合情推理与演绎推理并重 展现几何的教育价值——“直线与平面平行的判定”的教学设计

叶　欣　江用科

(北京工业大学附属中学，北京　100022)



合情推理与演绎推理并重展现几何的教育价值

——“直线与平面平行的判定”的教学设计

叶欣江用科

(北京工业大学附属中学，北京100022)

本节课教师在立体几何教学中，以空间点、线、面的位置关系作为学习的出发点，让学生经历从特殊到一般，从具体到抽象的过程，逐步认识直线与平面的位置关系，概括出直线与平面平行的判定定理．引导学生进行合情推理，而不仅局限于演绎推理，更全面地体现几何的教育价值．

直线平面平行合情推理演绎推理

一、教学设计思想与理论依据

建构主义提倡在教师指导下、以学习者为中心的学习，也就是说，既强调学习者的认知主体作用，又不忽视教师的指导作用，教师是意义建构的帮助者、促进者，而不是知识的传授者与灌输者．学生是信息加工的主体、是意义的主动建构者，而不是外部刺激的被动接受者和被灌输的对象．

《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《标准》)中指出，学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式．这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程．

本节课在建构主义学习理论的指导下，以《标准》为依据，将空间点、线、面的位置关系作为学习的出发点，结合相关实物模型，通过直观感知、操作确认(合情推理，不要求证明)概括出直线与平面平行的判定定理，在不进行证明的情况下，让学生认可、理解直线与平面平行的判定定理，并能利用定理解决相关问题．

二、教学背景说明

(一)本课时教学内容的功能和地位

本课时选自高中数学人教A版《必修2》第二章“点、直线、平面之间的位置关系”的第二节第一课时“直线与平面平行的判定”．

本节课以空间点、线、面的位置关系作为学习的出发点，结合相关实物模型，学生通过直观感知、操作确认(合情推理，不要求证明)概括出直线与平面平行的判定定理．直线与平面平行的判定定理的探究与应用过程中，蕴含着转化与化归、有限与无限等丰富的数学思想，是直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的核心．一方面，为下一步学习平面与平面平行的判定、直线与平面平行的性质等内容奠定了知识与能力的基础；另一方面，在方法与思想上发挥着承上启下的重要作用．可以说本节内容是培养学生准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，发展学生的空间想象能力、合情推理能力和思辨论证能力的重要载体之一．

(二)教学准备

课前由学生每人准备一个梯形模板．

三、教学内容与方法说明

(一)教学目标

1．通过对生活实例的直观感知、对几何模型的操作确认、对数学图形的辨析，概括出直线与平面平行的判定定理，并能进行简单应用；

2．通过对定理的探究，经历观察、实验、猜想、归纳、概括等合情推理过程，体验这种重要的推理方式，发展几何直观和空间想象能力；

3．通过对定理的探究与应用，体会空间问题平面化过程中的转化与化归的数学思想，获得研究立体几何问题的一般规律．

(二)教学重点和难点

1．教学重点：直线与平面平行的判定定理及其应用.

2．教学难点：直线与平面平行的判定定理的形成过程及其应用.

(三)教学手段与方法

1．教学手段：本节课借助生活中的实例、数学中的基本图形让学生动手操作、观察、归纳定理，教师适时利用几何画板进行动态演示，帮助学生更好地理解定理．因此本节课将现代信息技术与传统教学手段相结合，展示运动与变化过程，并增强师生互动．

2．教学方法：本节课坚持“传授知识与发展能力相统一”的教学原则，采用启发与探究相结合的教学方法．

四、教学过程说明

在学习直线与平面平行的判定定理这一内容的过程中，为了突出直观感知—操作确认—思辨论证—强化应用的认知过程和研究思路，使学生亲历观察、实验、猜想、理性思考和归纳概括的合情推理过程，体验合情推理这种重要的推理方式，在应用定理的过程中感受演绎推理，笔者将本节课的教学过程分为6个环节(如下)，在每个环节中又通过若干问题，引领学生在原有认知基础上展开新知识的学习．

(一)温习旧知，引出新课

在教学的过程中，不仅要教给学生新的知识，同时要让学生清楚为什么要研究学习新的内容．因此在本环节中，首先提出两个简单的问题帮助学生回顾已有知识：

①空间中直线与平面有哪几种位置关系？(这里指出：其中平行是一种非常重要的关系，它的应用较多，是后面学习的基础．)

