研究试题特征，把握复习方向

□浙江省杭州市江干区教育发展研究院 易良斌

筅新卷首

研究试题特征，把握复习方向

□浙江省杭州市江干区教育发展研究院 易良斌

各地中考数学试题主要考察十大核心概念。试题回归四基，紧扣教材，体现探索图形的形成过程，关注研究函数问题的基本方法，指向学科综合学习。把握这些特征，有助于把握中考命题规律，有效复习备考。

中考试题 试题特征 复习建议

中考数学试题命题改革应有利于切实减轻中学生过重的学业负担，有利于引导学校深入实施素质教育，推进课程教学改革，有利于培养学生的创新精神和实践能力，促进学生健康成长和全面和谐、富有个性的发展。

一、中考数学考试的基本理念、主要内容与要求

基本理念：体现《义务教育数学课程标准（2011年版）》所确立的课程评价理念，从知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面进行评价，注重整体性、综合性与实践性，突出对学生数学素养的全面考查。

内容与要求：课程标准中“课程内容”部分规定的“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”四个领域的内容。主要考查的方面包括：基础知识，基本技能，基本思想，基本活动经验；数学思考，发现、提出并分析、解决问题的能力；创新意识和科学的态度等。关注并体现的方面包括：数感，符号意识，空间观念，几何直观，数据分析观念，运算能力，推理能力，模型思想，应用意识和创新意识等。设计一定的结合实际情境的问题、开放性问题、探究性问题、对学生学习过程考查的问题等，以体现对学生相关数学能力的考查。注重通用通法，淡化特殊的解题技巧，适当控制运算量。

二、中考数学试题的一般特点

1.紧扣《课标》：一般不允许超出《课标》要求。

2.源于教材：为体现试题素材的公平性，一般题目尽量来源于教材。

3.覆盖面广：一般教材“章”的覆盖率要达到100％，重点内容重点考查。

4.联系实际：一般有30％～40％的联系当前热点的实际应用题，着重考查学生解决实际问题的能力。

5.突出方法：一般注重数学思想方法的考查，重点考查数形结合、方程、函数、转化、数学建模、分类讨论等数学思想方法的考查。

6.体现探究：一般围绕初中数学中的重点内容设置形式多样的探究性问题，着重考查学生分析问题和解决问题的能力。

7.难易适度：一般要求得分率为75％～85％。

8.梯度呈现：一般设置有基础题、中档题和压轴题，由易到难，梯级呈现，以便区分不同层次的学生。

三、中考数学特色试题分析

近几年的中考试题立足基础，突出重点，能力立意，考查学生对基本数学知识、方法的理解与掌握情况，考查学生运用数学思想的状况，考查学生的数学能力及数学学习潜能，从而检测学生已有的和潜在的后续学习能力，体现考基础、考能力、考素质的考试目标，达到有利于引导和促进数学教学全面落实《数学课程标准》所设立的课程目标，有利于更新教师的课堂教学观念，改进教师的教学行为，有利于改善学生的数学学习方式。

1.试题回归四基，紧扣教材。

【例1】（2015广西南宁）如图1-1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米。

（1）用含a的式子表示花圃的面积；

（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价y（1元）、y2（元）与修建面积x（m2）之间的函数关系如图1-2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？

分析：（1）用含a的式子先表示出花圃的长和宽后利用其矩形面积公式列出式子即可；

（3）根据图象，设出通道和花圃的解析式，用待定系数法求解，再根据实际问题写出自变量的取值范围即可。

【评析】本题考查了一次函数的应用及一元二次方程的应用，解题的关键是表示出花圃的长和宽。试题源于教材、高于教材。

2.试题体现探索图形的形成过程。

【例2】（2015湖南岳阳）已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点。

（1）操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图①所示），连接PB，请直接写出线段PA 与PB的数量关系：。

（2）猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

（3）延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°（如图③所示），若两平行线m、n之间的距离为2k.求证：PA·PB=k·AB。

