地方院校《线性代数》教材编写的思考与实践

何亚丽 闫焱 刘琳琳

【摘要】本文深入分析目前高校特别是地方院校使用的线性代数教材以及学生学习线性代数知识的基本状况，在此基础上，结合作者多年的教学经验，提出新的教材编写思路，在教材的内容安排、体系结构、软件使用、理论应用等几个方面做了大胆的尝试，以期为线性代数教学质量的提高及学生数学应用能力的培养提供有力的支撑.

【关键词】线性代数；教材；直观与抽象；理论与应用；Mathematica软件

一、引言

线性代数是高等院校理、工、经、管等各专业学生的一门必修课.是学生学习专业课的必备基础，也是理工科研究生入学考试的必考内容.因此，线性代数知识的掌握对学生后续课程的学习及未来的深造都有影响.另外，在分析实际问题时，扎实的代数功底是构建实际问题的数学模型及对问题进行求解时所必需的基本工具.因此，线性代数在科学研究中的应用日益廣泛，其重要性也日益凸显.让学生深刻领会、掌握线性代数的思想、方法并能应用于实际问题的解决是数学教育工作者不可推卸的责任.

线性代数具有概念多、内容抽象、易忘、难学的特点，随着线性代数课程的改革和发展，对于现代化思想与方法的渗透的要求越来越高.学时少、内容多、要求高使线性代数教学受到新的挑战.在这样的背景下，如何在有限的时间内高质有效地开展线性代数教学是个亟待解决的问题.在教学活动中，教材、教师、学生是教学质量生成的三种基本要素.教材作为三要素之一是重要的教学资源，是体现课程教学理念、教学内容、教学要求，甚至教学模式的知识载体，在教学过程中起着引导教学方向、保证教学质量的作用.一本适宜的教材可使教学效果事半功倍.为此，我们对目前高校特别是地方院校使用的线性代数教材做了深入的分析，结合多年来对学生学习情况的调查研究，笔者认为，目前大多数高校的线性代数教材以理论为主导思想，偏重理论体系的完整性，过多强调证明和推理，再加上该课程本身所固有的抽象性和逻辑性，计算的繁琐和计算量之巨大，使得学生学起来费时费力，有一定困难，学习兴趣不高，同时还弱化了该门课程的计算功能以及在后续专业课中的作用.我们认为21世纪的线性代数教材应强调基础与现代科学贯通，应以“保证基础、体系先进、联系实际、引导创新、分清层次、利于教学”为原则，紧扣基本教学要求，并高度突显“创新”二字，应在“培养学生的科学思想”、“关注知识应用”、“教材的可教性”、“语言凝练”以及“启发性与趣味性”等方面都有所体现.

二、新教材编写思路与特点

笔者结合自己多年的教学经验对线性代数教材的体系结构做了较大改动，大胆尝试了新的编写思路.以是否“有助于达到人才培养目标”为基本规范和根本标准，编写了一本适合地方院校的线性代数教材.主要有如下几个特点

1.突破传统，构建独特的结构体系

本书最突出的特点是将各章都分成五部分：基本概念篇、软件实现篇、价值体现篇、解因析理篇和拓展提高篇.我国的大学具有多层次性，每年上百万学线性代数的大学生中，有很多层次，其要求差别很大.对多数学生来说，不教他们算题而去教抽象思维，将是对资源的极大浪费.因此，我们将线性代数中的基本概念剥离出来.引入数学软件Mathematica，将繁琐的计算交给计算机完成，并引导学生将所学知识用于实际问题的解决，将每一章的前三部分拿出来可自成体系，即使只学习前三部分，也能全面了解线性代数的基本概念和方法，解决相关实际问题.这对于部分只注重应用的独立学院学生，文科、医学部分专业学生和专科学生是适用的.解因析理篇包括线性代数的所有方法、结论和基本计算技能，弥补前三部分在理论叙述上的不足，保证线性代数知识结构的严谨和完整.需要对线性代数理论及应用全面了解的专业的学生应学习前四部分内容.拓展提高篇注重的是解题思路的分析、计算技巧的归纳以及题型变化的多样性介绍等，以期达到深刻理解、融会贯通的效果.有进一步深造和考研要求的学生则应将五部分全部学完.这种独特的体系结构，层次分明，宜教易学，学生可各取所需，从而满足各个不同层次专业学生的需要.