②怎样判定直线与平面平行呢？(有的学生会用“直线与平面平行的定义”，它可以作为判定直线与平面平行的一种依据，但是直线无限延长，平面无限延展，要说明直线与平面没有公共点，不易操作，需要寻找其他的办法，从而顺理成章地提出本节课的任务．)

那么又该如何进行研究呢？类比是合情推理中的一种重要的方式，因此提示学生回顾初中学习判定两条直线平行的情况，并指出当时是通过引入第三条直线，得到了判定两条直线平行的三个定理．那么，在判定直线与平面平行时，是否也可以通过引入新的元素呢？

(二)观察归纳，形成定理

《标准》中也指出几何教学应注意引导学生通过对实际模型的认识，学会将自然语言转化为图形语言和符号语言；通过对图形的观察、实验和说理，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系．

基于以上分析，在本环节中设计了如下5个步骤，让学生在实际生活中感受直线与平面平行及其判定方法的基础上，利用数学中的简单图形——梯形进行操作确认、说理思辨，并回归到数学中让学生辨认，最终由学生自己归纳出直线与平面平行的判定定理．

1．直观感知

首先让学生观察打开的教室门，并思考门边CD为什么与门框所在墙面平行？然后安排学生活动并回答问题：如果我们将一本数学书放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘AB与桌面具有什么样的位置关系？它又是为什么呢？

这两个生活中的实例，学生非常熟悉但平时又没有引起重视，用它们作为本课的引例，学生感到亲切的同时又能激发学生的好奇感，从上课伊始就紧紧抓住学生．另外，它们虽然是看似相同的两个例子，但是一个直立、另一个平放，对于刚开始接触立体几何的学生而言，这种位置的变化也是必要的．

2．操作确认

有了“直观感知”的基础，下面安排学生利用数学中的简单图形——梯形，进行实践活动．

活动(1)：将梯形模板的腰BC放在桌面上，观察另一腰AD与桌面的位置关系．在这个活动中，通过学生动手实践、观察，教师利用几何画板动态演示，让学生认识到虽然线段DA与桌面没有公共点，但是梯形两腰所在的直线相交，因此直线DA与平面相交，由此让学生突破由有限到无限的思维障碍．

活动(2)：将梯形模板的一条底边CD放在桌面上，观察另一条底边AB与桌面的位置关系．让学生再次感知直线与平面平行．另外，在这个活动中，学生随意摆放梯形，由于梯形是绕直线CD转动的，因此梯形所在平面与桌面所在平面有可能重合，借此让学生注意到AB若与桌面平行，AB首先要在桌面外这一重要条件．

3．说理思辨

由于在新教材中，对“直线与平面平行的判定定理”不要求证明，只要求直观感知、操作确认．因此，如何让学生认可定理的正确性就是在教学中必须要注意和解决的问题．为此，在活动(2)后，引导学生思考如下问题：①直线AB，CD是否共面？②直线AB与平面α相交吗？③如果直线AB与平面α有公共点，结果会怎样呢？对于问题③，引导学生说出如果相交则交点在两个平面的交线上，即在CD上，这是不可能的．渗透反证法的思想．

在这个环节中，利用数学中的简单图形——梯形，以上述两种情况为载体，通过学生的自主探究、动手操作、合作交流，进一步发现定理，同时培养学生的空间想象和思辨论证能力，体验合情推理这种重要的推理方式．

4．回归数学

有直观感知、操作确认作为基础，学生对如何判定直线与平面平行有了初步的感性认识，此时有必要引导学生从生活实例中回归到数学．于是提出问题：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，与AB平行的平面有哪些？与DD1平行的平面又有哪些呢？

利用正方体这个熟悉而又抽象的数学模型让学生对判定直线与平面平行提高到理性认识，为进一步归纳定理奠定基础．

5．归纳定理

此时归纳定理已是水到渠成的事情了．首先要求学生根据以上讨论，用自己的语言说出直线与平面平行的一个判定方法．学生开始可能对条件归纳得不够准确，让学生讨论后，师生共同给出定理的文字内容：

判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．

然后要求学生用几何图形和数学符号语言进行表达．

图形语言：

符号语言：a⊄α，b⊂α，且a∥b⟹a∥α

得到定理后，再要求学生用定理解释生活中的实例，帮助学生加深对定理的理解，同时引导学生将数学与实际生活相联系，培养学生学数学、用数学的意识和能力．

(三)剖析定理，深化理解

虽然在第二环节中学生已经通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面平行的判定定理，但是对定理的条件及其作用理解得还不到位，为此安排学生对如下问题进行思考：

