条形荷载下不排水土坡破坏模式判定及极限承载力估算*

刘文红　李同录②　李　萍

条形荷载下不排水土坡破坏模式判定及极限承载力估算*

刘文红①李同录①②李萍①

( ①长安大学地质工程与测绘学院西安710054)

( ②中国地质调查局西安地质调查中心国土资源部黄土地质灾害重点试验室西安710054)

摘要为了确定边坡放置地基的极限承载力，采用弹-理想塑性有限元，分析了不排水土坡(φu=0)的坡肩上放置条形基础的地基极限承载力。结果表明，不排水土坡地基极限承载力仍可沿用Terzaghi水平地基极限承载力计算公式qu=cuNc。不考虑重度条件下，土坡地基的破坏模式类似于水平地基破坏模式，承载力系数Nc与极限分析法计算的结果一致； 考虑重度条件下，可用土坡实际状态的Taylor数与其极限状态的Taylor数的差值ΔN作为判别指标，当该值较小时将发生边坡破坏模式，较大时发生地基破坏模式，找出了两种破坏模式的ΔN分界点，确定了Nc与ΔN的关系，建立起坡肩作用条形荷载下不排水土坡极限承载力计算公式。

关键词边坡地基极限承载力破坏模式有限元

0引言

图1　地基与边坡破坏模式Fig. 1　Foundation failure mode and slope failure modea.地基破坏模式(陈希哲， 1982)； b.边坡破坏模式； c.地基边坡多种破坏模式

随着城市化脚步的加快，建筑越来越密集，有些基坑不得不紧邻建筑开挖，另外在一些多山的城市，建筑物不得不修建在边坡上，边坡地基极限承载力的估计成为一个必须面对的课题。但到目前为止，该问题还没有得到妥善解决。主要面临的问题是当边坡上放置地基后，其破坏模式变得较为复杂。根据目前的研究结果，水平地基的破坏模式假定为图1a的滑移线较为合适(陈希哲， 1982)，该破坏线由3部分组成，即图1a中的直线段ab、对数螺旋线段bc和直线段ce； 而均匀土质边坡的破坏模式假定为圆弧滑动面或对数螺旋线较为合适(Morgenstern et al.，1960)，如图1b； 在边坡上放置地基后，边坡自身的稳定性和建筑荷载导致的地基稳定性将成为一个耦合体系，其整体破坏模式有可能表现为地基破坏模式，也有可能表现为边坡破坏模式，如图1c所示。Meyerhof(1957)研究发现，当坡顶有荷载施加时，坡高较低则易发生地基破坏模式，坡高较高则易发生整体边坡失效。赵杰(2007)、Georgiadis (2010a)通过数值计算也验证了临坡地基在不同的条件下可能出现不同的失稳模式。采用极限平衡法和极限分析法进行极限承载力计算时，必须事先假定滑移面的形状，才能进行理论推导和最危险滑面搜索。针对边坡上加载地基问题，较多研究者沿用了水平地基的分析思路，将其假定为地基破坏模式(Kusakabe et al.，1981； Saran et al.， 1989； 酆庆增， 1999； 王红雨等， 2005， 2006； 尉学勇等， 2010； 赵炼恒等， 2010)，即破坏线假定为直线、对数螺线和直线的三段组合，计算方法多采用极限分析法。另有研究者将其假定为边坡破坏模式(Narita et al.，1990)，将破坏面假定为圆弧面。不论假定为哪一种模式，得出的结果总是不能代表全部的可能性。有限元法不需要提前假定滑面，也不需要最危险滑面搜索，根据位移场，能反演出较真实的最危险滑面位置和形态，因此尝试采用有限元法进行该问题的分析越来越受到重视(Griffiths，1999； 宋二祥等， 2001； 赵少飞等， 2004； 王红雨等， 2007； 陈福全等， 2008； Georgiadis， 2010b)。但目前还较少有研究者给出两种模式明确的判别条件。

本文采用弹-理想塑性有限元法，模拟了不排水土坡(φu=0)的坡肩上放置条形基础的极限承载力，采用边坡实际状态的Taylor稳定数与其极限状态的Taylor稳定数的差值ΔN作为判别指标，分析边坡地基不同破坏模式的判别条件，并进一步给出基于有限元分析的边坡地基极限承载力的计算公式。