2.克服抽象，使直观与抽象共存

按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的，它是第二代数学模型.这意味着数学的表述方式和抽象性的全面进化.数学的公理化、系统性描述使得线性代数内容在严谨性上大大提高，但在直觉性上有一定的缺失.我们不认为直觉性与抽象性一定相互矛盾，特别是在数学教育和数学教材中，如果一味注重形式上的严格性，学生就好像被迫进行钻火圈表演的小猴子一样，变成枯燥的规则的奴隶.多年来，线性代数概念的抽象、计算的冗繁、内容的枯燥一直困扰着学生的学习.帮助学生建立直觉，有助于他们理解抽象的概念，进而理解数学的本质.因此，本教材的编写立足普通高等院校人才培养的需要，把握“科学、简约、应用、现代”的原则，力争使教材内容既保持严谨的风格又直观生动，易学易懂.具体做法是各章知识与中学数学无缝衔接，每个概念的引入都有出处.或来自中学数学的延伸，或来自几何直观及实际问题的解决，让学生感觉线性代数并非无源之水无本之木，它实实在在地存在于我们的生活中.以提出问题，讨论问题，解决问题的方式展开教材，使学生既知其然也知其所以然.

3.加强应用，使理论与应用共融

由于课时的限制，线性代数教材极少涉及实际应用内容.线性代数是一门基础的学科，是一门技术性的学科.将一些平时中遇到的问题，用线性代数的知识进行分析，可以充实授课内容.特别是与其他学科相结合的案例讲解，可以在传授理论知识的同时教会学生合理的应用，从而满足大多数学科的需求.通过阅读和研究应用问题和实例，不仅使学生提高了学习兴趣，也达到了巩固基本知识的目的.更为重要的是，通过对应用实例分析，可以了解如何将一个实际问题模型化，然后选择合适工具进行分析，这大大提高了应用理论知识和独立思考的能力.因此，本教材每一章的第三部分都安排为“价值体现”，内容是能用线性代数知识求解的实际案例.这部分内容既可以在课上讲解一部分，也可以作为阅读材料.如何时间紧还可以将其求解过程用软件实现，主要目的是让学生亲身体会线性代数知识的实用价值，不再对线性代数产生距离感，真正觉得其有用、好用、实用.

4.利用软件，使现代技术得以充分发挥

目前，国内很多线性代数教材中关于基本概念和基本方法的介绍方式基本上采用介绍概念、演示例子、重复练习的传统技能培训过程.这种方法在强调基本计算能力的年代是非常重要的，但是，对于培养适应新时代的人才是不够的.随着电子计算机的普及，现在学生基本上都能够熟练使用计算机.同时，国际上有一些成熟的数学工具软件，例如MathWork公司的MatLab，Worlfram公司的Mathematica，都已經具备了非常强大的功能，融入了线性代数中所有计算对象和方法.利用这些工具软件，完全可以让学生自己进行探索.特别是实际问题中所涉及的方程组和矩阵往往是大规模的，高阶的，用人工来计算是非常不易的，而且基本上是不可行的，所以需要用到计算机来进行计算.我们将Worlfram公司的Mathematica软件与线性代数相结合，让学生掌握如何用Mathematica软件进行相关计算的同时，加深对所学线性代数知识的理解.无论从Mathematica这门程序设计语言出发，还是从线性代数这门课程改革的意义出发，两者相结合实施教学都有可取之处.本教材包含了很多Mathematica程序设计实例，或者研究课题.相比较而言，国内线性代数教材很少有使用数学软件的练习内容，或者虽有也是寥寥数笔，一带而过.我们则“堂而皇之”的将“软件实现”放在每一章的第二部分，通过Mathematica软件的使用，不但可以提高分析问题能力，也熟悉了现代计算工具的使用，大大扩展了线性代数教学内容.在计算机软件的辅助下，除了可以看到抽象的理论论述和符号推演外，也可以看到极为直观的图形演示，有益于提高学习内容的趣味性.

另外，由于数学软件Mathematica涵盖了线性代数的所有计算，绝大部分计算只需一两个语句就可完成，并不占用过多课时，省时省力，大大提高学习效率.将基本知识、计算技能与计算机应用融为一体，复杂计算借助Mathematica实现，帮助学生实现由知识向能力的转化.

传统线性代数教材理论推理完整，内容相对抽象、逻辑体系严密，例题示范性强，学生通过学习，会有比较好的理论推导和解决复杂计算能力，对于掌握线性代数基本方法和技能训练有一定必要性.本教材在理论知识之外，通过结构体系的调整，软件的使用及应用案例的引入，赋予学生更多的学习探讨空间，提高学生自主驾驭知识能力，而这种能力恰恰是当今人才所需要的，更适用于当今综合型人才培养的要求.

【参考文献】

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