非奇异环的同调刻画

徐龙玉，胡 葵，乔 磊，万吉湘

(1．西南科技大学理学院，四川绵阳621010; 2．四川师范大学数学与软件科学学院，四川成都610066; 3．绵阳师范学院数学与计算机科学学院，四川绵阳621000)

非奇异环的同调刻画

徐龙玉1，胡 葵1，乔 磊2，万吉湘3

(1．西南科技大学理学院，四川绵阳621010; 2．四川师范大学数学与软件科学学院，四川成都610066; 3．绵阳师范学院数学与计算机科学学院，四川绵阳621000)

引入ZP－平坦右模来刻画左非奇异环．设R是环，右R－模N称为ZP－平坦模，是指对任意a∈Z(RR)，有TorR1(N，R/Ra)=0;左R－模M称为ZP－内射模，是指对任意a∈Z(RR)，有Ext1R(R/Ra，M)=0．证明了关于ZP－平坦模的Lambek准则，即右R－模N是ZP－平坦模当且仅当其特征模N+是ZP－内射模．还证明了R是左非奇异环当且仅当任意右R－模是ZP－平坦模当且仅当内射左R－模的商模是ZP－内射模．

本质子模;ZP－平坦模;ZP－内射模;非奇异环

1 预备知识

本文中提及的环都是带有单位元1的结合环，所有的模都是酉模．对a∈R，用l(a)表示a的左零化子，用Z(RR)表示所有使得l(a)是R的本质子模的元素a的集合．对右R－模N，用N+表示N的特征模，即N+=Hom(N，Q/Z)，其中Z表示整数加群，Q表示有理数加群．用l．pdRM表示左R－模M的左投射维数．

R．Goodearl［1］首先讨论了左非奇异环．环R称为左非奇异环，是指Z(RR)=0成立．相应地，环R称为左奇异环，是指Z(RR)=R．N．V．Dung［2］给出了左遗传环与左非奇异环的关系，证明了R是左遗传环，且有E(RR)是投射模当且仅当R是左非奇异环，且每个非奇异左R－模是投射的，其中E(RR)表示R作为左R－模的内射包络．T．Y．Lam［3］给出了交换环是非奇异环的等价刻画，即交换环R是非奇异环当且仅当R是约化环．在环与模范畴中，常利用平坦模与内射模来刻画环，如文献［4－15］等．本文的主要目的旨在用同调的方法来刻画左非奇异环．为此，引入了ZP－平坦右R－模的概念．通过对ZP－平坦模和ZP－内射模展开讨论，得到了左非奇异环的一个同调刻画(见本文定理12)．

定义 1 设 N是右 R－模．若对任意 a∈ Z(RR)，有，则称N为ZP－平坦模;等价地，R是正合列．

定义2［8］设M是左 R－模，若对任意a∈ Z(RR)，有，则称M是ZP－内射模;等价地，HomR(R，M)→HomR(Ra，M)→0是正合列．

2 主要结果

下面只对ZP－平坦模展开讨论．

例3 下面的断语是显然的:

1)设R是左非奇异环，则任意右R－模是ZP－平坦模;

2)设R是左奇异环，则右R－模N是ZP－平坦模当且仅当N是P－平坦模;

3)P－平坦(右)模显然是ZP－平坦(右)模，反之不一定成立．例如，设R是整环但不是域，则Z(RR)=0．现取非零非单位a∈R，则R/aR是ZP－平坦模，但不是P－平坦模;

4)设{Ni|i∈Γ}是一簇右R－模，则Ni是ZP－平坦模当且仅当每个Ni是ZP－平坦模．

定理4 设N是右R－摸，以下条件等价:

1)N是ZP－平坦右R－模;