1模型建立

为了对边坡与地基破坏模式有一个清晰的认识，本文将条件简化进行分析。模型及参数如图2 所示，坡顶水平，基础置于坡顶的坡肩部位，不考虑基础埋深，即图1c中的参数λ=0，埋深D=0。坡体为均质土坡，只考虑不排水工况，因此强度仅有黏聚力cu，内摩擦角φu=0。采用弹-理想塑性模型，剪胀角ψ按0考虑。弹性模量E全部取1×106kPa，泊松比μ取0.3。坡角β选用了15°、30°、45°、60°、75°和90°进行分析，基础宽度B与坡高H的比值选用了0.2、0.4、0.6、0.8和1.0进行分析。极限荷载qu的确定采用了赵杰等(2007)推荐的方法，即改变坡顶的荷载，按强度折减法计算使边坡的稳定系数Fs=1.0，这时坡顶的荷载为此边坡地基体系的极限承载力qu。

图2　模型及参数Fig. 2　Model and parameters

2不考虑重度条件

Terzaghi的水平地基极限承载力公式为：

其中，Nc=cotφ[tan2(45°+φ/2)eπtanφ- 1]

Nγ=2tanφ[tan2(45°+φ/2)eπtanφ+1]

Nq=tan2(45°+φ/2)eπtanφ

对于不排水地基，且基础置于地面，仅有黏聚力cu，内摩擦角φu=0°，Nγ=0，Terzaghi公式简化为式(1)表示(Georgiadis， 2010a)。其中承载力系数Nc有理论的恒定值，为5.14。

qu=cuNc

(1)

当建筑地基附近存在土坡时，陈惠发(1975)采用极限分析法证明对于无重度土，式(1)的承载力系数Nc可获得精确解如式(2)。

(2)

式(2)中，β为坡角，采用弧度，后续所有公式涉及到角度的都采用弧度。

图3为相同条件下弹塑性有限元获得的Nc与式(2)进行对比，发现有限元解与极限分析解对于坡度β>15°的边坡，具有极好的一致性。这是因为无重度土坡不会发生边坡破坏模式，坡顶施加荷载后，有限元模拟的破坏模式与陈惠发(1975)极限分析假定的地基破坏模式一致，必将获得一致的结果。有限元在模拟接近水平的边坡时，给定的边界尺寸对分析结果有极大的影响，因此较理论解略偏大。

图3　有限元结果与式(2)的比较Fig. 3　Comparison of FE’s results and equation(2)

3考虑重度条件

不仅坡顶荷载导致土坡地基失效，重力也促使土坡地基失效，这与水平地基有本质上的不同，因此对于土坡上放置基础，必须考虑重力的影响，才具有实际意义。

3.1极限承载力qu的公式表示

在内摩擦角φu=0°的前提下，土坡坡度β一定，土体重度γ一定，Georgiadis(2010b)发现土坡地基极限承载力qu与黏聚力cu假定仍然具有线性关系，仍然可以沿用Terzaghi的式(1)进行qu的估算。因此问题转化为如何确定承载力系数Nc。Chen等(1991)给出该问题的经验公式如式(3)所示。图4 为有限元对式(3)的验证。发现两者在趋势上具有一致性，说明重力使承载力进一步降低，坡度越陡，承载力折损得越大，在无重度边坡地基承载力系数的基础上，需要再降低一部分承载力。但具体数值上两种方法计算所得结果相差较大。

(3)

图4　有限元结果与式(3)的比较Fig. 4　Comparison of FE’s results and equation(3)

阮怀宁(1996)及李亮等(2001)研究发现，不排水土坡极限承载力qu与坡角β之间有近似线性关系的特征，本文依据式(3)的构造方法及有限元模拟结果，给出式(4)的经验公式。

(4)

与式(3)相比，式(4)除了将Nc～β的关系线性化，还引进了一个无量纲参数M，如何确定M变成解决该问题的关键。

3.2参数M的确定

将式(4)代入式(1)并进行整理，则M可用式(5)表示。

(5)

通过有限元计算极限承载力qu，再通过式(5)计算M的值。参数M与土坡不加荷载条件下自身的稳定性有极大的关系，Azzouz et al.(1983)发现可用土坡实际状态的Taylor稳定数(1937)与其极限状态的Taylor稳定数的差值ΔN作为判别指标，具体表达如式(6)所示。

(6)

