随机偏微分方程及金融衍生产品定价研究

王闻达

【摘 要】在全球范围内，金融衍生产品均保持着迅猛的发展，但在其发展过程中，相关的问题得到了国内外学者的广泛关注，如：期权问题、投资者消费问题等。金融市场唯有确定公平的金融衍生品价格，才能够使其获得健康的发展。通过数学家、金融学家的共同努力，提出了期权定价模型，即：Black-Scholes模型。为了适应金融衍生市场发展的需求，期权日渐丰富，虽然推动了金融市场的发展，但期权定价问题仍未能得到有效的解决。因此，本文以随机偏微分方程为研究对象，阐述了其在金融衍生品定价中的应用。

【关键词】随机偏微分方程；金融衍生产品；定价

一、引言

金融衍生产品定价直接影响着金融市场的发展，其定价偏误是最为关键的技术性环节，虽然Black和Scholes提出了期权定价公式，但未能解决复杂的金融衍生品定价问题。面对复杂的现代金融衍生产品，为了提高了定价的准确性，应积极利用随机偏微分方程。

二、金融衍生产品定价的研究概况

在金融市场中，期权作为金融衍生产品的一种，具有广泛性、丰富性与复杂性。期权受诸多因素的影响，因此，其定价问题得到了数学家、金融学者的普遍关注。自20世纪70年代起，期权交易日渐规范，其发展速度相对较快，但对于中国金融市场而言，其期权交易仍处于发展初期，为了推动期权市场的健康、稳定与有序发展，相关的研究不断增多，如：Black-Scholes模型、不完全市场的期权定价、带违约风险的期权定价及不对称信息下的市场交易等，在研究过程中，具体的方法有Black-Scholes期权定价方法、有限差分方法、二叉树方法等。

随着期权的发展，根据其权利可以分为看涨期权与看跌期权，根据其执行时间可以分为欧式期权与美式期权。在金融市场日渐完善的背景下，新型期权不断增多，如：障碍期权、回望期权及一篮子期权等，虽然期权的发展促进了金融市场的繁荣，也推动了期权定价理论的完善。但在经济全球化与一体化的环境下，金融市场的不确定因素日渐增多，为了抵御风险，需要研究金融衍生产品的定价问题。

三、随机偏微分方程在金融衍生产品定价中的应用

随机偏微分方程主要是对物理学、生物学中的重要现象进行准确的描述，以此掌握其量化规律。它作为概率论的一部分，其逐渐成为了研究的热点。如：随机Burgers方程与Kuramoto-Sivashinsky方程，前者的研究对象为流体力学，探究了物理问题，让人明确了对流与耗散流二者间的综合过程；后者的研究对象为电磁场，阐述了物理学问题，使人掌握了电磁场的动态变化过程。

在偏微分方程应用日渐广泛的情况下，它在金融问题方面的重要性日渐显著，特别是面对期权定价问题，国外学者Black和Scholes以欧式期权定价问题为研究对象，提出了Black-Scholes模型，进而有效解决了期权定价问题。例如：以某投资者对为研究对象，建立一个由期权与原生资产构成的无风险交易组合，以此获得相应的期权价格表达式。随着相关研究的日渐深入，期权原生资产价格的特征愈加显著，即：随机波动率或者重尾。

目前，欧式期权定价应用着众多的模型，主要有随机波动率模型、跳扩散模型与Levy过程模型等。例如：以同一投资者为研究对象，采用不同模型分析，通过比较可知，Levy过程模型中涉及的金融市场为不完全市场，因此，不存在完全对冲策略，而Black-Scholes模型的市场为完全市场，因此，存在完全对冲策略。面对不完全市场，对冲策略应具有合理性，在此基础上，才能够减少投资风险，通过方差最优研究可知，亚式期权与目标波动率期权是最为有效的对冲策略。

当前，金融衍生产品交易较为频繁，特别是在场外市场，金融机构与企业所进行了期权交易，由于缺少保证金制度，导致期权持有人需要承担交易对手违约所带来的损失。在此情況下，为了减少风险损失，需要对具有对有风险的期权实施定价，通常情况下，利用跳扩散过程以此掌握原生资产与交易对手的资产过程，此时为系统性风险，同时借助经典的结构化方法，以此了解交易对手的信用违约，此时为特性风险。在随机偏微分方程的支持下，将获得具有对手风险的期权价格，再次价格表达式下，便可以明确不同跳部分所带来的影响。

四、总结

综上所述，在全球范围内，金融衍生产品相对较多，其交易量相对较大，为了控制交易风险，金融衍生产品定价的相关问题得到了各国学者的广泛关注。随着Black-Scholes模型的提出，相关的模型不断涌现，但金融衍生产品定价仍缺少准确性与稳定性，为了解决此问题，本文阐述了随机偏微分方程的运用，通过不同模型的运用，充分发挥了随机偏微分方程的作用，为我国金融市场的健康与稳定发展提供了可靠的保障。相信，随着随机偏微分方程研究的日渐深入，其应用效果将更加显著，我国金融衍生品定价将更加精准。

参考文献：

[1]王兴春.几类随机偏微分方程及金融衍生产品定价[D].南开大学，2014.

[2]黄文礼.基于分数布朗运动模型的金融衍生品定价[D].浙江大学，2011.

[3]贾兆丽.波动率衍生品定价及相关问题研究[D].中国科学技术大学，2014.