基于导数信息的Multiquadric拟插值

高文武

(1. 安徽大学 经济学院，合肥 230411；2. 复旦大学 数学科学学院，上海 200433)



基于导数信息的Multiquadric拟插值

高文武1，2

(1. 安徽大学 经济学院，合肥 230411；2. 复旦大学 数学科学学院，上海 200433)

摘要：为了使MQ拟插值能够更好地处理泛函信息的拟合问题，运用拟插值理论、数值逼近理论，研究了基于导数信息的MQ拟插值的构造理论及其性质.通过本文的研究，构造了一类基于导数信息的MQ拟插值格式并讨论了它的收敛性及保形性，为MQ拟插值在几何造型、微分方程数值解、构造动态轮廓线等领域的应用提供了理论依据.

关键词：MQ拟插值； 导数信息； 保形性； 收敛性

拟插值是数据分析领域一个重要的工具，它的一个最大优点在于不需要求解大型线性方程组就能直接给出逼近函数.在拟插值的研究和应用中，MQ(Multiquadric)拟插值受到了更多的亲睐.Buhmann[1]讨论了MQ拟插值的收敛性问题.Powell[2]讨论了具有线性多项式再生的MQ拟插值格式.Beatson和Powell[3]分别通过对定义在有界区间的被逼函数进行常数延拓、线性延拓的办法构造了3种定义在有界区间上的MQ拟插值格式LA、LB和LC，并给出了相应的误差估计.Wu和Schaback[4]对LC进行了改进，构造了一种不需要端点导数信息的拟插值算子LD，并研究了这4种算子的性质.Beatson甚至将MQ拟插值应用到电影“指环王Ⅲ”的场景设计中去.另外，Beatson和Dyn[5]从理论上系统地研究了MQ B-样条的一些性质以及MQ B-样条拟插值格式的构造方法.

最近，Ma和Wu[6]给出了MQ拟插值对高阶导数逼近阶的估计和最佳形状参数的选取准则.Ma和Wu[7]还研究了MQ拟插值逼近高阶导数的稳定性，从理论上证明了用MQ拟插值来逼近高阶导数要比用高阶差商逼近高阶导数更稳定.

但是，以往对MQ拟插值的讨论都是针对采样信息是离散函数值的情形.在一些场合，我们可能会较容易获得被逼函数的离散导数值(例如方程数值解、地震数据、遥感数据等).因而，为了使得MQ拟插值能够应用到更多的领域，非常有必要讨论针对离散导数值的MQ拟插值的构造问题.

本文构造一个基于离散导数信息的MQ拟插值格式并给出该格式的误差估计.另外，本文还证明了构造的拟插值具有保单调性、保凸性.这些性质为该拟插值应用在几何造型、构造动态轮廓线等领域提供了理论依据.

1MQ拟插值

本节介绍MQ拟插值的一些基本知识.

这里c为一个正的形状参数.给定采样信息{(xj，f(xj))}j∈，{xj}为定义在整个实数轴上的严格单调递增序列，则MQ拟插值的一般形式为

由于在实际应用中，采样信息通常来自于某个有界的区间.因此，Beatson和Powell[3]首先构造了定义在有界区间[x0，xN]的MQ拟插值.随后，Wu和Schaback[4]对文献[3]的结果进行了改进并讨论了MQ拟插值的收敛性和保形性.

Wu和Schaback[4]构造拟插值算子LD为

这里

对于这个拟插值算子，它的误差估计有如下引理.

引理1[4]对于f(x)∈C2[x0，xN]，存在与h及c无关的常数K1，K2，K3，使得拟插值LDf(x)的误差满足

‖LDf-f‖∞≤K1h2+K2ch+K3c2|lgh|.

进一步，当取形状参数c2|lgh|=O(h2)时‖LDf-f‖∞≤O(h2)；当c=O(h)时，‖LDf-f‖∞≤O(h2|lgh|).

而且，这个拟插值还具有保单调性和保凸性.

但是，以往对MQ拟插值的研究都是针对采用信息是离散函数值的情况，限制了MQ拟插值的应用范围.为了使MQ拟插值有更广泛地应用，下节将构造一个针对离散导数值的MQ拟插值格式.

2基于导数信息的MQ拟插值的构造及性质

-∞=…=xj-1

下面，我们将从Qf′(x)出发，构造f(x)的MQ拟插值.

由于Qf′(x)是f′(x)的一个拟插值算子，所以

是f(x)的一个逼近函数.为了得到f*(x)的表达式，将Qf′(x)改写成

这里的二阶差商是关于自变量y进行的.从而有

于是，令

(1)

这里

更进一步，有下面的引理成立.

引理4如果函数f(x)∈C()且满足|f′(x)|≤M|x|2-ε，这里M为任意的正数，ε为任意小的正数，则和式(1)绝对收敛.

证只需要证明和式

绝对收敛.连续利用两次中值定理得

这里

ξj∈(x-xj+1，x-xj-1).