式(6)中，NT是坡顶无荷载且土坡稳定系数Fs=1.0时的稳定数，其值由图5 中的有限元计算结果确定；N由式(7)计算，ΔN越大，代表土坡自身越稳定。图5 中同时提供了Taylor(1937)采用摩擦圆法计算所得的稳定数，对坡度β小于53°的土坡，Taylor的理论解滑面为无穷远，稳定数恒定为0.181，而有限元模型的土坡底部不可能设置为无穷远，本文给出的约束深度为3倍坡高。有限元计算NT的方法是在坡顶不加荷载条件下，调整cu的值，采用强度折减法，使土坡的稳定系数Fs=1.0，这时土坡体系的参数采用式(7)，计算的N值即为NT值。

(7)

图5　不排水土坡Taylor稳定数(Taylor法结果引自Taylor(1937))Fig. 5　Taylor’s stability number for undrained slopes(Taylor’s results from Taylor(1937))

图6　ΔN-M关系Fig. 6　ΔN-M relation

对应于不同的坡角β与无量纲比值B/H的组合，可以得到M和ΔN的关系散点图，图6a为β=45°，B/H=0.4的ΔN-M散点图。观察图6a发现，散点大致由两部分构成：左半部分随着ΔN的增大M值非线性降低，到达ΔN的关键点ΔNc后，随着ΔN的继续增大，M值可视为基本不变。ΔN值越低，意味着土坡自身越接近极限状态，M值越大，极限承载力qu则越低。当ΔN低至0时，土坡自身进入极限状态，极限承载力qu=0，M达到最大值Mmax。当ΔN增大到关键点ΔNc，M值降低至最小值Mmin，土坡极限承载力qu达到稳定状态，随着ΔN的继续增大，土坡上的地基极限承载力将不再降低，保持一个稳定值。对图6a中0-ΔNc段的ΔN-M有限元散点进行回归，采用式(8)的表达较为贴近； 对ΔN≥ΔNc段进行回归，采用式(9)较为合适。按式(8)和(9)计算的结果也绘制于图6a中。

(8)

(9)

对比有限元变形图发现，当ΔN<ΔNc，破坏模式多为土坡破坏模式，即滑动为坡体整体滑移； 当ΔN>ΔNc，破坏模式为地基破坏模式，即滑动为坡体上部滑移； 在ΔN接近ΔNc的附近，破坏模式为土坡和地基的混合模式，滑面较为混乱，坡脚有剪出迹象，又有上部地基滑移迹象，似有两个滑面共同出现的可能。将有限元变形图与各模式相对应，绘于图6b，更能直观地显示出ΔN对土坡上地基承载力的影响。因此式(8)和式(9)中将ΔN作为变量估计M。下面分别讨论两个公式中ΔNc、Mmax、Mmin和参数A的确定方法。

3.3破坏模式判别指标ΔNc的确定

图6中ΔNc是两段曲线的转折点横坐标，为土坡破坏模式与地基破坏模式的转变点。为了研究坡度β、基础宽度B、坡高H、土体重度γ、黏聚力cu等指标对ΔNc的影响，建立了510个有限元模型进行模拟。具体方案是坡度β选用了15°、30°、45°、60°、75°和90°； 基础宽度B与坡高H的比值选用了0.2、0.4、0.6、0.8和1.0，获得30种组合。在每个β和B/H组合下，重度选用14.0kN·m-3、17.0kN·m-3和20.0kN·m-3，坡高H选用3.0m、5.0m和7.0m，赋予不同的cu值进行cu/(γH)组合，保证ΔN从小到大有一个完整的序列。分别绘制每一个β和B/H组合下的M-ΔN关系散点图，如图6a所示。采用式(8)拟合有限元模拟数据点，求得30组β和B/H组合下相应的30个ΔNc值。绘制β-ΔNc关系于图7。结果发现一定的B/H下，ΔNc与β值可用线性关系表达。土坡坡度变陡，ΔNc增大；B/H增大，ΔNc增大。ΔNc增大的意义是土坡自身更为稳定的条件下，才能发展为地基破坏模式。

图7可确定不排水坡，基础置于坡肩条件下破坏模式判别指标ΔNc，即φ=0，图1c中所示的λ=0条件，对于φ≠0或λ≠0条件，还需要进一步的研究工作。

图7　破坏模式判别指标ΔNcFig. 7　The parameter ΔNc for the criteria of failure mode change

3.4系数A的确定

采用式(8)拟合有限元模拟数据点，求得30组β和B/H组合下相应的30个ΔNc值的同时，也求得30个系数A。绘制ln(β)～ln(A)关系于图8。发现两者在相同的B/H下，同样可用线性关系表达。将最小二乘回归的线性方程一并标于图8。可见随着坡度变陡，A值减小；B/H增大，A值也会减小。图8 可作为系数A的确定依据。

