谱方法的理论简介

摘要：谱方法的作用是求解偏微分方程。它的特点是具有稳定性和收敛性，还可以实现Fourier计算。在许多科学研究领域中，问题最终都会归结为求解偏微分方程，谱方法正是一种有效的计算方法。本文主要介绍谱方法的思想和基本理论。

关键词：谱方法；收敛性；稳定性

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）06-0084-02

一、谱方法的研究概况

谱方法的产生有着悠久的历史，来源于变分问题的近似解法——伽辽金方法。经过谱方法的发展演变，谱方法分为常用的三种方法，即伽辽金谱方法、多项式近似解法和配点法。一方面，在许多工科研究中，谱方法被应用于求解大型偏微分方程，这使得谱方法得到了深入的发展；另一方面，由于计算机的快速发展，求解偏微分方程更多的是用编程来计算，这样可以减少谱方法的计算量。随着计算机的普及，谱方法有了更多的实用价值。谱方法不仅在计算物理、计算力学等领域取得了显著的研究成果，且在空气学、工学、海洋科學等领域也得到了应用。

在谱方法的研究中，除了研究数值解以外，研究非线性微分方程的稳定性同样重要。许多专家在谱方法稳定性方面做了详细的研究。例如Kreiss、Oliger[1]、Orszag[2]三个人在稳定性方面做了长期的研究。还有另外的研究人员Quarteroni、Canuto、Pasciak、Funaro、Maday[3-8]，中国学者郭本瑜[9，10]等人对谱方法做了更为详细深入的研究，并且将谱方法的理论应用于一些线性微分方程或者非线性偏微分方程的求数值解上，赋予了谱方法新的实用价值，从而证明了谱方法是一种有效的数值计算方法。

谱方法的基函数是一组定义在同一个区间或定义在同一个n维长方体上的正交多项式，因为这样的正交多项式，谱方法只能应用于求解区域是一维区间或者n维长方体的问题[11]，针对谱方法这一缺点，为了克服谱方法只能求解一维空间或n维长方体问题，一些研究人员做了一些研究。例如Orszang[12]提出了映照法，此方法是做一些合适的函数变换把将要求解的区域转变成长方体空间，从而符合谱方法的基函数定义范围，从而可以进行数值计算。如果遇到复杂的求解区域，映照法并不适用，此时可以采用拼接法，即将一个复杂的求解区域划分成若干个子区域。在简单子区域上使用谱方法计算，再把若干个简单区域联合求解。但是这个方法也有它的缺点，不适合于简单的区域。

随着谱方法的日益成熟，谱方法又有了一些新的发展。在河槽中的流动，球壳上的非对称流等相关的研究领域得到了显著的发展。

通过很多学者的研究，谱方法已经在理论研究方面取得了一些重要的研究成果，使得谱方法得到了进一步的发展空间，但是差分法和有限元法的研究相比，谱方法还有一定的差距，特别是在非线性情形下，或问题不是周期情况下的谱方法，特别是谱方法在求解偏微分方程数值解方面也需要更多深入的研究。

二、谱方法的稳定性和收敛性理论

我们首先来建立谱方法求解偏微分方程的一般框架。为此我们先来介绍Lax-Milgram定理和它相应的推广Babuska定理和Lax-Richtmyer等价性定理[11]。

Lax-Milgram定理：设双线性泛函a（u，v）满足[11]：

（1）a‖u‖ ≤a（u，u），？坌u∈V （强制性）。

（2）a（u，v）≤β‖u‖ ‖v‖ ，？坌u，v∈V （有界性）。

其中α、β是正常数，则线性边值问题：求u∈V，使a（u，v）=〈f，v〉，？坌v∈V存在唯一解而且有‖u‖ ≤

c‖f‖ 。V′是V的对偶空间。

Lax-Milgram定理可以证明解的唯一性，同时说明了解关于右端f的稳定性、连续性、依赖性。定理中的条件对泛函要求严格，我们将条件扩展成要求更低的inf-sup条件，就有了Babuska定理。在定理中，U、V分别是两个Hilbert空间，定理如下：

Babuska定理：若对双线性泛函a（u，v），u∈U，v∈V，存在常数α、β、M使得[12]：

（1）a（u，v）≤M‖u‖ ‖v‖ ，？坌u∈U，v∈V。

（2）0< a（u，v），？坌v≠0，v∈V。

（3）0

则双线性泛函问题：求u∈U，使a（u，v）=〈f，v〉，？坌v∈V有唯一解，且有估计式‖u‖ ≤ ‖f‖ ′

Lax-Richtmyer等价性定理概括为：一个适定的线性问题的相容逼近收敛的充要条件是逼近的同时是稳定的。

Lax-Richtmyer定理的应用在于若构造的近似格式是相容的，近似格式的收敛性可以转化为研究近似格式的稳定性。

三、结语

本文对谱方法理论做了一个简单的介绍，当然谱方法仍在继续发展中，它的应用前景很广泛，也极具实用价值。

参考文献：

[1]Kreiss H O，Oliger J. Comparison of accurate methods for the intergration of hyperbolic equations[J].Tellus，1972，24（01）：199-215.

[2]Orszag S A. Comparison of pseudospectral and spectral approximations[J].Stud.Appl. Math，1972，51（02）：253-259.

[3]Canuto C，Quarteroni A. Approximation results for orthogonal polynomials in Sobolev spaces[J]. Math.Compu，1982，38（03）：67-86.

[4]Maday Y，Quarteroni A. Legendre and Chebyshev spectral approximations of Burgers equation[J]. Numer.Math，1981，37（02）：321-332.

[5]Canuto C，Quarteroni A. Error estimates for spectral and pseudo-spectral approximations of hyperbolic equations[J]. SIAM J.Numer.Anal，1982，19（06）：629-642.

[6]Canuto C，Quarteroni A. Spectral and pseudo spectral methods for parabolic problems with nonperiodic boundary conditions[J].Calcolo，1981，18（04）：197-217.

[7]Maday Y，Quarteroni A. Approximation of Burgers equation by pseudo-spectral methods[J].Numer.Anal，1982，16（04）：375-404.

[8]Kuo P Y. The convergence of the spectral scheme for solving twe-dimensional vorticity equations[J].Compu.Math，1983，1（04）：353-362.

[9]郭本瑜.Navier-Stokes方程的譜解法[J].中国科学，1985，A（08）：715-728.

[10]郭本瑜.KDV-Burgers方程谱方法的误差估计[J].数学学报，1985，28（01）：1-15.

[11]李印.谱方法的理论分析及其研究[J].沈阳：东北大学硕士论文，2010.

[12]Orszag S A. Spectral Methods for Problems in Complex Gemetries[J].J Comp Phys，1980，37（18）：70-92.