又因为当ξj趋于无穷大时，

φ″(ξj)=O(|ξj|-3)，

所以引理成立.

定理1记f(x)∈C3()且满足引理4的条件，则拟插值格式(1)的误差估计为

证由引理1有

‖Qf′-f′‖∞≤(K1h2+K2ch+K3c2|lgh|).

又因为

|Qf′(x)-f′(x)|≤‖Qf′-f′‖∞≤(K1h2+K2ch+K3c2|lgh|)，

所以定理成立.

下面，研究这个拟插值格式的一些性质.

对拟插值格式(1)两边求导得

由于

以及

所以不等式组

-1<φ′(x-xm)<φ′(x-xk)<1

对所有的m>k恒成立.特别地，

-1<φ′(x-xj+1)<φ′(x-xj-1)<1.

这样就得到下面的定理.

定理2如果数据信息{f′(xj)}j∈以及)采自于一个单调函数f(x)，那么，拟插值f(x)也是一个单调函数.

定理3如果数据{f′(xj)}j∈以及)采自于一个凸(凹、线性)函数，那么，拟插值f(x)也是一个凸(凹、线性)函数.

所以有

又因为φ″(x)>0，故定理成立.

下面讨论定义在有界区间[a，b]上的拟插值的构造问题.

2.2定义在有界区间[a，b]上的MQ拟插值的构造及性质

这样就得到了数据{f′(xj)}j∈以及).显然′(x)满足引理4的条件，应用上面的拟插值格式有

(2)

经过一些简单的推导可以得到

(3)

证对拟插值格式(3)两边同时求导得

由于φ′(x)严格单调递增且-1<φ′(x)<1，因此有

证将拟插值格式(3)改写成

对此等式两端同时求二阶导数有

又由于φ″(x)>0，所以定理成立.

注2这里仅讨论f(x)线性延拓的情况，感兴趣的读者可以讨论用其他的延拓方法来构造定义在有界区间上的拟插值格式.

注3还可以从2k-1阶的MQ函数

出发，构造一个基于k阶导数信息的拟插值格式.

3结论

利用MQ函数，本文构造了一个基于离散导数信息的MQ拟插值格式.它解决了经典的MQ拟插值只能针对离散函数值的缺陷，拓宽了MQ拟插值的研究和应用领域.另外，本文还推导出这个拟插值的误差估计和保单调性、保凸性等性质，为MQ拟插值在方程数值解、几何造型等领域的应用提供了理论依据.

参考文献：

[1]BUHMANN M. Convergence of univariate quasi-interpolation using multiquadrics [J].IMAJNumerAnal， 1988，8： 365-383.

[2]POWELL M. Univariate multiquadric approximation： Reproduction of linear polynomial [M]∥Multivariate approximation and interpolation. Basel： Birkhauser Verlag， 1990： 227-240.

[3]BEATSON R， POWELL M. Univariate multiquadric approximation： Quasi-interpolation to scattered data [J].ConstrApprox， 1992，8： 275-288.

[4]WU Z M， SCHABACK R. Shape preserving properties and convergence of univariate multiquadric quasi-interpolation [J].ActaMathApplSinica， 1994，10： 441-446.

[5]BEATSON R， DYN N. Multiquadric B-splines [J].JApproxTheory， 1996，87： 1-24.

[6]MA L M， WU Z M. Approximation to thek-th derivatives by multiquadric quasi-intepolation method [J].JComputApplMath， 2009，2： 925-932.

[7]MA L M， WU Z M. Stability of multiquadric quasi-interpolation to approximate high order derivatives [J].SciChinMath， 2010，53： 985-992.

[8]HARDY R. Multiquadric equations of topography and other irregular surfaces [J].JGeophRes， 1971，76： 1905-1915.

文章编号：0427-7104(2016)03-0298-06

收稿日期：2014-04-08

基金项目：上海市现代应用数学重点实验室基金(12DZ 2272800)

作者简介：高文武(1981—)，男，博士，E-mail： 09110180027@fudan.edu.cn.

中图分类号：O 174.1

文献标志码：A

MQ Quasi-interpolation for Derivative Data

GAO Wenwu1，2

(1.SchoolofEconomics，AnhuiUniversity，Hefei230411，China；2.SchoolofMathematicalSciences，FudanUniversity，Shanghai200433，China)

Abstract：For better applications of MQ(Multiquadric) quasi-interpolation in dealing with linear functional data fitting problems， the paper studies construction and properties of MQ quasi-interpolation for derivative data with the theories of classical quasi-interpolation and numerical approximation. A quasi-interpolation scheme for derivative data is constructed in the paper. Moreover， convergence and shape preserving properties of the quasi-interpolation are also derived. The paper provides a theoretical background of MQ quasi-interpolation for applications in geometric modeling， numerical solution of differential equations， construction of active contours and so forth.

Keywords：MQ quasi-interpolation； derivative data； shape preserving properties； convergence