分析：（1）根据三角形CBD是直角三角形，而且点P为线段CD的中点，应用直角三角形的性质，可得PA=PB，据此解答即可。

（2）首先过C作CE⊥n于点E，连接PE，然后分别判断出PC=PE、∠PCA=∠PEB、AC=BE；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△PAC∽△PBE，即可判断出PA=PB仍然成立。

（3）首先延长AP交直线n于点F，作AE⊥BD于点E，然后根据相似三角形判定的方法，判断出△AEF∽△BPF，即可判断出AF·BP=AE·BF，再个AF=2PA，AE=2k，BF=AB，可得2PA·PB=2k.AB，所以PA·PB=k·AB，据此解答即可。

【评析】此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力；考查了直角三角形的性质和应用，要熟练掌握；考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握。

3.试题关注研究函数问题的基本方法。

【例3】（2014浙江杭州）复习课中，教师给出关于x的函数y=2kx2-（4k+1）x-k+1（k是实数）。

教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上。

学生思考后，黑板上出现了一些结论.教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选择如下四条：

（1）存在函数，其图象经过（1，0）点；

（2）函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；

（3）当x＞1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；

（4）若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数。

【评析】试题的四条结论，分别涉及方程思想求解析式、图象与坐标轴交点问题、函数单调性讨论、函数最值等问题，覆盖到函数的解析式、图象和性质，问题设计立足基础，考查考生对基础知识的灵活应用，也在一定程度上考查了考生的知识迁移能力和灵活应用能力。问题看似相互独立，实则可上下联系，体现人文关怀，有利于学生充分发挥自己真实的数学水平，作为压轴题，这样的设计可谓高明。

4.试题指向学科综合学习。

【例4】（2015湖北荆州）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，∠BCD=60°，点E是AB上一点，AE=3EB，⊙P过D，O，C三点，抛物线y=ax2+bx+c过点D，B，C三点。

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证：ED是⊙P的切线；

（3）若将△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点的对应点E′会落在抛物线y=ax2+bx+c上吗？请说明理由；

（4）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由。

【评析】试题考查了二次函数的综合应用，要求熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；掌握平行四边形的性质点、平移的规律；会证明圆的切线。

四、中考数学复习教学建议

1.重视学生数学素养的培养。从关注学生的主体性着手，重视学生数学基本活动经验的积累。培养学生的空间观念和逻辑思维能力，从而促进知识的动态生成和学生数学思维的深度。学生只有具备敏锐的数学眼光，才能识别出题目中的有效信息。与此同时，细致耐心的做题态度也是不可或缺的。学生在平时的学习中要有意识地注重细节，养成良好的数学学习习惯。

2.加强知识联系与应用的教学。概念是数学知识体系的基本单位，学生在学习时，对相似的概念和性质容易混淆，对概念、公式、定理掌握不到位是影响学生解题的症结所在。因此，在概念教学中，要对各个概念、公式和定理进行串联、总结，将新学知识与其他知识发生多向联系，用图示等多种方式表征数学，采用开放性问题等，帮助学生厘清相关知识之间的区别与联系，从而做到对概念、定理和公式的透彻理解和灵活运用。

3.重视综合实践活动教学。“综合与实践”是以问题为载体，以学生自主参与为主的学习活动。综合与实践活动是以长作业的形式出现，将课堂内的数学活动延伸到课堂外，让学生经历收集数据、查阅资料、独立思考、合作交流、推理论证等多种形式的活动。为此，教师在教学中要结合具体的课程内容，精心设计一些能利用这些知识进行的探索活动，这些活动每位学生都能参与，不同的学生可以通过解决问题的过程，获得不同的体验。通过学生动脑、动手、动口，构建学生自主探索、全过程参与获取知识的平台，使学生有经历观察、猜测、计算、推理等活动的过程。本着“积累数学活动经验，培养应用意识和创新意识”的重要目标，既重在实践，又重在综合，注重数学与生活实际、数学与其他学科、数学内部知识的联系和综合应用，感受数学的理性精神和人文价值。