(1)如图，c，d是两条直线，α是平面，已知c∥d，请补全条件，使c∥α．

(2)c是平面α外的一条直线，请补全条件，使c∥α，并画出相应的图形．

(3)直线a与平面α内的一条直线b平行，则a与α具有怎样的位置关系？并画出相应的图形．

通过学生对这三个问题的讨论，让学生加深对定理中的限制条件的认识．同时点明定理是判定或证明直线与平面平行的依据；应用定理的关键是在平面内找(或作)出一条直线与平面外的直线平行．在讨论的过程中，让学生认识到此定理实际是将空间问题转化为平面问题，体现了化归与转化的数学思想，这也是处理空间位置关系的一种常用方法．

(四)巩固练习，加深理解

在学生对定理初步掌握的基础上，为巩固学生所学，本环节中，安排了如下的典型例题和练习．让学生在应用定理的过程中，进一步理解定理，体会定理的作用、价值，并培养学生的理性精神和严谨的思维习惯．

例1求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面．

已知：空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求证：EF∥平面BCD.

证明：连接BD，

∵E，F分别是AB，AD的中点，

∴EF∥BD，

∵EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，

∴EF∥平面BCD.

本例题首先需将文字语言转化为图形语言和符号语言，进一步培养学生将各种数学语言进行转化的能力．此题比较简单，可以让学生说出证明方法，熟悉定理条件及使用方法，教师在黑板上进行板演，起到很好的示范作用．

练习如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为DD1的中点，试判断BD1与平面AEC的位置关系，并说明理由．

本题较为开放，在判断BD1与平面AEC的位置关系时培养学生的几何直观能力，而证明过程则是对例题1的巩固．

例2在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，G分别是BC，C1D1的中点，求证：EG∥平面BB1D1D．

证明：取B1D1的中点H，连接BH、GH.

∵G是C1D1中点，

∵E是BC中点，且BC∥B1C1，BC=B1C1,

∴GH∥BE，且GH=BE，

∴四边形BEGH是平行四边形,

∴GE∥BH.

∵GE⊄平面BB1D1D，BH⊂平面BB1D1D，

∴GE∥平面BB1D1D.

在例1的基础上，本题可以让学生独立思考并讲述自己的想法，本题有两种解题思路可以拓展学生思维．

结合例1和例2归纳得到线线平行的常用方法，即中位线法和平行四边形法．

(五)归纳小结，提高认识

归纳小结是巩固新知不可或缺的环节之一，这个教学环节对培养学生的归纳概括能力、自我获取知识能力和语言表达能力是十分重要的．在本环节中引导学生进行以下方面的思考：

(1)本课通过观察打开的门、翻开的书的封面，感受到生活中存在的直线与平面平行的实例；然后利用梯形模板完成了两个实践活动，并思考了为什么把梯形的一条底边放在桌面上，并让它立在桌上时，它的另一条底边所在直线会与桌面所在平面平行；接着又在我们熟悉的正方体中找到与棱平行的平面，最后归纳出判定直线与平面平行的定理．

(2)判定直线与平面平行的两种方法：其一是使用定义，证明直线与平面没有公共点，但实际操作不太容易；其二是使用判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．在使用该定理证明直线与平面平行时，要注意定理中的三个条件缺一不可．

(3)使用判定定理证明直线与平面平行时，关键是在平面内找到一条直线与平面外的直线平行，从而将直线与平面平行的问题转化为直线间的平行，这实际上是将空间问题转化为平面问题，它也是处理空间位置关系的一种常用方法．

(4)找这条平行直线主要是利用平面几何的知识：常用的方法是构造三角形中位线、根据比例线段得到相似三角形，进而用三线八角，以及构造平行四边形得到平行的两条直线．

(5)就像我们每天开关门一样，生活中，还有很多实例在不经意间隐藏着很多奇妙的数学问题，希望同学们用你的一双慧眼去发现它们、研究它们、应用它们．

(六)布置作业

本课安排了两项作业，一项是课本中的习题第61页——第1、2、3题，通过完成这三个题目，帮助学生巩固课上所学习的内容．另一项是一个发散性问题：在例1中，如果E，F不是中点，那么它们满足什么条件时，仍然能得出EF∥平面BCD？请你编一道题，并进行证明，通过完成此题拓展学生思维．

