L型阵列的二维DOA估计方法

景小荣，刘雪峰

(重庆邮电大学 移动通信技术重点实验室 重庆 400065)



L型阵列的二维DOA估计方法

景小荣，刘雪峰

(重庆邮电大学 移动通信技术重点实验室 重庆 400065)

摘要：低信噪比(signal-to-noise ratio, SNR)或小接收快拍数条件下，经典的二维(two-dimensional，2D)波达方向(direction of arrival, DOA)算法存在估计精度低的缺点。针对该问题，充分利用L型阵列接收数据的自、互相关信息，提出一种适用于低SNR及小接收快拍数环境下的2D DOA估计新方法。该方法首先通过解析优化2D谱峰搜索问题，获得方位角与仰角之间的特定约束关系，进而将包含2D角度参量的目标函数转化为只包含一维(one-dimensional, 1D)角度参量，即可通过1D谱峰搜索获得方位角(或仰角)估计值，最后再次利用该约束关系求得与之对应的仰角(或方位角)估计值。该方法只需1D谱峰搜索，而且所得2D角度估计参数可自动实现配对。计算机仿真验证了该方法在低SNR及小接收快拍数情况下的有效性。

关键词：波达方向(DOA)估计；低信噪比(SNR)；小快拍数；信源个数

0引言

波达方向(direction of arrival, DOA)估计作为阵列信号处理的重要研究内容之一，在雷达、声呐、地质勘探以及射电天文等领域均具有十分广泛的应用。目前，一维(two-dimensional，1D)DOA估计理论发展已经相对成熟，其中以多重信号分类(multiple signal classification, MUSIC)算法[1]和旋转不变子空间(estimating signal parameters via rotational in variance techniques, ESPRIT)算法[2]最为经典。然而在实际中，比如雷达目标定位与跟踪等应用，通常需要获得入射信号的二维(two-dimensional，2D) DOA信息。较之1D DOA信息，2D DOA信息能更加精确地描述入射信号空间位置特征，因而，2D DOA估计研究更具实际应用价值。

与1D DOA估计不同，在2D DOA估计中，天线阵列结构对DOA估计结果具有重要影响。其中，L型阵列由于具有结构简单、易于传统算法移植[3]以及更高DOA估计精度以及更小克拉美罗界(cramer-rao bound, CRB)等优点[4-5]，使得基于L型阵列的测向研究越来越受到重视。在L型阵列研究方面，Tayem等采用修正传播方法(modified propagate method, MPM)实现2D DOA估计[6]，该方法尽管克服了相位模糊问题，但参数匹配有效性差，使得该方法仅在高信噪比环境下才具有较好的性能。文献[7]利用L型阵列x轴与z轴子阵接收数据背景噪声的独立性，提出了联合奇异值分解(joint singular value decomposition, JSVD)算法，该算法利用接收快拍数据的互相关信息，实现了背景噪声抑制，使DOA估计性能得到明显提升，但其性能依赖于大接收快拍数。文献[8]基于无需特征值分解的子空间类方法(subspace-based method without eigen-decompositon，SUMWE), 提出了一种经典的基于互协方差的2D DOA估计(cross-correlation based 2D DOA estimation, CODE)算法[9]，该算法继承了SUMWE方法计算复杂度低的优点，同时，通过引入共轭重排思想，使算法鲁棒性得到明显提高；但是，CODE算法在小接收快拍数和低信噪比情况下，DOA估计性能相对较差。

上述几种基于L型阵列的2D DOA估计算法还存在一共同问题：角度配对，即需要额外操作对DOA估计结果进行角度配对处理。如果配对失败，算法性能将受到极大影响。为此，孙心宇等[10]针对该问题，基于双L型阵列提出了一种更为精确的角度配对方法，但仍无法避免角度配对失败发生。文献[11]则利用DOA矩阵法[12-13]，基于L型阵列提出了一种适用于多输入多输出(multiple input multiple output, MIMO)雷达的DOA估计方法，该方法继承了DOA矩阵法无需角度配对的优点，但是，该方法仅在低信噪比(signal-to-noise ratio, SNR)相对较高的环境中，才具有优良的测向性能。然而，在实际应用场合，由于自然噪声及大量人为干扰的存在，阵列入射信号的等效SNR相对较低；文献[14] 基于MIMO雷达信号模型，综合发射角、到达角及多普勒频率等参量，通过构造一空时矩阵，得到多个参数估计的闭式解。

