倡导思考，提高数学解题分析能力

周元清

摘 要： 思考对于一个人来说是非常重要的，引导学生进行数学思考是数学学科特点，是数学教学中的核心，解题是展示数学思维的最佳平台。

关键词： 数学思考 教学过程 方法 反思

大发明家爱迪生说：“不下决心培养思考习惯的人，便失去了生活中最大的乐趣。”他的这句话充分说明了思考在一个人的生活中占着非常重要的地位。一个人在生活中离不开学习，学习必然要学会思考。数学是一门思维的科学，是一个人获取思维过程的重要学科，在数学教学中就是要帮助学生获取数学知识、形成数学技能，也就是让学生学会运用数学的思维方式对日常生活中的现象进行观察、思考、分析，从而解决实际的问题，培养学生思考的习惯，提升学生的数学素养。所以数学教师应该也必须把数学思维作为教学的核心，通过解题这一过程提高分析能力，最终提高思考的深度。

一、在课堂教学中始终贯穿数学思维

1.注重教学过程，让学生在探究知识的过程中得到思考

现代教育心理学研究指出，学生的学习过程不仅是一个接受知识的过程，而且是一个发现问题、分析问题、解决问题的过程。这个过程，一方面是暴露学生产生各种疑问、困难、障碍和矛盾的过程，另一方面是展示学生发展聪明才智、形成独特个性与创新成果的过程。

例如：在教学方程的根与函数的零点这一节零点存在性判断中，笔者先在黑板上画一条直线，叫一个学生一只手拿着细绳一端，另一只手拿着细绳一端，在黑板上移动两点，让学生观察，在什么情况下这条细绳和直线会有交点？学生通过观察会发现当点、位于直线两侧时一定有交点，在同侧时不一定有交点。如图4剪断细绳呢？引导学生思考细绳可看做什么？学生能够回答是函数的图像且不能间断。那两个点在直线的两侧又如何从函数的角度体现？学生再通过思考、讨论会得出两函数值的积小于零。最后和学生一起总结出函数的零点存在性定理：如果函数f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且f（a）·f（b）<0，那么函数f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的根。

图1？摇？摇？摇 ？摇图2？摇？摇？摇？摇 图3？摇？摇？摇？摇 图4？摇？摇？摇？摇

在这里，笔者从学生已有的知识出发，通过提问让学生在探究中进行数学思考，通过总结结论让学生体会学习中的收获与喜悦。在这一过程中，学生进行思考的意识和能力得到了有效培养和深刻训练。因此，教师在教学过程中要与学生充分地探究知识的形成过程，把知识讲清讲透。

2.注重概念教学，让学生在接受知识的过程中得到思维训练

百度百科中对“数学概念”是这样定义的：“人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式。”数学是由概念、命题等内容组成的知识体系，是一门以抽象思维为主的学科，而概念又是这种思维的基本单位，是组成数学的细胞，数学概念是数学基础知识和基本技能的核心。如果脱离了数学概念，便无法进行数学思维，也无法构成数学思想和数学方法。所以数学概念教学是教学的重要组成部分。

例如：在椭圆概念教学中，笔者先问学生你能举出一些椭圆的图形吗？有的学生会举出橄榄球、鸡蛋的例子，反问学生：球是圆吗？然后通过一些椭圆图案的展示，让学生感知椭圆是一个平面图形。接着再问学生：如何画椭圆这个图形？笔者用课件展示，一块木板上钉着两个钉子，钉子上固定一根细绳，用铅笔绷紧细绳在木板上不停地画出一个椭圆。引导让学生思考：在这一过程中两个钉子固定可以看做什么？可以看做是两个定点。细线的长度是否发生改变？没有改变。和圆比较没有改变叫什么？定长。于是和学生一起总结椭圆定义：平面上，到两个定点距离之和为定值（大于两定点间距离）的点的轨迹，叫做椭圆，两个定点称为椭圆的焦点，两定点之间的距离称为椭圆的焦距。

接着再给学生提出：（1）为什么这个常数要大于|F■F■|？（2）若小于或等于|F■F■|？结合图形利用三角形的三边关系进行分析：若常数小于|F■F■|则无轨迹，常数等于|F■F■|就是线段F■F■。

