基于高中数学问题解题中圆锥曲线定义的应用分析

温益朋

（江门市江海区礼乐中学 广东江门 529060）

基于高中数学问题解题中圆锥曲线定义的应用分析

温益朋

（江门市江海区礼乐中学 广东江门 529060）

圆锥曲线知识是贯穿高中数学教学的重要部分，而圆锥曲线定义是数学解题中极其重要的理论依据。圆锥曲线的方程和性质是根据圆锥曲线定义推理出来的，掌握好圆锥曲线定义能够提高解题的效率，在高中教学中，教师应该培养学生的举一反三的学习能力，本文对高中数学问题解题中圆锥曲线定义的应用进行了探讨。

高中教学 应用 教学建议

在当今的应试教育中，高中学生普遍采用的方法就是题海战术，学生们通过大量的做题来提高学习成绩，然而并没有掌握真正的方法，只是一味的模仿和套用，许多学生在学习这部分内容比较吃力，因为他们没有掌握解题思路，对圆锥曲线的定义熟练程度还不够，形不成一套完整的解题方式。圆锥曲线定义的学习是高中的要点，也是教学中的难点。

圆锥曲线定义中主要是利用双曲线定义、椭圆定义中的性质，通过分析圆锥曲线上的点与两个焦点之间的关系来寻找解题的关键，某点的运动轨迹是双曲线、椭圆或者是抛物线是由两者的关系而决定的。要想达到快速的解题效果，就必须对双曲线、椭圆、抛物线等定义进行深入的学习和熟练的掌握。在高中数学解题中圆锥曲线定义的应用是想让学生建立等价转换的意识，在解题中注意数形结合，从圆锥曲线的定义着手，寻找解题思路。

一、圆锥曲线的定义在解题中的运用

1.圆锥曲线的定义在离心率中的运用

圆锥曲线重要的性质就是离心率，研究离心率是研究圆锥曲线的前提。在高中数学题目中，有很多题目是对离心率的考查，主要是考查离心率的范围和离心率的值，所以学生们应该要特别关注圆锥曲线中离心率问题；无论是求离心率的范围还是数据值，都是与圆锥曲线的定义不可分的。

学生在遇到这类题目时，要明确自己的解题思路，根据圆锥曲线的定义，运用简单的步骤简化题目，得到正确的答案［1］；另一种方法就是利用相应的解题技巧，灵活得运用“通径”的基本知识，把题目化繁为简，进行计算。针对不同的题目，学生们要采取不同的解决方法，将题目化繁为简，经过一定时间的运算，最终得到正确的结果。

2.利用圆锥曲线的定义求轨迹方程

参数法、直译法、定义法和相关点法都是求圆锥曲线轨迹方程的方法，其中最常用的就是结合圆锥曲线的定义进行求解。定义法就是利用圆锥曲线的定义通过观察曲线运动的轨迹和运动特点来判断是椭圆、抛物线还是双曲线，最后确定其中的参数和方程的形式，得到正确的结果。例如已知两个半径为圆和，它们的圆心距为a，另有一动圆和内切，与外切，求动圆圆心的轨迹方程，并判断是哪种圆锥曲线，类似的问题，主要是运用圆锥曲线的定义来求解，解题时要建立一直角坐标系，坐标系的原点为和的中点，x轴为和所在的直线，建立好坐标系之后，得到和的坐标，设动圆的半径是r，由和内切得的值，由和外切可得的值，然后根据他们之间的相互关系求得的轨迹方程，最终确定这个轨迹，利用圆锥解题，思路比较简单，下面举两个例子来说明

例2：如图1，已知F1，F2是椭圆上的左右焦点，P是椭圆上的任意一点，从点F1引∠F1P F2的外角平分线的垂线，求垂足Q的轨迹。

解：延长F1Q，F2P，相交于点A，在等腰三角形中

确定垂足为Q的轨迹为圆，这是常见的考试应用题目。

3.利用圆锥曲线的定义求焦点三角形

在圆锥曲线中，常有一大部分题目是求解焦点三角形的面积，这类题目需要学生们加以总结和分类，形成自己完整的解题思路，例如：

已知P为某一双曲线上任意一点，双曲线中的a、b均大于0，求三角形的面积。

解析：解答这种题目，需要熟悉圆锥曲线的定义，还要对正弦定理有所了解，根据正弦定理以及双曲线的定义可以得到以下式子：

最终得到的三角形面积如以上步骤。

4.利用定义进行证明题的解答

在有关圆锥曲线的题目中，除了大部分的求解轨迹方程之外，证明题也是高中数学中常遇见的问题，其中有求证椭圆的焦点弦为直径的圆与准线相离，如果换成曲线的话，就是圆与相应的准线相交。对这类题目进行解答时，应该掌握好圆锥曲线的第二定义，然后在根据对第二定义的熟知下进行证明，下面就是对这种类型例题的分析。

一抛物线的表达方式为：y2=2px，过它的焦点F作一条直线x=p与抛物线相交于A1和A2两点，证明以A1A2为直径的圆与抛物线的准线相切。

解析：把握抛物线的定义是解答这类题目的前提，然后再根据平面几何知识进行分析，首先设A1A2中点是M，然后过这三个点分别做垂线，垂足为C1、C2、C3，只有作图之后才能快速的解题，根据垂足之间的关系，能够判断出以A1A2为直径的圆的半径是MC3，从而得到与MC3与P相交的垂线，最后才能得到与抛物线的准线相切。

在解答这种题目时熟练掌握圆锥曲线的定义是关键，然后再根据三角函数等知识，可以快速算出准线、焦点三角形等一些数据值，极大得缩短了做题的时间。

二、圆锥曲线教学中的思维策略

在学生学习圆锥曲线类的知识时，思维常常是混乱的，有时候让学生们找不到头绪，甚至害怕；教师可以培养学生利用“数形结合”的思维方式，将复杂的问题简单化，将试卷上的文本变成图像呈现出来，就有利于找出的解决办法。在做圆锥曲线类的题目中，不画出图，可能会导致结果不会全面、不够准确，而利用“数形结合”的方法可以迅速找到解答的方法。

在教学中过程中，需要学生运用数字和图形的结合［3］，掌握这种方法并能熟练的运用。

结束语

圆锥曲线是高中重点考查的题目，学生要真正把自己掌握的知识迁移到题目中去，需要加强练习。圆锥曲线之所以在高中题目中占有大部分的内容是因为圆锥曲线在军事、测量、建筑、机械、天体运动都有普遍的运用，圆锥曲线对实际生活中的探究发挥着重要的作用，所以学生们要加强学习力度，为在现实生活中的运用奠定基础。学生在学习中要熟知圆锥曲线的定义，利用圆锥曲线的性质灵活的解决问题，从而提高自我的思维能力。

［1］常云.理科考试研究［J］.圆锥曲线定义在高中数学解题中的应用.2014.03（28）：25-27.

［2］王新.科技视界［J］.浅谈圆锥曲线的性质及推广应用.2013.01（02）： 35-36

［3］柳秀红.成功教育［J］高中学生教学思维障碍的成因及突破.2013.07（03）：45-46