小学数学概念教学的误区

张国建

【摘要】数学概念是数学知识体系的细胞，是数学知识的核心，也是数学知识的灵魂。然而，在实际教学中，由于种种原因，概念教学中出现不少的误区：如重操作，轻语言；重结论，轻过程；重内涵，轻外延；重抽象，轻表象；重建构，轻应用。

【关键词】数学概念教学误区实践

误区之一：过度着手于学生的操作活动，却有意无意淡化了语言概括的重要性

注重操作是数学课程标准提出的有效的数学学习方法之一，但不能过分追求，因为数学语言的表达也是学生数学素养的重要方面，两者要并重兼顾。“运用数学语言合乎逻辑地进行讨论和质疑”是《课程标准（2011年版）》对学生在数学思考方面提出的要求。教师要适时为学生提供模仿和练习语言的机会，给学生表达的机会，引导学生用语言比较完整地叙述思考的过程。

【案例一】《因数与合数》的教学：教师先让学生列出1—20各数的所有因数，然后汇报表格的填写情况，集体订正；再根据因数的个数进行分类，抽象出质数和合数的概念；最后出示百数表，先让学生试找100以内的质数和合数，集体订正。并背诵50以内的质数。

本例中，教师非常重视学生在“做”中学，如“写”20以内数的因数。“找”100以内的质数，而忽视了让学生在“言”中悟，忽视学生通过用自己的语言尝试概括概念的内涵，重操作，轻语言。事实上，当教师让学生通过自主列出1-20各数的因数时，学生已经对概念有了模糊的意象，只是不能用精准的数学语言来概括，此时教师也没有引导学生用自己的语言尝试概括概念，而是直接揭示概念，通过背诵记忆概念。这在一定程度上影响了学生逐步舍弃事物的非本质属性而突出本质属性的抽象概括能力的发展，导致学生对概念的理解只停留于表面。当然，在这一阶段，学生的语言最初可能不规范、比较生涩，但经过与同伴对话、教师对话，与概念之间的对话和自我对话后，会慢慢形成具有个体特征的对概念本质理解的语言。也在这种对话过程中，学生将会慢慢地将自身的理解与揭示的概念进行对比，不断矫正，不断接纳，最终理解这一概念。

又如在百数表中找质数和合数环节中，教师关注的是找的结果，忽视了让学生说说找的方法，忽略了让学生讨论这样找的依据，既浪费了找的时间，又导致了找的低效。可以让学生说说怎么找，为什么这样找，然后再让学生独立找。这样不仅能加深学生对概念的理解，更重要的是，在这样的逻辑推理过程中，能提高运用数学语言合乎逻辑地讨论和判断的能力，培养学生有序推理的意识。

误区之二：过分追求直接指向结论的捷径，却忽略了学生经历活动过程的价值

有些教师对已经抽象出的概念或给出的定义，总喜欢引导学生咬文嚼字理解概念中的关键字、词，要求学生默读、诵读直至背诵概念，认为只要找出关键词语，会背了，也就理解了。殊不知“纸上得来终觉浅”，这只是停留在概念知识形成的表征上。

【案例二】《循环小数》的教学：教师先谈话引入新课：校运动会，小强跑400米时，用了75秒，他平均每秒跑多少米？请你在课堂作业本上列竖式计算（指名板演）。然后再出示28÷18和78.6÷11两个算式，让学生笔算并板演，最后抛出几个问题：

师：哪位同学来说一说这三个商的特点？

师：像这样一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫作循环小数。（师板演课题）

师：你认为这一句话中关键字、词有哪些？（无人举手）

师：你觉得这句话中，哪些词是重点词呢？

师：大家一定要记住这些重点的词，现在给大家2分钟时间，看谁能记住这句话。（自由读，再指定学生背诵）

这样的教学设计，学生能理解、会理解“循环小数”这一概念的定义吗？这一定义是教师强加在学生的身上，学生是“被理解”。虽然能背出“循环小数”这一概念的定义，但根本是不知所以然，犯了重结论，轻过程的毛病。

“循环”现象在日常生活中随处可见：四季的轮回、日历的变化、体育老师的口令等。在概念的引入阶段，教师就可为学生提供丰富的感性材料和生活经验进行“对接”，通过学生的观察，师生的对话，一步一步感知循环，深化循环，直至理解循环。先突破“不断地”“重复出现”“无限的”这些教学难点，再通过计算、思考、猜想、讨论等一系列的数学活动，深入探究，进一步巩固加深对循环小数这一数学概念的理解。

误区之三：集中精力解读概念的内涵，却忽略了概念的丰富外延

任何一个概念都包含了内涵和外延。概念的内涵反映了概念中的对象的本质属性，而外延则包含了某个概念的一切对象的范围。如三角形的定义是“由三条线段首尾依次连接而成的图形”，其内涵包括：三条线段、封闭图形、平面图形等；其外延包括等腰、不等腰三角形，锐角、直角、钝角三角形等。外延与内涵就像概念的形与实，前者具有表象性、直观性，后者具有抽象性、内隐性。厘清数学概念的内涵与外延，是理解和掌握数学概念的标准之一。那么教师在选择例题时，应选择具有普遍外延代表的正例，而非特例。

