基于齿轮传动系统横-扭-摆耦合非线性动力学模型的齿廓修形优化设计

王　成， 刘　辉， 项昌乐

(1. 北京理工大学 机械与车辆学院,北京　100081;2.中国北方车辆研究院 车辆传动重点实验室，北京　100072)



基于齿轮传动系统横-扭-摆耦合非线性动力学模型的齿廓修形优化设计

王成1,2， 刘辉1， 项昌乐1

(1. 北京理工大学 机械与车辆学院,北京100081;2.中国北方车辆研究院 车辆传动重点实验室，北京100072)

摘要：基于齿轮传动系统动力学模型的齿廓修形优化设计可真实地反映修形参数对齿轮动态特性的影响。考虑几何偏心、陀螺力矩和齿向偏载力矩，建立了单级齿轮传动系统10自由度横-扭-摆耦合非线性动力学模型。提出考虑齿轮实际运动状态并可适用于齿廓修形齿轮的啮合刚度模型，并采用解析法计算啮合刚度。为了降低齿轮传动系统的振动和噪声，以减小齿轮传动系统的动载系数为目标，建立了基于齿轮传动系统横-扭-摆耦合非线性动力学模型的齿廓修形优化模型。对某重载车辆齿轮传动系统进行了齿廓修形优化设计，优化结果有效的降低了齿轮的动载荷，可为设计低振动和低噪声的齿轮传动系统提供依据。

关键词：齿轮传动；齿廓修形；优化设计；非线性；啮合刚度

随着齿轮传动系统向着高速、重载方向发展，在内、外激励共同作用下齿轮传动系统的振动和噪声加剧，甚至影响齿轮传动系统的使用寿命和可靠性。齿廓修形可有效地缓和啮合齿数变化时引起的啮合刚度急剧变化，从而减小啮入、啮出冲击，降低齿轮传动系统的振动和噪声[1-3]。

齿廓修形的主要任务是确定齿廓修形的三要素：修形量，修形长度和修形类型[4]。这三个因素的确定是个复杂问题，为取得最佳齿廓修形效果，一般采用优化设计的方法确定最优修形参数。国内、外学者对齿廓修形优化设计做了广泛而深入的研究，研究集中在基于静力学模型的优化和基于动力学模型的优化。基于齿轮传动静力学模型的齿廓修形优化设计中，一般采用解析法[5]或借助有限元软件[6-8]计算齿轮的静态传递误差，并将减小静态传递误差的波动作为优化目标，优化结果得到了静态性能最优时的修形量和修形长度。但静态性能最优时的修形参数很难使得系统的动态性能也达到最优[9]，一些学者开展了基于齿轮传动系统动力学模型的齿廓修形优化设计，结合数值仿真结果以降低动态传递误差[9]或振动加速度均方根值[10-11]为优化目标，得到了动态性能最优时的修形参数。

通过研究文献可知，以往基于齿轮动力学模型的齿廓修形优化设计中，齿轮的动力学模型一般简化为2自由度纯扭转非线性动力学模型，忽略了横向和摆动方向自由度的影响；忽略了齿轮的实际运动状态与齿廓修形参数之间的耦合关系对啮合刚度影响；齿廓修形齿轮的啮合刚度多采用有限元的方法计算降低了计算效率。本文考虑几何偏心、陀螺力矩和齿向偏载力矩，建立单级齿轮传动系统10自由度横-扭-摆耦合非线性动力学模型。提出了考虑齿廓修形和齿轮实际运动状态的啮合刚度模型，并采用解析法计算啮合刚度。以减小齿轮的动载系数为目标，建立基于齿轮传动系统横扭摆耦合非线性动力学模型的齿廓修形优化模型。基于Isight优化软件集成非线性动力学程序，搭建优化平台，对某重载车辆齿轮传动系统齿廓修形进行优化设计，验证优化模型的有效性。

1单级齿轮传动系统非线性动力学模型

针对图1所示单级齿轮传动系统进行动力学建模，并采用以下三点假设：将滚动轴承简化为各向同性的弹性支撑，齿轮中心等效为传动轴和轴承的串联支撑；齿轮轮体简化为刚体，齿轮副通过沿着啮合面方向的作用力耦合在一起；忽略齿轮的摆动自由度对沿齿宽方向轮齿接触线的影响，啮合面始终与两齿轮的基圆相切；理论上，渐开线直齿轮传动没有轴向分力，每个齿轮考虑5个自由度，包含两个横向平移自由度，一个扭转自由度以及两个摆动自由度。