2)对任意a∈Z(RR)，有正合列

3)对任意a∈Z(RR)，自然同态Na是同构．

证明 1)⇔2)显然．

1)⇔3)对任意a∈Z(RR)，设iR:Ra→R是包含映射，则有交换图如下．

故μN是单同态当且仅当是单同态．又因为μN一定是满同态，故μN是同构当且仅当是单同态，当且仅当N是ZP－平坦右R－模．

命题5 设A是右R－模N的ZP－平坦子模，则对于任意a∈Z(RR)，自然同态是单同态．

若N是ZP－平坦模，仍由定理4，右端的垂直箭头是同构．因此有μ是满同态，故Im(μ)=Ka=K

定理6 设0→A→B→C→0是右R－模正合列．若A和C是ZP－平坦模，则B是ZP－平坦模．

证明 对任意a∈Z(RR)，由正合列即得．

定理7 设0→K→M→N→0是右R－模的正合列，其中M是ZP－平坦右R－模．则N是ZP－平坦模当且仅当对任意a∈Z(RR)，Ka=K∩Ma．

证明 考虑2行是正合列的如下交换图，其中右边2个垂直箭头是自然同态，μ是右边交换方图的诱导同态．由定理4，中间的垂直箭头是同构．∩Ma．

反之，设Ka=K∩Ma，即μ是满同态．仍由上面的交换图知右端的垂直箭头是单同态，从而也是同构．故N是ZP－平坦模．

定理8 设{Ni|i∈Γ}是定向集Γ上的右R－模的正向系．若每个Ni是ZP－平坦模，则也是ZP－平坦模．

证明 对任意 a∈Z(RR)，由即得．

推论9 若右R－模N的每个有限生成的子模都是ZP－平坦模，则N是ZP－平坦模．

证明 由于N都是有限生成子模的直接并，故应用定理8即得．

定理10 设N是右R－模．若N的每个有限生成子模都包含在N的某个ZP－平坦子模中，则N是ZP平坦模．

证明 对任意a∈Z(RR)，考虑自然同态μN:N．若，则存在N的ZP－平坦子模A，使得x∈A．于是自然同态μA:A是同构．于是在中，．由如下交换图知在中有，故μN是单同态，从而是同构．故N是ZP－平坦模．

下面来证明关于ZP－平坦模的Lambek准则．

定理11 设N是右R－模，则N是ZP－平坦模当且仅当N+=HomZ(N，Q/Z)是ZP－内射模．

证明 设N是ZP－平坦右R－模．对任意a∈Z(RR)，有0→NRRa→NRR是正合列．故有如下交换图．由于Q/Z是内射Z－模，故顶行是正合列．由相伴同构定理，2个垂直的箭头是同构，因此有底行也是正合列．于是得到N+是ZP－内射左R－模．

反之，设 N+是 ZP－内射模．对任意，由正合列0→Ra→R及HomZ(N，Q/Z)是ZP－内射模知HomR(R，N+)→HomR(Ra，N+)→0是正合列．由伴随同构定理知

用ZP－平坦右模和Lambek准则可以完全刻画左非奇异环．

定理12 对于环R，以下条件等价: 1)环R是左非奇异环;

2)任意右R－模是ZP－平坦模;

3)对任意a∈Z(RR)，Ra是RR的纯子模;

4)对任意a∈Z(RR)，R/Ra是投射模;

5)对任意a∈Z(RR)，Ra是R的直和加项;

6)对任意a∈Z(RR)，Ra是投射模;

7)对任意a∈Z(RR)，Ra是有限表现模，且ZP－平坦右R－模的子模是ZP－平坦模;

8)对任意a∈Z(RR)，Ra是有限表现模，且R的每个右理想是ZP－平坦模;

9)内射左R－模的商模是ZP－内射模;

10)每一左R－模是ZP－内射模．

证明 1)⇔2)显然．

2)⇔3)设a∈Z(RR)，N是右R－模．由条件知是正合列，故Ra是RR的纯子模．

3)⇔4)设N是右R－模．对任意a∈Z(RR)，由条件知0→Ra→R→R/Ra→0是纯正合列．因此R/Ra是平坦模．由于R/Ra是有限表现模，故R/Ra是投射模．

4)⇔5)由条件，0→Ra→R→R/Ra→0是分裂的正合列，故Ra是R的直和加项．

5)⇔6)显然．

6)⇔1)由条件，0→l(a)→R→Ra→0是分裂的正合列，故l(a)是R的直和加项．由于l(a)还是RR的本质子模，故有l(a)=R．因此a=0，从而R是左非奇异环．

2)+6)⇔(7)⇔(8)显然．

8)⇔6)设I是R的右理想，a∈Z(RR)．由条件，I是ZP－平坦模，故由正合列0→I→R→R/I→0，有TorR2(R/I，R/Ra)TorR1(I，R/Ra)=0．又由正合列0→Ra→R→R/Ra→0，得到．因此，Ra是平坦模．由于Ra是有限表现模，故Ra还是投射模．

6)⇔9)设0→A→B→C→0是左R－模正合列，其中B是内射左R－模．对任意a∈Z(RR)，由条件，l．pdRR/Ra≤1，因此有正合列．故，于是有C是ZP－内射模．

