几何精确梁的Hamel场变分积分子

王　亮　安志朋　史东华

北京理工大学数学与统计学院， 北京 100081； † 通信作者， E-mail: dshi@bit.edu.cn



几何精确梁的Hamel场变分积分子

王亮安志朋史东华†

北京理工大学数学与统计学院， 北京 100081； † 通信作者， E-mail: dshi@bit.edu.cn

利用场论下的 Hamel 形式， 对几何精确梁提出一种保结构的变分积分子， 并通过数值仿真说明该算法保持能量、动量和几何结构的特性。

几何精确梁； Hamel场变分积分子； 保结构

北京大学学报（自然科学版）第52卷第4期2016年7月

Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis， Vol. 52， No. 4 （July 2016）

几何精确梁的动力学广泛存在于大范围运动的力学系统中， 例如， 可应用于柔性机器人［1］， 使之可以做大量复杂的变形， 从而完成更多具有挑战性的工作； 也可用于聚合物长链的动力学模拟， 在研究 DNA 的动力学［2］中发挥重要作用。对于几何精确梁的模型， Reissner［3］首先提出大范围运动的应变梁模型， Antman 等［4-5］在此基础上进行完善， 得到经典的Kirchhoff-Love模型。Simo等［6］在上述模型的基础上考虑剪切变形， 使之广泛适用于梁的大位移和大转动的运动情形。

在几何精确梁的数值模拟算法研究方面， 传统方法是直接对运动方程进行离散， 这类方法大都不能保持系统的力学和几何结构， 存在数值耗散问题，不适用于长时间的运动模拟［7］。Marsden 等［8］基于经典力学中Hamilton原理的离散形式， 提出的变分积分子在一定程度上可以克服上述缺陷。Lew 等［9］指出， 变分积分子能够较好地保持系统的几何结构，避免传统离散方法的数值耗散问题。对于几何精确梁， Demoures 等［10］提出李群和李代数变分积分子，得到保持能量和动量的几何算法， 但该算法对空间和时间分别离散， 没有充分利用势能的欧式群不变性进行约化， 实现过程较复杂。Ball 等［11］对有限维系统提出Hamel变分积分子， 其框架可统一描述李群及李代数变分积分子， 尤其适用于带对称性的非完整约束力学系统。Shi 等［12］将其在场论框架下推广， 得到Hamel场变分积分子。本文将其应用于几何精确梁， 得到一种新的保结构算法。

本文在回顾几何精确梁模型后， 重新推导几何精确梁的 Hamel 场方程， 进而用 Hamel 场变分积分子得到几何精确梁的离散运动方程。最后给出实例， 说明该算法能长时间保持能量、动量和几何结构的特点。

1　几何精确梁的动力学

1.1几何精确梁的Lagrange函数

首先回顾几何精确梁的动力学模型［13］。

取定物质标架的一组固定基｛E1， E2， E3｝， 初始时梁位于（E2， E3）平面上。设梁长为l， 密度为ρ， 截面A为面积为A的正方形。

因几何精确梁的截面做刚体运动， 其位形由中线的位置函数和截面的旋转矩阵

给出。

考虑主丛（E， B， πBE）， 其中

πBE为丛投影。梁的位形空间为上述丛光滑截面的全体C∞（πBE）。下文为方便起见， 记

并不加声明地利用映射

建立同构

引入对流速度

以及对流应变变量

几何精确梁适用于大范围运动的一个主要原因在于其Lagrange函数具有欧式群作用不变性， 故可表示为

J为惯性矩阵

1.2几何精确梁的Hamel场方程

据上述Lagrange函数， 可以定义作用泛函为

此外， 通过计算易得下列变分公式:

由上述变分公式和Hamilton原理， 容易计算得到梁的Hamel场方程为

边界条件为

从式（1）和（2）求解g需要如下相容性条件:这可以从式（1）和（2）出发， 直接计算验证。相容性条件是由tξ和sξ生成的分布决定位形的可积性条件， 在几何上可解释为局部平坦性条件， 对于一般性的相容性条件参见文献［14］。