此外，L型阵列下的2D MUSIC[4，15]算法由于充分利用了接收数据自协方差矩阵及互协方差矩阵所蕴含的方位信息，其DOA估计精度较高，并且无需角度配对处理；但是，2D MUSIC算法依赖于2D谱峰搜索，因此，巨量的计算开销限制了其在实际工程中的应用。

为此，基于上述分析，本文提出了一种仅需1D谱峰搜索的2D DOA估计方法。该方法结合L型阵列结构的特殊性，首先通过理论优化获得方位角和仰角之间的约束关系，进而将2D目标函数转变为只含单一方位角(或仰角)参数的目标函数，从而可通过1D谱峰搜索得到方位角(或仰角)的估计值，最后利用方位角和仰角之间的特定约束关系直接得到对应仰角(或方位角)估计值。该方法无需角度配对，同时，与经典的CODE算法以及分维MUSIC算法相比，无论在低SNR还是小接收快拍数情形，性能优势均十分明显。与2D MUSIC算法相比，尽管性能有一定差距，但所提方法仅需1D谱峰搜索，其计算复杂度与传统的1D MUSIC算法相当。

1阵列信号模型

采用如图1所示的L型阵列，其由x-z平面上两个分别沿x轴和z轴的M元均匀线阵组成，以坐标原点处的阵元z0作为参考点，各阵元各向同性，等间距放置，间距为d。假设空间存在K个来自不同方向的远场窄带信号以波长λ入射到此L型阵列上，其中第k个入射波的方位信息(即仰角和方位角)用(θk,φk)表示；进一步假设文中K个入射波的仰角和方位角均不含重复角度，即不考虑角度兼并情况。

图1　L型阵列天线几何构型Fig.1　Geometrical configuration of L-shape array

(1)

令x(n)=[x1(n),x2(n),…,xM(n)]T和z(n)=[z0(n),z1(n),…,zM-1(n)]T，分别表示L型阵中沿x轴与z轴方向的均匀线阵接收数据矢量，则有

(2)

(3)

(2)式和(3)式中：wx(n)=[wx1(n),wx2(n),…,wxM(n)]T，wz(n)=[wz0(n),wz1(n),…,wzM-1(n)]T，分别表示对应阵列附加噪声矢量；s(n)，A(φ)和A(θ)分别表示入射信号矢量，沿x轴的均匀线阵的流形矩阵及沿与z轴的均匀线阵的流形矩阵，具体为

a(φk)=[e-jαk,e-j2αk,…,e-jMαk]T， a(θk)=[1,e-jβk,…,e-j(M-1)βk]T，分别表示对应均匀线阵的导向矢量。αk=2πdcosφk/λ和βk=2πdcosθk/λ，表示空间相位因子，k=1,2,…,K。

为便于随后分析，对上述阵列信号模型作进一步假设。

3)附加噪声矢量wx(n),wz(n)与入射信号矢量s(n)3者之间互相统计独立，即满足

4)信源个数K已知或精确估计，同时，信源个数K小于单个阵列的阵元个数，即K

22D DOA 估计方法

2.1基于2D搜索的DOA估计方法

合并(2)式和(3)式，同时令

y(n)=[xT(n) zT(n)]T，则有

(4)

(4)式中：B(φ,θ)=[A(φ)TA(θ)T]T； wxz(n)=[wx(n)Twz(n)T]T。

根据(4)式得到数据矩阵的协方差矩阵

(5)

(5)式中，Rs=E[s(n)sH(n)]表示入射信号的协方差矩阵。对(5)式进行特征值分解，有

(6)

(6)式中：Es和En分别表示信号子空间和噪声子空间；Λs和Λn分别表示由与信号子空间和噪声子空间各列矢量相对应的特征值所构造的对角矩阵。由信号子空间与噪声子空间的正交特性可知：噪声子空间与阵列导向矩阵B(φ,θ)中各个列矢量相互正交，令b(θ,φ)表示B(φ,θ)中某一列矢量，则有