五、教学反思

本节课学生通过对生活中的实例进行观察、分析，直观感知定理；通过动手操作、归纳、概括等活动认识定理；在经历观察、实验、思考、说理等合情推理过程中得出定理，通过辨析和应用定理证明问题等过程理解定理．上述环节的实施使学生切身体验了直观感知、操作确认、思辨论证、强化应用这一学习定理的一般过程，获得了较好的教学效果．

1.在教学中重视几何的教育价值

判定定理不要求证明了，那么我们观察得出的结论是否正确？为解决这一问题，本课安排了实践活动及说理思辨环节，即为什么把梯形的一条底边放在桌面上，并让它立在桌上时，它的另一条底边所在直线会与桌面所在平面平行．学生在不断地思考中确认定理的正确性，在这里引入合情推理就显得至关重要.

从几何推理的角度来看，既有演绎推理，又有合情推理．在《标准》中，对立体几何初步的要求也可以看出：要让学生经历从特殊到一般，从具体到抽象的过程，逐步认识直线与平面、平面与平面的位置关系，进行合情推理而不仅局限于演绎推理，这也更全面地体现几何的教育价值，是《标准》在立体几何教学中的一大突破．在本课的教学中，充分重视和体现了几何的教育价值．

2.寻找好立体几何教学的逻辑起点

现在很多教师在“引入环节”的教学中，愿意使用实际问题引入，这可以在一定程度上说明要学习新知识的必要性，也可以激发学生学习的积极性．但是，对于高中生而言，从数学现实引入、从学生已经掌握的数学基础引入、从数学的发生发展过程自然而然提出数学问题，更为重要．这样可以让学生明确为什么学、怎样学，在传授学生新知识的过程中，也将知识网络建构起来，还教给学生研究新问题的方法．

本课从回顾学生已经学习的直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系入手；帮助学生搞清已经研究过什么，还需要研究什么．

3.在教学中，坚持多用实例，多用模型的原则

几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置间相互关系的科学．人类认识和探索几何图形及其性质通常是采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法．在《标准》中反复强调：在立体几何初步部分，学生应先从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系．在《标准》中也多次提到“数学模型”一词，旨在进一步加强数学与现实世界的联系．

本节课通过让学生观察打开的门、翻开的书的封面，感受到生活中存在的直线与平面平行的实例；然后利用梯形模板完成了两个实践活动；接着又让学生在熟悉的正方体中找到与棱平行的平面，最后根据这些，归纳出判定直线与平面平行的定理．本课通过学生身边的实际例子感知直线与平面平行的判定定理；再利用正方体这一学生熟悉的立体几何模型进一步抽象出直线与平面平行的判定定理．从生活实例到立体几何模型逐渐上升层次，升华学生的感知．

4.组织学生进行协作、会话等活动

在定理探究的过程中，由于给出的实例都是学生身边的例子，学生感到亲切、熟悉，热情很高；安排的用梯形做模型进行探究的活动，学生以小组为单位，积极进行活动，对思考问题积极讨论．在这个过程中学生独立思考、合作交流的意识和能力得到了锻炼；在定理应用的过程中，学生对空间图形平面化的化归思想强化了认识；在归纳小结的过程中，学生理性思维水平得到了发展．教师在教学过程中，创设问题情境，引导学生思考，对学生的闪光点及时表扬、激励，增强学生的自信心，促进学生自主全面发展.

5.不足

(1)在定理探究的过程中，更多地引导学生关注了实例中直线与平面内的直线平行，而忽略了直线在平面

外这一条件的梳理，因此学生在归纳定理和应用定理时常常遗漏这一条件.

(2)定理在应用过程中，更注意学生独立思考，没有安排足够的时间进行学生间的讨论，造成个别学生对本节内容理解不到位．

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)[S].北京：人民教育出版社，2003.

[2]人民教育出版社课程教材研究所，中学数学课程教材开发中心.普通高中课程标准实验教科书数学2必修(A版)[M] .北京：人民教育出版社，2014.

[3]人民教育出版社课程教材研究所，中学数学课程教材开发中心.普通高中课程标准实验教科书数学2必修(A版)教师教学用书[M] .北京：人民教育出版社，2014.

[4]陈越.建构主义与建构主义学习理论综述.[DB/OL].[2006-11-06].http:∥tieba.baidu.com/p/145698311.