设计了丰富的分数主题，要求学生用课堂35分钟时间自己任意举1～2个分数，如、等，并用用自己喜欢的方式方法表示出这个分数（至少3种），并尝试表达出这个分数所表示的意思。

学生的表示方法多种多样，文字表述、实物、圆形图、长方形图、正方形图、三角形图、数轴、线段图等，有96%的学生都用到了三种以上的表征方式，从平均分一个物体、一个图形到平均分多个物体、多个图形等都得以呈现。特别是有的学生出现了这样两种思维来表示“”：一个是借助数轴找到“”这个数所对应的点，一个是借助线段图表示出“”所表达的关系，实际一个是“量”，一个是“率”，三年级学生能够对分数理解到这样的程度实属不易。

在数的领域中，分数的意义是最丰富的，同时也是最抽象的，三年级的孩子理解起来比较困难，这就需要借助各种直观模型帮助学生真正理解分数的意义，让分数看得见摸得着说得清。无论是面积模型还是集合模型，学生都要经历平均分的过程，平均分的对象也由“个”扩展到“群”，学生在平均分、取的过程中深入地理解了分数。这种对同一个分数的多元表征方式，对同一整体的不同分法，从面积模型到集合模型，进一步增强了学生对分数意义的理解，旨在丰富学生对分数的再认识，更重要的是学生还积累了多角度理解数学的思维活动

经验。

五、关注数学活动经验的积累—好玩的测量

三年级学生对周长有了一定的认识，而周长概念的建立绝不仅仅是会计算课堂中学习的长（正）方形的周长。课堂或教材中所提供的问题情境往往是把生活数学化后的静态呈现，解决生活中大的不规则的实物或图形的周长问题成为学生们认知的难点。尽管课堂中孩子们通过实际操作探索理解树叶的周长，初步建立了周长的表象，如可通过将细铁丝沿树叶边线绕围一圈（做好标记），然后将细铁丝拉直，细铁丝的长度即是树叶的周长，或将树叶在直尺上滚动一周（做好标记），树叶滚过的长度即表示树叶的周长，但毕竟课堂时间有限，况且树叶太小了，有的学生对实际中更大的不规则实物周长的测量存在一定障碍。因此笔者设计了好玩的测量主题作业，要求大学用2周时间测量学校操场跑道的周长（写清研究的是哪条跑道），研究活动以组为单位，分工合作，测量数据可以共享。每人完成一份完整的实践报告。

学生（共68名、分17组）测量情况如下：

（1）研究操场跑道周长所使用的测量方法：有15个组在前期设想中讨论出了8种以上不同的测量方法，如：线绳/米尺直接测量法、脚（鞋）测法、步测法、呼啦圈滚动测量法、自行车车轮滚动测量法、手拉手移动测量法、步行速度测量法、排水孔间距测量法、跑道灯测量法等，实际操作中有13个组用了其中4种以上的测量方法。其中有37人在报告中体现了多次实验追求结论相对准确等。

（2）实践报告的撰写情况：经统计，有62人方案设计得合理、可行，过程记录清晰，数据合理可信，运用数据得出结论、解决问题。报告撰写得翔实完整，研究的问题明确，小组分工清晰，测前小组讨论过程记录详细，实施过程细致，过程性数据记录清楚，能够借助图片、文字、表格、示意图等进行后期的思考、计算、整理得出结论，反思具体，收获与感受深刻，自我评价客观。有学生最多竟写出了15页的实践报告！

完成这个主题作业后，学生写道：“平时上操我没有注意过操场跑道的周长，这次实践主题作业让我彻底关注了一下。我们小组互相启发想到了11种方法。我在测量过程中才知道：测一条跑道这件小事原来还有那么多种方法。数学就像一台光谱仪，思考问题总是有多种角度啊！”还有一个学生的感悟着实让笔者惊讶：“测量不一定非要直接用尺子，其实身边的许多物体都可以当成‘标准’作为测量工具，然后去数、算就可以了。”

课堂教学留在学生头脑中的是丰富的周长表象。而学生创造性的研究实践，给学生留下的不仅仅是对概念、对数学深层次的理解，更重要的是让学生完整地经历了问题解决的全过程。学生度量操场跑道周长的策略是合理的并且呈现出多元化的样态。学生解决实际生活中比较大的且不规则实物的周长时，能够合作去思考测量方法，使抽象思维得以扩展，进一步建立周长概念，并在实际操作中理解度量方法。这种实践性的主题作业对促进学生学习的自主性、创造性，培养学生的问题解决能力和创新能力，特别是积累数学活动经验是很有意义的。

日本著名数学教育家米山国藏曾指出：“学校所培养的学生毕业后，不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻于头脑中的数学精神、数学思维方法、研究方法、推理方法才会随时随地发生作用，使他们受益终身。”笔者想，小学数学主题作业正是为学生提供数学方法、启发数学思维、形成数学能力、悟化数学精神、发展数学素养的重要途径。抽象的数学学习通过主题作业不再冷冰冰，而是多了一层色彩和温度，数学在学生的眼睛里不再神秘，不再深不可测。我想，只有这样从形式到内容都不断优化设计的主题作业，才能真正有效引领学生发现和提出数学问题，真正帮助学生不断寻找数学的美与理。

（作者单位：清华大学附属小学）

责任编辑：赵彩侠

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