(7)

根据 (7) 式，可得如下MUSIC空间谱

(8)

2D MUSIC算法就是在方位角φ和仰角θ的定义范围内，通过搜索空间谱P(θ,φ)的峰值点来获得(φ,θ)的估计值；与 (8) 式相对应，还可通过极小化(9)式来获取(φ,θ)的估计值

(9)

尽管2D MUSIC算法通过遍历搜索峰值可获得DOA(φ,θ)的估计值，但是计算复杂度非常高，无法满足实际的工程需要，为此，2.2节将给出一种高效的2D DOA估计新方法。

2.22D DOA估计新方法

实际上，(8)式和(9)式具有同等意义，因此，本小节将通过极小化(9)式来实现2DDOA估计。为降低2DDOA估计的计算复杂度，将通过优化解析 (9) 式获得方位角与仰角之间的约束关系，进而将(9)式转化为只含仰角或者方位角参数的目标函数，从而只需1D搜索即可获得2DDOA信息。下面给出具体分析过程。

对En进行分块处理，令

(10)

(11)

对 (11) 式两边关于aH(θ)求偏导，得

(12)

(13)

在上述理论分析过程中，通过对 (11) 式两边关于aH(θ)求偏导，从而将a(θ)表示成关于a(φ)的解析式；同样地也可以对 (11) 式关于aH(φ)求偏导，从而将a(φ)表示成关于a(θ)的解析式。

在实际工程应用中，协方差矩阵Ry只能利用有限接收快拍数据去估计，即

(14)

(14) 式中，NS表示快拍数。

(15)

于是，(11)式可改写成

(16)

(17)

(18)

(19)

2.3算法复杂度比较

2DMUSIC算法、分维MUSIC算法以及本文方法复杂度区别主要体现在空间谱计算、谱峰搜索和特征值分解3个方面，通过较为详细的分析，2DMUSIC算法的复杂度约为O(8M2N2+8N2+8M3)，分维MUSIC算法的复杂度约为O(4M2N+4N+2M3)，而本文所提方法复杂度为O(3M2N+3N+8M3)，其中N=181/εθ表示谱峰搜索维度，其值取决于搜索步长εθ，通常情况下εθ取0.1，因此有NM。通过对比，本文所提方法复杂度略小于分维MUSIC算法，但远远小于2DMUSIC算法；COLD算法无需特征值分解和谱峰搜索，但需求根运算和角度配对，其计算复杂度约为O(40M3)，因此，当阵元数相对较小时，COLD算法复杂度最低。

3实验仿真与性能分析

本小节将通过Matlab数值仿真来评估本文所提方法的性能。在仿真中，取M=8，即x轴和z轴各放置一8元均匀线阵，入射信号均为窄带不相关远场平面波。

采用均方根误差(rootmeansquarederror,RMSE)作为DOA估计性能的衡量指标，定义为

(20)

(20)式中，Nm表示蒙特卡洛仿真实验次数，实验中取Nm=1 000。

在具体仿真中，本文同时还给出了分维MUSIC算法[1]、2DMUSIC算法[15]、CODE算法的角度估计RMSE性能以及克拉美罗限(cramer-raobound,CRB)[17-18]以作为对比。对于分维MUSIC算法和COLD算法，在计算RMSE时，假设DOA估计结果完全配对，即对仿真结果采取处理，让仰角和对应方位角实现配对。事实上，该处理在一定程度上人为抬高了这两种算法的性能，因为对这两种算法而言，角度匹配失败是不可避免的。

在SNR=-8dB，快拍数NS=100，图2给出RMSE随仰角角度间隔变化曲线。仿真中，固定方位角φ1=45°，φ2=65°，仰角θ1=50°，令θ2=θ1+Δθ，Δθ以2°为步长在区间[2° 30°]内取值。

图2　RMSE随仰角角度间隔变化的曲线图Fig.2　RMSE versus angular separation

从图2看出，在该条件下，本文方法性能远优于分维MUSIC算法和CODE算法，几乎和2DMUSIC算法一致。这主要是由于本文所提方法优先估计方位角，然后再根据约束关系估计仰角。一旦方位角确定，仰角则随之确定，基本不受仰角角度间隔的影响。基于此考虑，如果预先知道哪一维角度间隔较大，在算法设计时可通过先估计该维角度来提升DOA估计的精度。