图1　单级齿轮传动系统Fig.1 Single-stage spur gear system

单级齿轮传动三维动力学模型如图2所示，图中有两种坐标系，第一种为各齿轮的局部坐标系oixiyizi，oi为传动轴理论中心位置；第二种为固定坐标系OXYZ，它与齿轮1的局部坐标系重合。A1A2-B1B2为齿轮副间的啮合面；xi和yi分别为横向平移自由度；θzi扭转自由度；θxi和θyi分别为摆动自由度；Ci为质心位置；ei为偏心距；ψi为质心位置的初始转角。下标i=1代表齿轮1，i=2代表齿轮2。

图2　单级齿轮传动三维动力学模型Fig.2 Three-dimension dynamic model of spur gear pair

1.1齿轮啮合模型

齿轮实际啮合过程中，由于轴和轴承变形等引起的啮合偏差，轮齿间的相互作用力为沿齿宽方向上的非均布载荷即沿啮合面A1A2-B1B2上的平面力系，双齿啮合时沿齿宽方向的载荷分布示意图如图3所示。将啮合平面力系等效为动态啮合力Fm和垂直于啮合面的齿向偏载力矩T，定义偏置距τ，可得

T=Fmτ

(1)

图3　齿轮啮合平面力系Fig.3 Planar force between gear teeth

在计算齿轮的动态啮合力时，忽略摆动自由度的影响，齿轮副通过沿啮合线方向上的啮合刚度、啮合阻尼和齿侧间隙耦合在一起[12]，如图4所示。动态啮合力可表示为

Fm(t)=km(t)f(b,Δ(t))+cm(t)f1(b,Δ(t))

(2)

(3)

(4)

图4所示的单级齿轮传动二维动力学模型，规定使齿面受压时的方向为正向，动态传递误差为[13-14]

Δ(t)=[x1+e1cos(φ1)-x2-

e2cos(φ2)]sin(α(t)+γ(t))-

[y1+e1sin(φ1)-y2-e2sin(φ2)]cos(α(t)+

γ(t))+rb1θz1-rb2θz2+e(t)

(5)

式中:φ1和φ2分别为齿轮1和齿轮2的转角，φ1=θz1+ψ1，φ2=θz2+ψ2；e(t)为齿廓修形引起的齿形偏差；α(t)和γ(t)分别为动态啮合角和位置角，由几何关系可得

(6)

(7)

式中:rb1和rb2分别为齿轮1和齿轮2的基圆半径；d(t)为动态中心距，表达式为：

(8)

式中:l为初始中心距(见图4)；Δx(t)和Δy(t)分别为两齿轮质心位置相对变化量

Δx(t)=x2-x1+e2cos(θz2+ψ2)-

e1cos(θz1+ψ1)

(9)

Δy(t)=y2-y1+e2sin(θz2+ψ2)-

e1sin(θz1+ψ1)

(10)

图4　单级齿轮传动二维动力学模型Fig.4 Two-dimension dynamic model of spur gear pair

1.2横-扭-摆耦合非线性动力学模型

考虑几何偏心、陀螺力矩和齿向偏载力矩，由拉格朗日方程可得单级齿轮传动系统的横-扭-摆耦合非线性动力学方程为

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

Fmτcos(α(t)+γ(t))

(18)

Fmτsin(α(t)+γ(t))

(19)

(20)

式中:mi为质量；Ixi，Iyi和Izi分别为转动惯量；Ti为加载力矩；qi=[xi,yi,θxi,θyi,θzi]T；Kij和Cij分别为齿轮i中心支撑刚度矩阵和阻尼矩阵的第j行；下标i=1代表齿轮1，i=2代表齿轮2；下标j=1,2,3,4,5。

2齿廓修形齿轮的啮合刚度模型

为了保证齿根的强度，在对齿轮进行齿廓修形设计时一般仅对轮齿的齿顶进行修形，且齿根修形相当于对啮合轮齿的齿顶进行修形[2]。本文考虑齿顶修形，并将齿廓修形曲线表示为啮合线长度的函数，如图 5所示。

图5　齿廓修形曲线与啮合线的关系Fig.5 Relationship between profile modification and mesh line

齿廓修形曲线有多种类型，其中，线性修形和二次曲线修形是最常用修形类型[9,15-18]，它们可表示成通用形式

图2给出了复合地基模型试验中土压力盒的布置情况。试验共埋置了10个土压力盒，在桩顶平面上，桩顶中心、桩间土中心、模型桶边缘均设置土压力盒。同时，桩间土中心、模型桶边缘处20 cm、40 cm、60 cm深度均设置土压力盒，用于测定地基土受压时不同深度处桩间土、边缘土的影响。土压力盒直径16 mm，厚度4.2 mm。

