多解问题归类解答

文/丁洁

多解问题归类解答

文/丁洁

在中考试题中，多解问题是一类常见而重要的问题，解决这类问题要多角度、全方位、深层次地去思考.下面以2015年中考试题为例，对常见的多解问题加以归类解析，供你复习时参考.

一、由高的位置不同引起的多解

图1

图2

A.7B.8C.8或17D.7或17

作AD⊥BC于点D，如图1.

（1）当高AD在△ABC内时，

（2）当高AD在△ABC外时，如图2，BC=BD-CD=12-5=7.综合（1）、（2）可知，选D.

温馨小提示：三角形的高可在三角形内，也可在三角形上或三角形外，对于没有明确三角形高的位置的“涉高”问题，要注意分类讨论，谨防漏解.

二、由弦所对的弧引起的多解

图3

例2（2015年泉州卷）在以O为圆心，3cm为半径的圆周上，依次有A、B、C三个点，若四边形OABC为菱形，则该菱形的边长等于______cm；弦AC所对的弧长等于_____cm.

解析：如图3，连接OB、AC，

∵四边形OABC为菱形，∴OA=AB=BC=OC.

∵⊙O的半径为3cm，∴OA=OC=3cm.

∵OA=OB=AB，∴△OAB为等边三角形，

∴∠AOB=60°，∴∠AOC=120°.

因此该菱形的边长等于3cm，弦AC所对的弧长等于2π或4πcm.

温馨小提示：在圆中，非直径的弦所对的弧有劣弧和优弧，要注意分类求解.

三、由绝对值的性质引起的多解

图4

例3（2015年泰州卷）已知一次函数y=2x-4的图像与x轴、y轴分别相交于点A、B，点P在该函数图像上，P到x轴、y轴的距离分别为d1、d2.

（1）当P为线段AB的中点时，求d1+d2的值；

（2）直接写出d1+d2的范围，并求当d1+d2=3时点P的坐标；

（3）若在线段AB上存在无数个P点，使d1+ad2=4（a为常数），求a的值.

解析：（1）令x=0得，y=-4，令y=0得，x=2，

所以OA=2，OB=4，故d1+d2=3.

（2）设P（m，2m-4），则d1+d2=|m|+|2m-4|.

当m＞2时，d1+d2=m+2m-4=3，解得m=，此时P（1，）；

当0≤m≤2时，d1+d2=m+4-2m=4-m=3，解得m=1，此时P（21，-2）；

当m＜0时，d1+d2=-m+4-2m=4-3m=3，解得m=，舍去.

（3）由已知得，|2m-4|+a|m|=4，当a=2，0≤m≤2时，都符合要求，故a=2.

温馨小提示：遇到含有绝对值的问题，需去掉绝对值符号，这就要根据绝对值的性质进行分类求解，从而得到多解.

四、由等腰三角形腰的不确定引起的多解

图5

例 4 （2015年南昌卷）如图5，已知二次函数l1：y= ax2-2ax+a+3（a＞0）和二次函数l2：y=-a（x+1）2+1（a＞0）图像的顶点分别为M、N，与y轴分别交于点E、F.

（1）函数：y=ax2-2ax+a+3（a＞0）的最小值为______；当二次函数l1，l2的y的值都随着x的增大而减小时，x的取值范围是_____；

（2）当EF=MN时，求a的值，并判断四边形ENFM的形状（直接写出结论，不必证明）；

（3）若二次函数l2的图像与x轴的右交点为A（m，0），当△AMN为等腰三角形时，求方程-a（x+1）2+1=0的解.

解析：（1）3；-1＜x＜1.

∴m1=-1，m2=--1（舍去）；

∵抛物线y=-a（x+1）2+1的对称轴为x=-1，

∴方程-a（x+1）2+1=0的解为x1=2，x2=-4，x3=-1，x4=--1.

温馨小提示：在等腰三角形中，腰与底的不确定引起的多解是中考命题的热点，要求出所有答案，需要确定分类标准.

五、由对称性引起的多解

例5（2015年扬州卷）如图6，已知⊙O的直径AB=12，AC是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点P，连接BC.

（1）求证：∠PCA=∠B；

（2）已知∠P=40°，点Q在优弧ABC上，从点A开始逆时针运动到点C停止（点Q与点C不重合），当△ABQ与△ABC的面积相等时，求动点Q所经过的弧长.

图6

图7

图8

图9

解析：（1）如图6，连接OC.

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠2+∠3=90°.

∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，

∴∠PCO=∠1+∠3=90°，∴∠1=∠2.

∵OC=OB，∴∠2=∠B，

∴∠1=∠B，即∠PCA=∠B.

（2）∵∠P=40°，∴∠POC=50°.

∵AB=12，∴AO=6.

当△ABQ与△ABC的面积相等时，动点Q在优弧ABC上有三个位置：

①如图7，点C关于AB的对称点，由轴对称性知，∠AOQ=∠POC=50°，

于如图8，点C关于点O的对称点，由中心对称性知，∠BOQ=∠POC=50°，

∴∠BOQ=∠POC=50°，∴∠AOQ=230°.

温馨小提示：由运动引起的多解是最常见的问题，若已知图形不完整需画出符合题意的所有图形，根据不同图形分别求解，得到所有的结论.

六、由操作过程的不确定引起的多解

图10

例6（2015年绍兴卷）实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1∶2∶1，用两个相同管子在容器5cm高度处连通（即管子底端离容器底5cm），现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如图10所示.若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，注水1分钟，乙的水位上升cm，则注入_____分钟的水量后，甲与乙的水位差是0.5cm.

解析：设注入t分钟的水量后，甲与乙的水位差是0.5cm，有三种情况：①当乙的水位低于甲的水位时；于甲的水位低于乙的水位，而甲的水位高1cm；③当甲的水位低于乙的水位时，乙的水位到达连通管的底部，甲的水位上升.

∵三个圆柱形的底面半径之比为1：2：1，

∴所以对应的底面圆的面积之比为1：4：1，

设注入t分钟的水量后，甲与乙的水位差是0.5cm.

③当甲的水位低于乙的水位时，乙的水位不断上升，到达连通管的底部后，乙的水流向甲，甲的水位开始上升，

温馨小提示：这是一道填空题的压轴题，有一定的难度.读懂题意，弄清甲与乙的水位差是0.5cm的所有情形，找出每一种情形下的等量关系，分别列出对应的一元一次方程求解.