在信源数K=3，入射信号的仰角和方位角分别为(θ1,φ1)=(45°,50°)，(θ2,φ2)=(65°,70°)，(θ3,φ3)=(85°,90°)时，图3给出RMSE随SNR变化的曲线。仿真中，NS=100。

由图3中看出，尽管在较高SNR时，本文方法与其他3种算法性能十分接近，但在SNR<-4dB时，COLD算法性能开始出现剧烈下降，SNR小于-8dB时，本文方法接近于2DMUSIC性能，但远优于COLD和分维MUSIC算法，但其复杂度却远低于2DMUSIC算法。为了公平起见，在该实验中我们假设方位角和仰角角度间隔均为20°；实际上，由图1可知，当仰角角度间隔较小时，本文方法优势更明显。

图3　RMSE随SNR变化的曲线图Fig.3　RMSE versus SNR

令SNR以步长2dB在区间[-10 10]dB内取值。进一步，入射信源与图3仿真条件相同，令SNR=-8dB，图4给出RMSE随NS变化的关系曲线。

图4　RMSE随NS变化的曲线图Fig.4　RMSE versus NS

从图4可知，在NS较小时，本文方法的性能明显优于COLD和分维MUSIC算法，甚至NS=50时，本文方法性能接近于2DMUSIC算法，这说明本文方法在小接收快拍条件下更具鲁棒性。

4结论

针对L型阵列中2D DOA估计问题，本文首先通过解析优化2D谱峰搜索目标函数，获得方位角与仰角之间的特定约束关系，进而给出了一种无需2D谱峰搜索和角度配对的2D DOA估计方法，相比2D MUSIC算法，其计算复杂度得到显著下降。同时，由于该方法充分利用了接收数据自协方差矩阵和互协方差矩阵所包含的信息，使得该方法在低SNR及小接收快拍数条件下均呈现出较强的鲁棒性和稳健性。

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Method of two-dimensional DOA estimation for L-shaped array

JING Xiaorong, LIU Xuefeng

( Key lab of Mobile Communication technology, Chongqing University of Posts and Telecommunications, Chongqing 400065, P.R.China)

Abstract:Under low SNR region or with the small number of the snapshots, the classic two-dimensional (2D) direction-of-arrival (DOA) algorithms have the drawback of low estimation accuracy. To resolve the problem, the paper presents a new method of 2D DOA estimation suitable for low signal-to-noise (SNR) region and small number of the snapshots by fully taking advantage of the autocorrelation and cross-correlation information of the received snapshots of L-shape sensor arrays. Analytically optimizing the problem of 2D spectrum peak search, we obtain the specific constraint relationship between the azimuth and elevation. On the basis of it, the method firstly converts the objective function with 2D angle parameter into the one with one-dimensional (1D) angle parameter. Then the azimuth (or elevation) is obtained by 1D searching. Finally, the elevation (or azimuth) can be estimated according to the specific constraint relationship between the azimuth and elevation. The method only needs 1D spectrum peak searching, and the estimated azimuth and elevation can be automatically matched. The computer simulations verify the effectiveness of the proposed method under low SNR region and with the small number of the snapshots.

Keywords：direction-of-arrival (DOA) estimation; low signal-to-noise (SNR); small snapshots; the number of sources

DOI：10.3979/j.issn.1673-825X.2016.01.004

收稿日期：2014-12-22

修订日期：2015-07-15通讯作者：刘雪峰blossomchina@sina.com

基金项目：国家科技重大专项(2014ZX03001009-003)

Foundation Item：The National Science and Technology Major Project (2014ZX03001009-003)

中图分类号：TN911.7

文献标志码：A

文章编号：1673-825X(2016)01-0024-06

作者简介：

景小荣(1974-)，男，甘肃平凉人，副教授，博士，主要研究方向为多天线(包括智能天线)系统中的信号处理。E-mail：jingxr@cqupt.edu.cn。

刘雪峰(1988-)，男，安徽阜阳人，主要研究方向包括智能天线系统中的DOA估计及波束成形。E-mail: blossomchina@sina.com。

(编辑：田海江)