(21)

式中:s为任意修形位置的啮合线长度，s∈[sb,se]，sb和se分别为修形起始点和修形终止点对应的啮合线长度，Cmax为齿顶位置的最大修形量。a和b为与修形类型相关的系数，它们之间满足修形量边界条件即a+b=1，当a=1且b=0时为线性修形，其他情况均为二次曲线修形，其中，当a=0且b=1又称为抛物线修形。

齿廓修形主要影响动态啮合力中的动态传递误差和啮合刚度。其中，齿廓修形引起的齿形偏差可作为参数激励增加到动态传递误差中[8-9]，如式(5)所示。而啮合刚度不仅齿廓修形参数相关，还与齿轮传动过程中啮合点的位置相关。采用啮合点压力角确定啮合位置，首先，分析齿轮波动转速和横向振动位移对啮合点的影响；随后，确定单、双齿啮合和修形区动态边界条件；最后，采用解析法计算啮合刚度，提出齿廓修形齿轮的啮合刚度模型。

2.1啮合位置

(22)

式中:a10为初始啮合位置啮合点压力角。

图6　中心距变化对啮合点的影响Fig.6 Influence of center distance on mesh point position

齿轮的几何偏心、横向振动位移等会导致中心距的变化，引起啮合线方向变化，造成实际啮合位置偏离式(22)所得啮合位置P′，考虑中心距变化后实际啮合点的位置为P，如图6所示，任意时刻齿轮1的啮合点压力角为

tan-1(sign(γ(t))(α′-α(t)+

(23)

式中:sign为符号函数；α(t)为动态啮合角，如式(6)所示；γ(t)为位置角，如式(7)所示；α′为理论啮合角，一般为20°。

由式(23)可确定单个啮合周期内齿轮1任意时刻的啮合位置，结合渐开线齿轮啮合原理可确定单齿或双齿啮合时任意参与啮合轮齿的啮合位置。

2.2单、双齿啮合和修形区动态边界条件

为了计算任意时刻的啮合刚度，还需确定单、双齿啮合边界条件αa、αb、αc和αd，如图7所示，其中，αa为齿顶圆压力角，αd满足

(24)

式中:d(t)为动态中心距，如式(8)所示；ra2为齿轮2齿顶圆半径。

图7　单、双齿啮合边界条件Fig.7 Boundary conditions of single-tooth-meshing and double-tooth-meshing

由渐开线性质可得

tanαc=tanαa-φ

(25)

tanαb(t)=tanαd(t)+φ

(26)

式中:φ=2π/z1，z1为齿轮1的齿数。

由式(24)～(26)可确定单双齿边界条件，其中，αc和αa均为定值，αb(t)为时间的变量，它随中心距的变化而变化。

图8　修形区边界条件Fig.8 Boundary conditions of profile modification area

tanα2(t)=

(27)

2.3齿廓修形齿轮的啮合刚度模型

由式(24)和式(27)可知，单、双齿啮合边界条件αb(t)和修形区边界条件α2(t)均随中心距的变化而变化，同时修形区边界条件α1和α2(t)还与修形长度相关。不同修形长度和中心距下，αb(t)、α1和α2(t)之间存在多种大小关系，对其中一种举例说明。若αb(t)≤α1≤α2(t)≤αa，此时，单齿啮合最高点以上区域全在修形边界条件内，齿廓修形齿轮的啮合刚度模型

km(α1i(t))=

(27)

式中:ks为单对齿啮合刚度；kmp1，kmp2和kmp3分别为修形区内的啮合刚度。采用解析法计算单对齿和修形区内的啮合刚度[18-19]，kmp1、kmp2和kmp3分别如式(29)～(31)所示

(29)

(30)

(31)

式中:k=ks1+ks2，E1=δ1-C1，E2=C1-C2，E3=δ2-C2，δ1=Fm/ks1，δ2=Fm/ks2，其中，ks1，ks2分别为不同齿对的啮合刚度，Fm为动态啮合力，C1和C2分别为齿轮1和齿轮2的任意啮合位置的修形量，由式(21)计算。

以上齿廓修形齿轮的啮合刚度确定方法，可高效地分析修形参数对啮合刚度的影响，同时考虑了齿轮运动状态对啮合刚度的影响，可实现与齿轮非线性动力学模型的反馈计算。

3齿廓修形优化模型

优化模型的三要素包括设计变量、目标函数和约束条件，它们根据不同的设计要求而有所不同。

3.1设计变量

齿廓修形的主要任务是确定齿廓修形参数即修形量、修形长度和修形类型。将齿轮副中各齿轮的齿顶位置最大修形量Cmax1和Cmax2以及修形长度L1和L2均作为设计变量，如图8所示。同时，两齿轮采用相同的修形曲线，将式(21)中与修形类型相关的系数a作为设计变量。因此，优化模型存在5个独立的设计变量

