王帅,姚俊义,陈涛,康彤
(1.中国传媒大学 理工学部,北京 10024;2.河北省石家庄市长安区食安办,石家庄 050019)
求解时谐涡流问题T-ψ有限元迭代算法
王帅1,姚俊义2,陈涛1,康彤1
(1.中国传媒大学 理工学部,北京 10024;2.河北省石家庄市长安区食安办,石家庄 050019)
介绍麦克斯韦方程组在时谐涡流场的边界条件,给出所要求解的T-ψ格式. 然后,提出全离散的耦合T-ψ有限元算法和解耦T-ψ有限元迭代算法.最后,进行数值实验,验证两种算法的可行性和收敛性.
麦克斯韦方程组;T-ψ方法;有限元;迭代法;耦合;解耦
本文将研究如下麦克斯韦方程组
(1)
其中E是电场强度,H是磁场强度,B是磁通密度,Je是涡流电流密度,Je是源电流密度。
因此,麦克斯韦方程组(1.1)可以写成如下T-ψ格式:
我们定义Ls()(s>1)是一个s可积空间,其范数定义为‖·‖Ls()。 在s=2的情形中,L2()也就是通常所说的平方可积函数的Hilbert空间,其内积与范数分别定义为(u,v):=∫u(x)v(x)dx,‖u‖:=(u,u)
定义Hm():={v∈L2():Dξv∈L2(),0<|ξ|≤m}及其范数‖其中,m非负整数,ξ是一个非负的三元组指标。我们用粗体符号来表示向量值性质,例如L2():=(L2())3。 设Ls(∂)(s>1)表示定义在边界∂上的s可积函数空间,它的范数是‖·‖Ls(∂)。 定义在Г的∂内积写作(u,v):=∫Гu·v。 对于e,e也可以类似于上面所定义的那样去定义,设(e):={v∈H1(e):v×n∈L1+α(∂e),0<α≤1,v·n=0在∂e上}于是,我们就可以定义一个Banach空间,它的内积为((p,φ),(Q,φ))v:=(P,Q)H1(e)+(▽Q,▽φ)L2()它的范数可以用如下的和形式来定义‖(Q,φ)‖v:=(‖‖▽φ空间V的对偶空间是V。
设Jh是上的标准四面体剖分,网格尺寸为h0。 我们定义
Wh:={φh∈H1():φh|κ∈p1,∀κ∈Jh}
1.1全离散的耦合T-ψ算法
抽取市售豆奶饮料30批次,配料表明示均以大豆为主要原料。取豆奶饮料40 mL置于50 mL离心管中,10000 r/min离心5 min,弃上清,取沉淀80 mg于2mL离心管中,按照试剂盒说明书操作提取基因组DNA。若单次离心沉淀较少,再次取样,重复离心1~2次。以提取的DNA为模板,分别进行RT-PCR和ddPCR反应,检测CaMV35s、NOS、Lectin基因。
对于任意的(Q,φ)∈V,求(T,ψ)∈V,满足下面的等式
iω(μ(T+▽ψ),Q+▽φ)L2(e)+iω(μ▽ψ,▽φ)▽φ)L2(e)-iω(μHs,▽φ)L2(e)
(3)
1.2全离散解耦有限元迭代算法
D((Q,φ),(Q′,φ′))=iω(μ(Q+▽φ),Q′+▽φ′)L2(e)+iω(μ▽ψh,▽
它的权范数模为
(5)
两种算法解的存在唯一性都可以由强制性和连续性证得,解耦中迭代法的收敛性也是可以证明的。
本节是对两种算法进行数值实验,验证了两种算法的收敛性和可行性。解耦相对于耦合算法有些误差,但是影响不大,并且在相同计算资源的配置下,所用时间和内存,解耦算法均小于耦合算法。图1中给出了所研究的模型图,这个模型是类似于TEAM Workshop Problem 7建立的,其中导体上的电导率σ=3.526×107西门子/米,在整个区域上磁导率×10-7亨利/米。 图2和图3给出了磁通量B在z方向的分量结果图,图4将耦合和解耦的下磁通量B在z方向的分量进行对比,在模型上取y=0.126,z=0.019这条直线的点值。
图1
图2
图3
图4
[1]R Albanese,G Rubinacci.Formulation of the eddy-current problems[J].IEEE proc,1990,173:16-22.
[2]C Amrouche,C Bernardi,M Dauge,V Girault.Vector potentials in three-dimensional non-smooth domains[J].Math Meth Appl Sci,1998,21:823-864.
[3]P Ciarlet,Augmented formulations for solving Maxwell equations[J].Comput Methods Appl Mech Engrg,2005,194:559-586.
[4]P Ciarlet,E Jamelot.Continuous Galerkin methods for solving Maxwell equations in 3D geometries[J].J Comput Phys,2007,206:1122-1135.
[5]P Ciarlet,J Zou.Fully discrete finite element approaches for time-dependent Maxwell’s equations[J].NumerischeMathematik,1999,82:193-219.
[6]T Kang,T Chen,H Zhang,K I Kim.Fully discrete finite element method for maxwell’s equations with nonlinear conductivity[J].Numer Meth Part D E,accepted for publication.
[7]T Kang,K I Kim.Fully discrete potential-based finite element methods for a transient eddy current problem[J].Computing,2009,85:339-362.
[8]K I Kim,T Kang.A potential-based finite element method of time-dependent Maxwell’s equations[J].Int J Computer Math,2006,83:107-122.
[9]P Monk.Finite Element Methods for Maxwelll’s equations[M].USA:Oxford University Press,2003.
[10]胡建伟,汤怀民. 微分方程数值解(第二版)[M]. 北京:科学教育出版社,2011.
[11]血德馨. 三维涡流场的有限元分析[M].北京:机械工程出版社,2001.
(责任编辑:马玉凤)
T-ψ Finite Element Method with Iteration for a Aarmonic Eddy Current Problem
WANG Shuai1,YAO Jun-yi2,CHEN Tao1,KANG Tong1
(1.Science School,Communication University of China,Beijing 100024;2.Food Security Office,Chang’anDistrict,Shijiazhuang,Hebei Province,Shijiazhuang 050019)
we present the boundary conditions of Maxwell’s equations in a harmonic eddy current problem,and give the desiredT-ψscheme. Then,we give finite element method of full discrete coupledT-ψscheme and the iteration method for the fully discrete decoupledT-ψscheme. Finally,the numerical experiments verify the algorithms and convergence.
maxwell’s equations;T-ψmethod;finite element;iteration method;decoupled;coupled
2015-07-14
王帅(1989-),女(汉族),河北承德人,中国传媒大学硕士研究生.E-mail:634699705@qq.com
O241.82
A
1673-4793(2016)01-0017-05