都是“主观臆断”惹的祸

代建伟

《中小学数学》（初中版）第12期中刊登了陈志军老师的《都是“中点”惹的祸》，陈老师对中考试题的研究非常深入细致，对中考试题的练习研究非常到位，值得我们学习.笔者想借陈老师的话题谈谈自己的一些想法，不当之处希望各位专家批评指正.

陈师先研究了2008年北京市高级中等学校招生考试数学试题第19题的解答，陈老师把这道题叫做原题.

题目1：（2008·北京）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且∠CBD=∠A.

（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若AD∶AO=8∶5，BC=2，求⊙O的直径.

然后研究了2011年广东省湛江市中考数学试卷第25题（笔者查到的资料是第27题），陈老师把这道题叫做改编题.

题目2：（2011·湛江）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB=90°，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E.

（1）求证：直线BD与⊙O相切；

（2）若AD∶AE=4∶5，BC=6，求⊙O的直径.

题目2是在题目1的基础上改编的，陈老师对题目2进行了认真研究，对题目2的（2）做出了三种矛盾的答案（笔者认为也是一种情况，只不过是没有用“中点”这个条件做出的答案）.笔者对陈老师的解法进行了研究，这三种解法确实没有问题，都是从已知出发的，解题的根据也是正确的，解题过程也是符合逻辑的.从两道题目的形式来看，题目2多了条件“点D是AC的中点”，陈老师认为都是“中点”惹的祸，不用条件“点D是AC的中点”能求出AE=.这样的条件能不能随意添加？添加这样条件的后果是什么？笔者在陈老师研究的基础上进行了思考，发现这道题目的条件“点D是AC的中点”和条件“AD∶AE=4∶5”是相互矛盾的，这两个条件中有一个是多余的，只要留其中一个条件，即可求出⊙O的直径.

笔者对这道题的思考如下：

假设点D是AC的中点，设AD=a，则DC=a，AC=2a.

易知，△ADE∽△ACB；

所以BC=AC·DC=a·2a=2a，

所以BC=a

AB===a

AE=AB=a

AD∶AE=a∶a=2∶=∶3≠4∶5

由此得出矛盾，说明这两个条件是矛盾的，是一道错题，这就是题目2的（2）做出三种矛盾答案的原因.这道题怎样修改比较合理呢？笔者对这道题提出了两种修改方法.

修改方法1：去掉条件“点D是AC的中点”.

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，且∠A+∠CDB=90°，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E.

（1）求证：直线BD与⊙O相切；

（2）若AD∶AE=4∶5，BC=6，求⊙O的直径.

这样修改后，已知条件和题目1相似，解题思路和题目1的解法相似.计算结果也就是陈老师所说的“如果不添加条件‘点D是AC的中点，那么通过计算可以得出⊙O的直径AE=”.

修改方法2：去掉条件AD∶AE=4∶5.

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB=90°，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E.

（1）求证：直线BD与⊙O相切；

（2）若BC=6，求⊙O的直径.

这样修改后条件也是充分的，由前面推理和已知可得：

BC=a=6，所以a=3，

所以AE=AB=a=×3=3.

中考命题可以改编一些旧题，但是不能随意改编，不能主观臆断，给出的条件不能矛盾，不然就是一道错题.