X=[Cmax1,L1,Cmax2,L2,a]

(32)

3.2目标函数

针对齿轮传动系统的研究中，齿轮的振动一般采用动载荷或动态传递误差进行评判。动载系数是反映齿轮动载荷的重要指标，将齿轮传动系统的动载系数作为优化目标

(33)

式中:Fmax为由仿真计算所得动态啮合力的最大值；Fs为平均转矩作用下的静态啮合力。

3.3约束条件

优化模型的约束条件包含边界约束和性能约束，其中，边界约束为设计变量的边界条件

Xl≤X≤Xu

(34)

式中:Xl为设计变量下限组成的列向量，Xu为设计变量上限组成的列向量。

性能约束包括齿轮弯曲疲劳强度、接触疲劳强度约束[20]

σF≤[σF]，σH≤[σH]

(35)

式中:σF和σH分别为弯曲疲劳强度和接触疲劳强度，[σF]和[σH]分别为弯曲疲劳强度极限和接触疲劳强度极限。

结合设计变量、约束条件和目标函数，可得基于齿轮传动系统动态特性的齿廓修形优化数学模型

minf(X)

s.t.Xl≤X≤Xu

σH≤[σH]

σF≤[σF]

(36)

3.4优化流程

基于齿轮传动系统横-扭-摆耦合非线性动力学模型的齿廓修形优化流程如图 9所示。图中同时给出了非线性动力学模型仿真流程。

图9　优化流程Fig.9 Optimization flowchart

4实例分析

以某重载车辆齿轮传动系统为例，齿轮副详细参数见表1。以发动机波动转矩作为输入条件，如图 10所示。采用4阶定步长龙格-库塔法求解非线性动力学方程并采用Fortran语言进行编程。

表1　单级齿轮传动参数

图10　发动机转矩Fig.10 Engine torque flunctuation

4.1修形参数对啮合刚度的影响

基于本文提出的齿廓修形齿轮的啮合刚度模型，本节针对表1中的齿轮参数研究修形参数对啮合刚度的影响，两齿轮的修形参数均相同。齿轮副输入转矩和转速分别为发动机平均转矩2 500 N·m和额定转速4 200 r/min。

不同修形长度下的啮合刚度如图 11所示，其中，修形类型均为线性修形，修形量为发动机平均转矩作用下单齿啮合最高点的综合变形量0.022 mm，修形长度取值范围为1.4 mm～8.4 mm，取值间隔为1.4 mm。可以看出，齿廓修形有效的缓和了啮合齿数变化时引起的啮合刚度急剧变化，随着修形长度增加，单个啮合周期内，双齿啮合区所占的时间比例逐渐减小。

不同修形量下的啮合刚度如图 12所示，其中，修形类型均为线性修形，修形长度为2.8 mm，修形量分别为0.01 mm～0.09 mm，取值间隔为0.02 mm。由图可以看出，同样，修形齿轮的在单、双齿交替处的啮合刚度急剧变化得到明显缓和，修形量的变化不影响双齿啮合区的啮合刚度，结合图11可知，当修形量超过0.022 mm时，随着修形量的增加，单个啮合周期内，单齿啮合所占的时间比例逐渐增加。

不同修形类型下的啮合刚度如图 13所示，其中，修形类型分别为线性修形、抛物线修形和二次曲线修形(a=0.5)，两齿轮的修形量均为0.22 mm，修形长度均为2.8 mm，可以看出，修形类型并不影响单、双齿啮合区的啮合刚度，主要影响修形区内啮合刚度的变化曲线。

图11 不同修形长度下的啮合刚度Fig.11Influenceoflengthofprofilemodificationonmeshstiffness图12 不同修形量下的啮合刚度Fig.12Influenceofamountofprofilemodificationonmeshstiffness图13 不同修形类型下的啮合刚度Fig.13Influenceoftypeofprofilemodificationonmeshstiffness

4.2齿廓修形优化设计

基于Isight优化软件集成非线性动力学程序，搭建了优化平台，并采用遗传算法进行优化。设计变量的边界约束条件分别为，最大修形量的上限等于发动机平均转矩下单齿啮合最高点的综合变形量0.022 mm，修形长度上限等于单齿啮合最高点对应的修形长度7 mm。为了验证优化结果的可靠性，采用蒙特卡洛法分析优化结果的失效概率，在最优修形量和修形长度附近随机选择100个样本数，各齿轮修形量的扰动区间为[-0.01 mm,0.01 mm]，修形长度的扰动区间为[-0.2 mm,0.2 mm]。失效的标准为动载系数增幅超过最优结果的10%。