【案例三】《商的变化规律》的教学：教师创设了这样一个情境：金老师花了100元钱买5元/个的文旦；王老师花了200元钱买10元/个的文旦；陈老师花了300元钱买15元/个的文旦。三位老师各买了几个文旦？学生列出了100÷5=20、200÷10=20、300÷15=20这三个算式，然后教师引导学生观察，并探究规律。结果，好几个学生都发现了“被除数依次增加100，除数依次增加5，商不变”这一规律，使探究商的变化规律的过程“节外生枝”，极大地影响了学生学习的效率。而老师还不得不承认他们的发现是对的，导致了教学的尴尬。

如果把例题改为：金老师在利群水果超市买了2个文旦，花了30元钱；王老师在楚门水果超市买了4个文旦，花了60元钱；陈老师大众水果超市买了10个文旦，花了150元钱。哪位老师买得便宜？列式：① 30÷2=15，② 60÷4=15，②150÷10=15仔细观察这三个算式，什么变了？什么不变？（被除数和除数都变了，商没变）②式与①比，被除数和除数怎么变？（都乘2，商不变）③式与①比，被除数和除数怎么变？（都乘5，商不变）反过来，①式与②比，被除数和除数怎么变？①式与②比，被除数和除数怎么变？……就可避免了原来的教学“尴尬”“麻烦”。

误区之四：生拉硬拽地对概念的认知从直观感知直接拖至抽象概括，却省略了从“形象—表象—抽象”这一关键桥梁

图形认知是从形象的动作认知到抽象的符号认知中不可或缺的环节。然而，有的教师引导学生通过操作活动获得感性经验的支撑后，直接跳跃到符号认知阶段，抽象出数学概念，省略表象建立的过程，导致学生无法很好地内化。

【案例四】《长方体和正方体认识》的教学：利用课件演示一个长方体，让学生观察、讨论、汇报，得出它的特征：长方体有6个面、8个顶点、12条棱等。本案例的教学中，教师只是通过观察活动获取感性的认识，学生还没有在头脑中建立起长方体丰富的表象时，就抽象出长方体的特征，他们也只能是糊里糊涂地接受这一概念知识，不会真正理解和记忆长方体的特征。犯了重抽象，轻表象的错误。

如果用实物演示切土豆：这个土豆是长方体吗？（不是）这刀切下去，会出现什么？（一个平面）换一个方向切下去，又会出现什么？（又出现一个平面）（还出现一条直直的边）师：这两个面相交于一条直直的边，这条边就叫作长方体的棱。垂直于这两个面再切一刀，又会出现什么？（三个面）（三条棱）（一个顶点）要切成长方体，还要切几刀？一共要切几刀？（还要切3刀，一共要切6刀）就在切土豆的过程中，为学生提供了丰富的面、棱、顶点等概念的形象和表象支撑，加深了学生的理解记忆，哪怕是学困生也能在头脑中形成丰富立体的面、棱、顶点的形象。

小学阶段是学生数学学习的起始阶段，学生的认知水平、思维水平都处于起步阶段，学生对于具体形象思维的依赖、抽象逻辑思维的不成熟，是他们的专利，因此，小学数学概念的形成，更多地需要形象或表象的支撑，它必须经历“形象—表象—抽象”这一转化过程。

误区之五：专注于概念模型的构建，却遗漏了学以致用的重要环节

使学生理解并能运用概念解决实际问题是概念教学的最终目的。而在实际教学中，有的教师往往比较重视由具体到抽象这个环节，而忽视了由抽象到具体这个运用环节。以为学生听懂了概念，记住了概念，就是理解了、掌握了，导致偏离了概念教学的目的。学生是否理解和掌握概念，评价的主要标准在于能否正确的、灵活地运用概念。因此，概念教学要克服重建构轻应用的倾向。

【案例五】在“方程的认识”这一课时中，有些教师以天平为载体，引导学生用式子表示天平两边物体的质量关系（300+300=600；300×2=600； 240+240<600；240+240+X=600；300>240；X+50=100； X+50<240；2X=24）。

再通过对算式进行一次、二次的分类来比较式子的异同，直至抽象概括出方程的含义：含有未知数的等式叫方程。把大量的时间花在对算式分类整理这一环节上。在方程这一概念建构时，我们不仅利用天平这一直观载体引导学生认识方程的意义，更应注重实际生活中的等量关系，在未知数和已知数之间建立的等量关系中理解方程。如：

① 全班共有48位同学，分成X组，每组8位同学。

② 每本练习本1.5元，学校买了X本，共花去600元。

③ 杨戈电影城2号厅一共有150个座位，观众已坐了X个座位，还有20个座位。你能用含未知数X的式子来表示吗？你能用方程X+50=100编题吗？

重视概念的应用性也是数学教育改革的趋势，强化数学应用意识，增进和培养学生解决问题的能力，是数学学科和社会发展的需要，数学概念的学习，最终要应用概念解决问题。我们在方程这一概念建构时，不仅利用天平这一直观载体引导学生认识方程，还应该结合生活中的等量关系来理解方程，在运用的基础上建构方程的意义。

当然，人们常说：教学永远是一门遗憾的艺术。小学数学概念教学也不例外，不管哪堂概念课，当你课后反思的时候，总会觉得有这样那样的失误或遗憾。我想，正是在不断解决这样失误和那样遗憾的过程中，使我们的教学水平不断得到提升。

【参考文献】

[1] 林武.小学数学概念教学＼[M＼].北京：教育科学出版社，2014.

[2] 史宁中.基本概念与运算法则＼[M＼].北京：高等教育出版社，2014.

[3] 郑毓信.小学数学概念与思维教学＼[M＼].南京：江苏鳳凰出版社，2014.