掌握知识的思维特征是学生理解数学问题的关键

张鹤

在数学教学中，如何让学生更好地理解数学问题呢？提高学生的数学能力的关键在哪里？在当前，普遍存在的依赖大题量的数学练习，以此提高数学成绩的做法是不是违背数学教育的目的呢？

我们知道，发展学生的数学思维能力是数学教育的基本目标之一。新课标指出：数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用。数学教师的教学任务很大的程度上是要通过你的教学活动，让学生领悟数学学科的思维特征，并能够用这种学科的思维方法理解数学问题，并解决数学问题。对学生数学能力的提高起决定作用的是学生的数学思维水平的提高，在这一点上，作为数学教师要有充分的认识。

函数是中学数学中的重要内容，常定位为重点内容、核心内容、主轴内容，它是由常量数学进入变量数学的转折点，由此确立起运动变化的观念，并为研究两个变量间的相互依赖的变化规律，建立起一套基本理论的基本方法。函数是中学代数的纽带，运用函数观点，可以站在一个统一、较高的角度上去处理其中的许多基本问题。函数又是解决许多数学问题以及生产、生活中的实际问题的常用数学模型，还是继续学习数学和其他学科的必备基础。

函数在我们数学教学中尽管是讲的比较多的内容，但这部分内容对于学生来说，不管是高一的学生还是高三的学生，学习的效果总是不佳，原因何在呢？教学中笔者经常能看到一些教师在讲授函数的时候，讲不出函数这部分的味道。函数的学习之所以最令学生们头疼，关键是学生们在学习函数的时候，没有掌握学习方法，没有学会用函数的思维去思考问题。这种现象的出现，教师有很大责任。

在函数的教学中如何体现函数的思维特征呢？其关键是要在教学中揭示出函数的自变量是如何引起其对应的因变量的变化的。教师要指导学生研究函数性质时掌握以下思维方法：在明确函数的自变量是谁的前提下，分析函数的自变量是如何变化的，也就是自变量的代数特征是什么，再分析自变量所对应的函数值之间有什么关系。教学中对学生的要求是首先能用描述性语言把函数性质表达出来，这是最重要的。因为这种自然语言的描述是反映学生的思维的，只有真正明白的学生，才能够依据函数的思维特征用函数的语言表达出函数的性质。其次就是要能够用数学的符号语言表达出刚才所叙述的函数性质，这是为后面进行数学的推导、演算做准备的，这个能力要求对学生来说也是最难的。当然，作为学生还要有能力读懂别人写的数学符号语言，这种读懂也是依据函数的思维特征去分析用数学的符号表达出来的函数性质。在此基础上，要能够通过函数性质的代数特征及其数学的符号语言形式，揭示出这个函数的图像特征。在有关函数的问题中，已知条件常常是先给出这个函数的图像特征或用抽象的数学符号语言表达出函数性质。教学中要防止那种没有函数思维含量的结论性或操作性的教学，如根据函数的图像特征去画图像;或从已知的函数图像中仅是能够直观地读出和计算求值有关的性质，而不会从函数思维的层面上去理解函数的图像所承载的函数的性质;或对用数学符号语言所表达的函数性质看不出来、看不懂，只是会给函数的自变量代一些特殊值去求值，作出比较粗糙的判断。实际上，遵循函数思维特征的教学应该是如果给出某个函数的图像特征，就要能够把几何特征转化为函数的代数特征。如函数y=f（x）的图像关于点（a，b）为中心对称，其代数特征是这个函数的自变量取和为2a的两个值的时候，对应的两个函数值的和为2b，并据此用符号语言写出这条性质，即f（x）+f（2a-x）=2b;如果是用数学的符号语言表达函数的性质，就应该让学生先读懂符号语言，在说出其图像的几何特征。如函数y=f（x）满足f（x-1）+f（3-x）=2，这个等式就意味函数y=f（x）取了和为2的两个自变量，对应的函数值的和为2，从几何的角度看，就是函数y=f（x）的图像关于点（1，1）中心对称。

平面解析几何是中学数学中独具特色的一个部分，它的核心思想是用代数方法解决几何问题。学生在解决有关解析几何的问题时，最大的困难是在思维层面上还没有真正理解和掌握平面解析几何的思维特征，对这门学科在思维层面的认识存在着误区。如很多学生认为平面解析几何的用代数方法解决几何问题就是计算。我们也的确常常看到很多学生在解决有关平面解析几何问题的时候，只要有两个曲线方程，如直线方程和圆锥曲线方程，就要联立，代入消元，转化为关于一个变量的一元二次方程，再计算判别式的值、写出根与系数的关系等，一直做到做不下去为止。在一些教师的指导中，给学生们传授的得分“秘籍”也是将已知条件中的方程能“联立”就“联立”，能算到哪里就是哪里，总可以得到一些分数等。

实际上，解决平面解析几何问题首先要做的就是要将几何对象代数化。平面解析几何研究的对象是几何元素，而依据几何学的学科观点、学科思想，也就决定了研究问题的思维特征：就是在用代数方法解决几何问题之前，要研究几何对象的几何特征。而所谓的几何特征就是单个几何对象的几何性质或两个及以上几何对象之间的位置关系。由于我们面对的几何对象的形式是多种多样的，有的是以方程的面目出现，有的是以图形的形式表达。为此，我们正是通过几何对象的方程、图形或数据等，来完成几何对象的几何特征的研究，并在此基础上进行将几何特征的代数化。这种代数化能否顺利地进行，取决于对几何对象的几何特征的分析是否准确和全面。

如有这样一个问题：直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my-4=0交于M、N两点，且M、N关于直线x+y=0对称，求m+k的值。这个问题不少的学生会在是否要将直线方程y=kx+1与圆方程x2+y2+kx+my-4=0联立而踌躇不前，还有的同学利用直线y=kx+1与直线x+y=0垂直得出k=-1之后，为如何算出m而苦恼。这些学生的问题都源于要通过计算得出结果的想法，反而陷入到困境中.符合平面解析几何思维特征的做法是：条件直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my-4=0交于M、N两点告诉我们的是直线y=kx+1与圆的位置关系;条件“M、N关于直线x+y=0对称”交待了直线y=kx+1与直线x+y=0的位置关系。即两条直线垂直，而且直线x+y=0还平分直线y=kx+1上的一条线段，这样确定直线x+y=0与圆x2+y2+kx+my-4=0的位置关系就成为思维的焦点，由于线段MN是圆的弦，弦MN被直线x+y=0垂直平分，由此进一步分析得出圆x2+y2+kx+my-4=0的圆心在直线x+y=0上。这就是这个问题最本质的分析，此时对这个几何特征的代数化就是将圆心坐标（，）代入到直线方程x+y=0，进而得到m+k=0。上述分析的思维主线遵循的就是平面解析几何的学科思想，正是在对两条直线及与圆之间位置关系研究的基础上，才找到了将几何对象代数化的本质做法。

总之，教师的教学工作就是将人类历史经验的精华即科学知识转化为学生头脑里的精神财富，在客观知识转化为学生的精神财富的过程中，教师“教的意识”就处于一个至关重要的地位。这种“教的意识”首先就体现在要教给学生思考数学问题的方法。这里不是说学生不会思考问题，而是针对学生不会用数学的思维去理解数学问题和思考数学问题而言的。我们深知数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用。教师的数学教学任务就是要通过教学活动，让学生领悟数学的各个单元知识所承载的数学思维特征，学会用数学的思维方法去理解数学问题。

（作者单位：北京市海淀区教师进修学校）

责任编辑：赵彩侠

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