优化模型经过71次迭代后收敛于最优解，如图14所示。优化前后设计变量和目标函数分别如表2和表3所示，可以看出优化后各齿轮的修形量和修形长度较初始值有所增加，修形类型为线性修形。优化后齿轮传动系统的动载系数为1.862，较初始设计变量下的动载系数2.068降低了10%，且优化结果的失效概率为2%，验证了优化结果的可靠性。

表2　优化前后设计变量

表3　优化前后目标函数

取优化前后的修形齿轮传动系统和无修形齿轮传动系统的动态特性进行对比分析。啮合刚度时域曲线如图15，可以看出，齿廓修形有效地缓和了啮合齿数变化时引起的啮合刚度急剧变化，其中，无修形齿轮的啮合刚度在单、双齿交替处幅值变化接近单齿啮合刚度的一倍左右， 而初始修形参数和最优修形参数下， 单、

图14 优化目标迭代历程Fig.14Iteratingprocessofobjectiveduringoptimization图15 啮合刚度时域曲线Fig.15Time-domainresponseofmeshstiffness图16 动态啮合力时域曲线Fig.16Time-domainresponseofgearmeshforce

双齿交替处啮合刚度幅值变化分别降为单齿啮合刚度的30%和20%左右。动态啮合力时域曲线如图16所示，可以看出，修形齿轮的动态啮合力最大值均小于无修形齿轮的动态啮合力最大值，其中，无修形齿轮的动载系数为2.417，初始修形参数下动载系数较无修形齿轮动载系数降低了14%，最优修形参数下动载系数较无修形齿轮动载系数降低了23%，优化后齿轮传动系统的动载荷明显减小。

5结论

(1) 建立了齿轮传动系统横-扭-摆耦合非线性动力学模型，并以减小动载系数为目标，建立了基于齿轮传动系统动态特性的齿廓修形优化模型。

(2) 提出了考虑齿轮实际运动状态并可适用于齿廓修形齿轮的啮合刚度模型，实现了与齿轮传动系统非线性动力学模型进行反馈计算，同时提高了分析齿廓修形参数对啮合刚度影响的效率。

(3) 修形长度的变化主要影响单个啮合周期内，双齿啮合所占的时间比例；修形量主要影响单个啮合周期内，单齿啮合所占的时间比例；修形类型主要影响修形区内啮合刚度的变化曲线。

(4) 针对某重载车辆齿轮传动系统的齿廓修形优化结果表明，优化后齿轮的动载系数较无修形齿轮的动载系数降低了23%，验证了优化模型的可行性，可为设计低振动和低噪声的齿轮传动系统提供依据。

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基金项目：国家自然科学基金资助项目(51375047);教育部新世纪优秀人才支持计划资助(NCET-12-0043)

收稿日期：2014-09-09修改稿收到日期：2014-11-01

通信作者刘辉 女，博士，教授，博士生导师，1975年生

中图分类号:TH132

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.01.023

Optimal profile modification for spur gear systems based on their lateral-torsional-rocking coupled nonlinear dynamic model

WANG Cheng1,2, LIU Hui1, XIANG Chang-le1

(1. School of Mechanical and Vehicular Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China;2. China North Vehicle Research Institute, Science and Technology on Vehicle Research Transmission Laboratory, Beijing 100072, China)

Abstract:Optimal profile modification of spur gear systems basd on their dynamic model can provide a true reflection for influences of profile modification parameters on their dynamic characterisitcs. Considering geometrey eccentricity, gyroscopic effect and load distribution factor along tooth width, a 10-DOF lateral-torsional-rocking coupled nonlinear dynamic model of a spur gear system was established. The mesh stiffness model considering influences of profile modification and dynamic states of gear pairs was proposed. The analytical method was used to calculate the mesh stiffness. In order to reduce vibration and noise of gear transmission, the reduction of dynamic load factor was taken as an objective, the profile modification optimal model based on the dynamic model mentioned above was proposed. The optimal profile modification for the gear tranmission system of a certain heavy-duty vehicle was performed. The results showed that the dynamic load of the gear transmission system is effectively reduced after optimization. The results provided a reference for the design of gear transmission systems with low vibration and low noise.

Key words:gear transmission; profile modification; optimal design; nonlinear; mesh stiffness

第一作者 王成 男，博士生，1987年生

邮箱：bitstudentwc@163.com