Lucas序列的加速递推公式

孙星怡, 孙智宏

(1.南京师范大学 数学科学学院, 江苏 南京　210046; 2.淮阴师范学院 数学科学学院, 江苏 淮安　223300)

Lucas序列的加速递推公式

孙星怡1, 孙智宏2

(1.南京师范大学 数学科学学院, 江苏 南京210046; 2.淮阴师范学院 数学科学学院, 江苏 淮安223300)

摘要:设Lucas序列{Un(P,Q)}由U0=0,U1=1和Un+1=PUn-QUn-1给出,利用孙智宏的一个反演公式得出一些组合恒等式与Un(P,Q)的加速递推公式．

关键词:Lucas序列; 递推公式; 组合恒等式

0引言

对给定两个复数P和Q,Lucas序列{Un(P,Q)}和{Vn(P,Q)}由如下初值和递推关系给出:

U0(P,Q)=0,U1(P,Q)=1,Un+1(P,Q)=PUn(P,Q)-QUn-1(P,Q)(n≥1),

V0(P,Q)=2,V1(P,Q)=P,Vn+1(P,Q)=PVn(P,Q)-QVn-1(P,Q)(n≥1).

根据文[3]知

(1)

(2)

设t为给定复数,孙智宏在文[2]中建立如下反演公式

(3)

利用此反演公式我们导出一些组合恒等式与Lucas序列的加速递推公式,特别有

作为推论,我们有

其中Fm=Um(1,-1)为著名的Fibonacci数列．

本文中[x]表示不超过x的最大整数．

1主要结果及其证明

引理1对两个数列{an}和{bn},我们有如下反演公式

由此在式(3)中取t=-2并把an替换为nan即得引理中的反演公式．

定理1设n为正整数,则

证由文[3]知

(4)

故

由文[1]知

U2m(P,Q)=PUm(P2-2Q,Q2)

(5)

因此应用式(1)我们得到

U2n(x,x)=xUn(x2-2x,x2)=xnUn(x-2,1).

由此当x≠0时有

因此式两边都是x的多项式,故由代数基本定理知x=0时公式也成立．把x替换为x+2即得要证的结果．

推论1设n为正整数,则有

证因Uk(2,1)=k, 在定理1中取x=2即得推论．

推论2设n为大于1的整数,则有

证由式(4)易见Uk(-2,1)=(-1)k-1k, 在定理1中取x=-2即得所需．

推论3设n为正整数,则有

其中

推论4设n为正整数,则有

证由式(1)得

因此

现在在定理1中取x=0并由上可得所需结果．

定理2设t为复数,n为正整数,则

证由文[3]知,

因此,当Um(P,Q)=0时Umn(P,Q)=0. 于是由[1]得

Umn(P,Q)=Um(P,Q)Un(Vm(P,Q),Qm).

由此应用定理1得

U2m(t,-1)·n(V2m(t,-1)+2)n-1.

于是定理得证．

推论5设t是复数,n为正整数,则

证在定理2中取m=2即得．

推论6设t为复数,n为正整数,则有

证由式(5)有

U4(t,-1)=tU2(t2+2,1)=t(t2+2),

U8(t,1)=tU4(t2-2,1)=t(t2-2)U2((t2-2)2-2,1)=t(t2-2)(t4-4t2+2).

熟知[1,3]

V2n(P,Q)=Vn(P,Q)2-2Qn, U2n(P,Q)=Un(P,Q)Vn(P,Q),

故

V4(t,-1)=V2(t,-1)2-2=(t2+2)2-2,

V8(t,-1)=V4(t,-1)2-2=(t4+4t2+2)2-2,

U8(t,-1)=U4(t,-1)V4(t,-1)=t(t2+2)(t4+4t2+2),

V8(t,1)+2=V4(t,1)2=(V2(t,1)2-2)2=((t2-2)2-2)2=(t4-4t2+2)2.

由上及定理2可得所要证结果．

推论7设n为正整数,则有

证令Ln=Vn(1,-1),已知F6=8, L6=18, F10=55, L10=123, F16=987=3×7×47, L16+2=2209=472. 在定理2中取t=1及m=3,5,8我们导出所需结果．

参考文献：

[1]Sun Z H. Expansions and identities concerning Lucas sequences[J]. Fibonacci Quarterly, 2006, 44(2):145-153.

[2]Sun Z H. Some inversion formulas and formulas for Stirling numbers[J]. Graphs and Combinatorics, 2013, 29(4):1087-1100.

[3]Williams H C. Edouard Lucas and Primality Testing[M]. New York: Wiley, 1998, 74-92.

[责任编辑：李春红]

Accelerated Recursion Formulas for Lucas Sequences
SUN Xing-yi1, SUN Zhi-hong2

(1.School of Mathematical Sciences, Nanjing Normal University, Nanjing Jiangsu 210046, China)

(2.School of Mathematical Sciences, Huaiyin Normal University, Huaian Jiangsu 223000, China)

Abstract:Let {Un(P,Q)} be the Lucas sequence given by U0=0,U1=1 and Un+1=PUn-QUn-1(n≥1). In this paper, using an inversion formula due to Z H Sun, we obtain some combinatorial identities and accelerated recursion formulas for Un(P,Q).

Key words:lucas sequence; recursion formula; combinatorial identity

收稿日期:2015-12-01

基金项目:国家自然科学基金资助项目(11371163)

通讯作者:孙智宏(1965-)，男，江苏涟水人，教授，主要从事数论与组合数学研究. E-mail: zhsun@hytc.edu.cn

中图分类号:O156.1

文献标识码:A

文章编号:1671-6876(2016)01-0001-04