9)⇔6)设A是任何左R－模，0→A→E→C→0是正合列，其中E是内射模．由条件9)知C是ZP－内射模．因此对任意 a∈Z(RR)，．因此Ra是投射模．

2)+6)⇔10)设M是任何左R－模．由于Ra是有限表现模，有

由于M+是ZP－平坦模，可得从而有，故M是ZP－内射模．

10)⇔2)设N是任何右R－模．由条件，N+是ZP－内射模．由定理11，N是ZP－平坦模．

利用环的整体维数刻画环结构的方式相比较，看到定理12中10)对应的是一种广义的半单性，而9)对应的是一种广义的遗传性．这意味着若人们希冀用模的ZP－内射分解来定义环的整体ZP－内射维数，并以此来刻画环的结构，将会出现一种奇异现象，不存在这样的1维环．无独有偶，1984年K．N．Ho［16］定义了环R的整体有限表现维数:

M是任何有限生成R－模}，

其中f．p．dimRM表示M的投射分解

使得P0，P1，…，Pn，Pn+1都是有限生成投射模的n的下确界．K．N．Ho［6］证明了fp．dim(R)=0当且仅当R是Noether环，但不存在整体有限表现维数为1的环．

致谢 西南科技大学博士基金(13ZX7119)对本文给予了资助，谨致谢意．

［1］GOODEARL R．Ring Theory:Nonsingular Rings and Modules［M］．New York:Springer－Verlag，1976:78．

［2］DUNG N V．A note on hereditary rings or nonsingular rings with chain condition［J］．Math Scand，1990，66:301－306．

［3］LAM T Y．Lectures on modules and rings［C］//Graduate Texts in Mathematics，189．New York:Springer－Verlag，1999:247．

［4］王芳贵，汪明义，杨立英．交换环上的极大性内射模［J］．四川师范大学学报(自然科学版)，2010，33(1):1－9．

［5］徐龙玉，宋晖．关于fann－内射模［J］．四川师范大学学报(自然科学版)，2009，32(4):443－446．

［6］赵玉娥，杜先能．关于广义内射模的一些研究［J］．四川师范大学学报(自然科学版)，2008，31(5):16－18．

［7］徐龙玉，胡葵，熊涛．关于ZP－内射模［J］．四川师范大学学报(自然科学版)，2015，38(3):644－647．

［8］周德旭．关于L－P－内射模与L－P－平坦模［J］．福建师范大学学报(自然科学版)，1999，15(2):51－58．

［9］陈文静，杨晓燕．弱Gorenstein FP－内射模［J］．四川师范大学学报(自然科学版)，2014，37(4):477－481．

［10］尹华玉，陈幼华．π－整环上形式幂级数的容度准则［J］．四川师范大学学报(自然科学版)，2014，37(4):451－454．

［11］MAO L X，DING N Q．On divisible and torsionfree modules［J］．Commun Algebra，2008，36(2):708－731．

［12］CHEN J L，DING N Q．On n－coherent rings［J］．Commun Algebra，1996，24(10):3211－3216．

［13］ANDERSON F W，FULLER K R．Rings and Categories of Modules［M］．New York:Springer－Verlag，1992:143－148．

［14］王芳贵．交换环与星型算子理论［M］．北京:科学出版社，2006:142－193．

［15］ROTMAN J J．An Introduction to Homological Algebra［M］．London:Academic Press，1979:154－203．

［16］HO K N．Coherent ring of dimension two［J］．Proc AMS，1984，91:518－522．

On a Homological Characterization of Nonsigular Rings

XU Longyu1，HU Kui1，QIAO Lei2，WAN Jixiang3

(1．College of Science，Southwest University of Science and Technology，Mianyang 621010，Sichuan; 2．College of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，Sichuan; 3．College of Mathematics and Computer Science，Mianyang Normal College，Mianyang 621010，Sichuan)

Let R be a ring．A right R-module N is called ZP-flat iffor any a∈Z(RR)and a left R-module M is called ZP-injective if．It is proved that a right R-module N is ZP-flat if and only if N+=Hom(N，Q/Z)is ZP-injective．Finally，some new characterizations about the left nonsingular rings are given．A ring is left nonsingular if and only if every right R-module is ZP-flat if and only if any quotient module of an injective left R-module is ZP-injective．

essential submodule;ZP-flat module;ZP-injective module;nonsingular ring

O153．3;O154

A

1001－8395(2016)04－0514－04

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．04．009

(编辑 周 俊)

2015－02－01

国家自然科学基金(11171240)

徐龙玉(1979—)，女，讲师，主要从事环与模范畴理论的研究，E－mail:xulongyu3@163．com

2010 MSC:13C10;13D07