这样通过概念的教学促进了学生思维的发展，加强了学生对数学思想、方法的正确理解，提高了学生表达交流意识和探索精神的培养。

二、加强解题指导，提高学生解题分析能力，促进思维发展

1.加强对解题过程的监控，追根溯源找到解题思路

美籍匈牙利数学家波利亚在解题中提出要加强解题过程的控制，即在解题过程中，对如何入手，如何策划，如何构思，如何选择，如何组织，如何猜想，如何修正等做出基本计划和安排。对学习情景中的各种信息做出准确的知觉和分类，调动头脑中已有的相关知识，对有效信息做出迅速选择，以恰当的方式组织信息，选择解决问题的策略，安排学习步骤，控制自己的思维方向。关注解题的过程性和层次性，有意识地控制自己的解题节奏，对整个解题过程做到“心中有数”，明确地意识到自己所采取的每个解题步骤的意图。

本题从如何构思而言即解题的源头就是要把已知给出的函数化为y=Asin（ωx+φ）+k形式，利用三角函数的有关知识解题；从如何选择、如何组织角度就是运用三角的公式：两角和与差的正弦公式、二倍角的正余弦公式，三角函数的周期公式及单调性知识进行解题。

2.加强常规常法指导，顺其自然地解题

学生在每次限时的考试中，首先从大脑中提取的解题思路与解题方法应该是平常很普遍又很重要的。在考试中虽有些问题的一些解法比较简单，但对于学生不容易想到，再好的方法也是空的。教师在平常的教学中要多讲解常规方法，引导学生分析，讲清如何解决这个问题，并且讲透为什么这样解。如果学生通过老师这样不断训练与归纳，那么他们在解题中也就能做到自信面对。

解法3：前面解法同2，把4a+b+6=0，-3a+5b-6=0两方程相加得：a+6b=0，将方程中的a、b分别用x、y替代得x+6y=0即为所求。

显然法1、2都是待定系数法为常规常法，学生比较容易想到也易于掌握。而法3化定元为变元，体现数学中设而不求的思想，对于一般的学生不容易理解、理会，只能让学有余力的学生接受。通过常规常法的学习，既要让学生体验到数学并不是非常抽象的学科，又要让学生感悟到学好数学最关键的是要有清晰的思路，就是顺着已知的条件来思考，把已知的条件化成数学的等式来求解，而不在于什么奇思妙想。

3.加强解题后反思，提高解题分析能力

解题是数学学习过程的中核心部分，通过解题可以检验学生对所学知识掌握的程度，对知识的应用能力、迁移能力，数学思想的领悟都可以得到很好的反馈。很多学生会解题，但缺乏对解题过程的反思，停留在就题解题层面，不能做到解一题而通一类题，导致解题质量不高。这样教师若能在解题后引导学生反思解题过程，将对他以后的解题带来很大的帮助。

如：已知定义在R上的函数f（x）满足f（-x）+f（x）=0，且f（1+x）=f（1-x），若f（1）=5，求f（2017）的值。本题的背景是抽象函数，不能由具体的解析式求函数值，可利用函数的相关性质来解。事实上，由f（1+x）=f（1-x），得f（x+2）=f（-x），又f（-x）+f（x）=0，得f（-x）=-f（x），于是f（x+2）=-f（x），从而f（x+4）=f（x），故f（x）是R上周期为4的奇函数，则有f（2017）=f（4×504+1）=f（1）=5。解完后，马上让学生回顾本题运用了什么知识解题？体现了怎样的数学思想与方法？本题还可以如何设问？对f（x+1）=f（1-x）可变为f（a+x）=f（a-x）？

通过这些问题的思考，引导学生反思解题的过程，拓宽解题的视野，推广解题的结论。波利亚说：“通过回顾所完成的解答，通过重新检查考虑和重新检查这个结果和得出这一结果的路子，学生可以巩固他们的知识和发展他们的解题能力。”让学生反思解题的过程，使学生的知识发生同化和顺应，对提高学生将现有知识迁移到新的问题中有着非常积极的作用。

总之，学生学习数学的本质特征是思考，在教学中利用问题情境、问题探究、概念教学等途径，给学生提供思考的平台，积极引导学生进行数学的思考。通过解题这一环节的指导，让学生的思维在实践中得到训练，不仅提高了学生解题分析能力，而且让学生的思维得到了进一步升华。

参考文献：

[1]毛锡荣.数学教学，让学生学会思考.中学数学教学参考.

[2]朱卓君.在反思中提升学生的数学学习能力.中学数学教学参考.