中考数学中的几何最值问题

姚婉若

最值问题是学习的难点，也是中考命题的热点，它是初中数学中的常见问题.这类问题出现的试题，内容丰富，知识点多，涉及面广，解法灵活多样，且具有一定的难度.它主要是考查变量之间的变化规律，从而确定其最大值或最小值，一般分为代数最值问题和几何最值问题.代数最值问题是利用函数的性质研究变量之间的变化规律，从而确定最值；几何最值是利用几何的基本性质研究变量之间的变化规律，从而确定最值.

在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数及它们的和与差）的最大值或最小值问题，被称为几何最值问题.解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称、平移、折叠的性质求最值；（4）应用圆求最值；（5）应用其他知识求最值.下面选取近年来几道有关例题，依托例题分析，总结中考数学中关于几何最值问题的常见解题方法.

1.正方体（长方体）、圆锥（圆柱）中的最值问题：此类问题往往是将空间图形沿棱或母线剪开，转化为平面图形，再利用“两点之间，线段最短”来找出最短的路线，从而求出最值.

例：如图圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁从底面圆周上的B出发沿圆锥侧面爬到母线AB的轴截面上另一母线AC的中点D，问蚂蚁沿怎样的路线爬行，使路程最短？最短路程是多少？

解：圆锥侧面展开图如图所示∠BAD==60°

在Rt△ABD中，AD=Atan60°=答：蚂蚁爬行的最短路程是.

2.运用“三角形两边之和大于第三边”求最值.

例：已知边长为α的等边三角形ABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC的长的最大值是？摇 ？摇.

解：取AB的中点D，连接OD、CD、OC，则OD=a，且CD⊥AB，∴CD=a，当C，D，O三点共线时，

OC=OD+CD，否则OC

分析：本题求一条线段的最大值，关键是抓住斜边长度确定，斜边上的中线长也确定，利用三角形两边之和大于第三边，寻找突破口从而求解.

3.运用轴对称或平移，结合“三角形两边之和大于第三边”求最值.

例：在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（3，2），B（1，5）.

（1）若点P的坐标为（0，m），当m=？摇 ？摇时，△PAB的周长最短；

（2）若点C、D的坐标分别为（0，a）、（0，a+4），则当a=？摇 ？摇时，四边形ABCD的周长最短.

解：（1）如图，过点A作关于y轴的对称点A′，连接A′B，则A′B与y轴的交点即为点P的位置.

解：（2）如图，作点A关于y轴的对称点A′，则A′的坐标为（-3，2），把A′向上平移4个单位得到点B′（-3，6），连接BB′，与y轴的交点即为点D的位置.

分析：问题（1）中AB长度一定，只要AP+BP长度最小，周长就最小，△PAB周长的最小值问题转为求一个动点到两个定点的距离和的最小值问题，通过作对称点的方法，当三点共线时，两条线段和最小.

问题（2）要使四边形ABCD的周长最小，注意到AB、DC的长为定值，故只需AC+BD最小，用轴对称及平移方法设法将BD、AC集中到一条直线上解决问题，此时AC+BD=B′D+BD=BB′最小.

4.折叠最值：折叠背景下的最值问题，考查的是动手操作能力和合情推理能力，方法是（1）在折叠中感受大小变化规律，（2）通过特殊位置求最值.

例：如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，BC=5，点E、F分别在线段AB、BC上，将△BEF沿EF折叠，点B落在B′处.如图，当B′在AD上时，B′D的取值范围为？摇 ？摇.

分析：可以想象两个极端情况：

①如图1，当F点无限接近C点，此时B′F=BC=5，CD=3，所以B′D=4，

这是B′D的最大值.

②如图2，当E点无限接近A点，此时B′E=B′A=AB=3，所以B′D=5-3=2.

这是B′D的最小值.

5.运用“垂线段最短”求最值.

例：如图，在Rt△AOB中，OA=OB=3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为？摇 ？摇.

分析：连接OQ、OP，可得PQ=OP-OQ，而OQ为定值，所以只需OP最短即可，运用“垂线段最短”可知，当OP⊥AB时，OP最短.

6.构造圆求最值.

例：如图，等腰直角三角形ABC，斜边AC长为4，D是斜边AC的中点，直角∠FDE分别交AB、BC于E、F，则线段EF的最小值是？摇 ？摇.

分析：因为∠FDE+∠ABC=180°，所以点B、F、D、E四点在以EF为直径的圆上，在这个圆中，总有EF≥BD，所以它的最小值等于BD的长.

例：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A、B、C三点的坐标分别为A（，0），B（3，0），C（0，5），点D在第一象限内，且∠ADB=60°.线段CD的长的最小值为？摇 ？摇.

分析：由∠ADB=60°得D在一个圆的圆周上运动，该圆为⊿ABD的外接圆，不妨先让△ABD为等边三角形，方便求出圆心P（21），连接CP交该圆于点D，且点D在点C、P之间，这时CD的长最小.

7.线段差求最大值：可运用“三角形两边之差小于第三边”求最值.

例：已知：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，OC=3，BC=2，取AB的中点M，连接MC，把△MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到△DAO.试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得|TO-TB|的值最大？

分析：存在点T，使得|TO-TB|的值最大.∵点O、点E关于直线x=对称，∴TO=TE要使得|TO-TB|的值最大，即是使得|TE-TB|的值最大，根据三角形两边之差小于第三边可知，当T、E、B三点在同一直线上时，|TE-TB|的值最大.