求解tξ和sξ需联立方程组（3）和（4）及上述相容性条件。

2　几何精确梁的 Hamel 场变分积分子

设梁的空间节点数为 K， 空间步长为hΔ， 时间步长为tΔ， 时间步数为N。

为方便起见， 以下对于序列｛qi，j｝， 令

相应的作用和为

利用离散变分原理易得如下结论: 序列满足离散变分原理①对适用于一般Lagrange 场论的离散Hаmеl 场方程，参见文献［12］。

及以下离散的相容性条件

边界条件为

用（3）se的Lie括号及其对偶定义， 可直接验证式（5）及（6）中的带括号项为

① 对适用于一般Lagrange场论的离散Hamel场方程， 参见文献［12］。

该离散格式的实现步骤如下: 1） 给定i， 输入序列

和

并代入离散格式（5）中， 通过修正的牛顿迭代法求解非线性方程组， 更新序列

2） 将所得的序列

和

代入离散格式（6）中， 求解线性方程组， 更新序列

3） 重复步骤 1 和 2， 可得到所有节点处的值。

4） 根据序列

并利用指数映射

及公式

迭代可得到

由几何精确梁的离散格式及离散的Noether定理［8］可以验证， 上述算法保持如下定义的离散动量:

其中，

3　数值仿真

考虑初始位置如图1所示的不受外力的几何精确梁。其参数［15］如下: 梁l=2π/3， 横截面是边长为a = 0.1的正方形， 密度ρ=1000， 杨氏模量E=107，泊松比ν=0.35。

取时间步长为Δt=10-4s， 空间节点数K= 101。根据上述的初始位形， 计算得到初始的对流应变变量为

且给定梁的初速度为

为了提高计算速度， 本文使用指数映射的近似映射—— Cayley变换［16］， 即用下式取代式（7）

这里 I4表示4阶单位矩阵。

从图 2 可见， Hamel 场变分积分子虽不能精确地保持能量， 但可使能量长时间稳定在一个很小区间内。本例能量取值为 99， 振幅区间长度仅为 0.7，说明该数值格式有好的长时间能量表现。

几何精确梁的角动量和线动量如图3所示， 说明该算法保持角动量和线动量。

图 4 是旋转矩阵正交性验证结果， 误差数量级达到10-14， 说明该算法精确地保持李群结构。

对于中线的节点， 每隔 10 个节点取一个截面，给出梁分别在不同时间点处的运动状态（图5）。

4　结论

本文通过Hamel场变分积分子， 得到几何精确梁的离散运动方程， 该算法具有保持能量、动量和几何结构的特点。与以往几何精确梁的李群变分积分子［10］不同， 在协变场论的观点下， 将时空等同离散和变分， 可有效地利用势能的对称性进行约化。本文最后以 R3中的几何精确梁为例进行仿真， 结果表明该算法能够长时间保持能量、动量以及李群结构。下一步我们将进行算法分析， 与已有算法对比， 并将 Hamel 场变分积分子应用于Chaplygin-Timoshenko 雪橇等无穷维非完整力学系统。

致谢感谢Dmitry Zenkov在论文写作过程中的帮助。

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Hamel's Field Variational Integrator of Geometrically Exact Beam

WANG Liang， AN Zhipeng， SHI Donghua†
School of Mathematic and Statistics， Beijing Institute of Technology， Beijing 100081；† Corresponding author， E-mail: dshi@bit.edu.cn

This paper develops a structure-preserving variational integrator for geometrically exact beam in Hamel's field formalism. A simulation illustrates that the derived algorithm preserves energy， momentum and geometry structure.

geometrically exact beam； Hamel's field variational integrator； structure-preserving

O302； O33； O242

10.13209/j.0479-8023.2016.079

国家留学基金资助

2015-10-19；

2016-03-14； 网络出版日期: 2016-07-12