图8　系数A的确定Fig. 8　The definition of coefficient A

3.5Mmax与Mmin的确定

在图6 中，Mmax是理论解，即当ΔN=0时，M=Mmax，这时土坡本身就处于临界状态，坡顶稍有荷载作用就会发生破坏，因而极限承载力qu=0，则Nc=0。土坡稳定数就等于图5 中提供的稳定数，由式(4)可得：

(10)

N=NT

(11)

由式(10)和式(11)整理，在已知β值与比值B/H时，可以通过式(12)求得Mmax。

(12)

图6中，Mmin是由式(8)在ΔN=ΔNc时的M值。

4算例

一不排水土坡，已知坡角β=45°，坡高H=5m，黏聚力cu=30kPa，重度γ=18.5kN·m-2，内摩擦角φ=0，坡肩放置一条形基础，基础宽度B=2m。求该土坡地基的极限承载力qu。

本文提供的方法具体求法如下：

NT=0.189，由图5 确定；

ΔN=N-NT=0.324-0.189=0.135；

ΔNc=0.231，由图7 确定；

ΔN<ΔNc，可判断为边坡破坏模式；

A=3.754，由图8 确定；

Mmax=2.149，由式(12)确定；

M=0.768，由式(8)确定；

Nc=2.827，由式(4)确定；

qu=84.8kPa，由式(1)确定；

有限元直接计算结果为qu=89.3kPa。误差仅有5.0%，这在岩土工程问题上是可以接受的。采用经验公式替换复杂有限元计算，在工程中具有更实用的广泛推广价值。

5结论

采用弹塑性有限元对内摩擦角为0的不排水土坡坡肩上放置条形基础的土坡地基极限承载力进行了系统分析，结果表明：

(1)有限元模拟结果和变形图可直观地显示出两种土坡地基破坏模式，即土坡破坏模式和地基破坏模式。可用土坡实际状态的Taylor稳定数与其极限状态的Taylor稳定数的差值ΔN对土坡地基的破坏模式进行判别。当ΔN较小(土坡自身稳定性低)时，将出现土坡破坏模式，当ΔN较大(土坡自身稳定性高)时，将出现地基破坏模式，找出了两种模式转换时对应的ΔN值，该值可通过土坡坡度β和基础宽度B与土坡高度H的比值(B/H)进行确定。

(3)对于基础不在坡肩的不排水坡和排水坡等复杂条件下的土坡地基破坏模式和极限承载力的确定，还需要进一步的研究工作。

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NUMERICAL ANALYSIS FOR FAILURE MODE AND ULTIMATE BEARING CAPACITY OF STRIPING FOOTINGS ON CREST OF UNDRAINED SLOPES

LIU Wenhong①LI Tonglu①②LI Ping①

( ①School of Geological Engineering and Surveying，Chang'an University，Xi'an 710054)

( ②Key Laboratory for Geo-hazards in Loess Area of Ministry of Land and Resources，Xi'an Center of Geological Survey，China Geological Survey，Xi'an 710054)

AbstractThis paper estimates the ultimate bearing capacity of foundations on the slope crests. It uses the elasto-plastic finite element method(FEM).It simulates the striping footings on the crest of undrained slopes (φu=0). The results show that the ultimate bearing capacity can be expressed as qu=cuNc. When the unit weight of soil is ignored, Nc estimated by FEM is highly agreeable with that calculated by limit analysis. The failure mode is similar to the foundation on the horizontal terrain. When the unit weight of soil is taken into account, the coefficient Nc can be reduced more. The parameter ΔN is defined as the difference of the slope’s stability number defined by Taylor from the slope’s real state to the limit state. It can be used as determinant. The striping footing’s failure can develop into whole slope failure when the ΔN is smaller, as well as foundation failure when the ΔN is bigger. The critical value of ΔN for failure mode change is estimated. Then the Nc-ΔN relationship is constructed. The equation for the ultimate bearing capacity of striping footings on the crest of undrained slopes is built．

Key wordsSlope， Foundation， Ultimate bearing capacity, Failure mode， Finite element method

DOI:10.13544/j.cnki.jeg.2016.02.004

* 收稿日期：2015-06-11; 收到修改稿日期： 2015-08-28.

基金项目：国家自然科学基金(No.41372329， 41272283)， 国家重点基础研究发展计划(973计划)项目(No.2014CB744701)资助.

第一作者简介：刘文红(1979-)，女，博士生，主要从事地质工程方面的研究工作. Email: 794288735@qq.com

中图分类号：P642

文献标识码：A