线性空间表为象空间与核空间之和的充要条件

汤　傲，周　唯，胡付高

(湖北工程学院 数学与统计学院，湖北 孝感 432000)

线性空间表为象空间与核空间之和的充要条件

汤傲，周唯，胡付高*

(湖北工程学院 数学与统计学院，湖北 孝感 432000)

摘要：以象空间与核空间的性质为基础，研究了线性空间表为象空间与核空间之和的充分必要条件，讨论了它的若干用例。

关键词：线性空间；线性变换；象空间；核空间；直和

设σ是n维线性空间的一个线性变换，文献[1]中指出，虽然σ的值域σV与核σ-1(0)的维数之和为n，但是这两个子空间之和σV+σ-1(0)并不一定是整个空间，这个结论可由下面的例子看出。

引例[1]在线性空间V=F[x]n中，定义微分变换

τ(f(x))=f'(x)

(1)

则由(1)确定的线性变换τ的值域是F[x]n-1，而τ的核是F，于是

τV+τ-1(0)=F[x]n-1≠V

另一方面， 对于有限维线性空间的线性变换σ而言，根据

dimσV+dimσ-1(0)=dimV

(2)

(3)

可得下面结论:

命题1设σ是有限维线性空间的线性变换，则

σV+σ-1(0)=V

(4)

成立的充分必要条件是

(5)

命题1表明，对于值域与核而言，(4)和(5)是等价的。换言之，线性空间能表为值域与核之和的充分必要条件是它们的和为直和。

文献[2-4]研究了值域与核构成直和的某些条件，这些条件大多是充分条件，文献[3]虽然给出了几个充分必要条件，但都是较为繁琐的，不方便检验与应用。另外，文献[5-10]也讨论了一些与值域和核的相关问题及性质。

本文给出了将研究线性空间表为值域与核之和的较为简洁的充分必要条件，提供了一些应用实例。

1引理与基本结论

为讨论的方便，这里先对矩阵的象空间与核空间进行研究。

定义2[2-3]设A∈Mn(F)，记Fn的两个线性子空间

(6)

(7)

由(6)确定的子空间U称为矩阵A的象空间，由(7)确定的子空间N称为矩阵A的核空间。

易知dimU=rank(A)，dimN=n-rank(A)。

引入记号:

(8)

(9)

易知U=U1，N=N1。

首先，给出矩阵A的各次方幂Ai的核空间Ni及象空间Ui的包含关系。

引理3对任何i=1，2，3，…，都有

Ni⊆Ni+1

(10)

Ui⊇Ui+1

(11)

其中Ui，Ni由(8)与(9)所定义。

证明根据Ni与Ui的定义即知。

引理4对任何A∈Mn(F)，一定存在最小正整数k，使得

rank(Ak)=rank(Ak+1)=rank(Ak+2)=…

(12)

证明易知矩阵的秩rank(Ak)，rank(Ak+1)，rank(Ak+2)，…都是非负整数，且有下面的不等式

n≥rank(A)≥rank(A2)≥rank(A3)≥…≥0

故存在最小正整数k，使rank(Ak)=rank(Ak+1)，根据矩阵秩的Frobenius不等式，得

rank(Ak+2)=rank(A.Ak.A)

≥rank(A.Ak)+rank(Ak.A)-rank(Ak)

=rank(Ak)

又显然有rank(Ak+2)≤rank(Ak)，故得rank(Ak+2)=rank(Ak)，用归纳法可证得

rank(Ak)=rank(Ak+1)=rank(Ak+2)=…即得(12)成立，引理4得证。

命题5若rank(Ai)=rank(Ai+1)，则

Ni=Ni+1，Ui=Ui+1

证明 若rank(Ai)=rank(Ai+1)=r，考察下面的两个线性方程组

AiX=0

(13)

Ai+1X=0

(14)

由于方程组(13)的解空间一定是(14)的解空间的子空间，且它们的基础解系中所含线性无关的解向量都是n-r个，故它们具有相同的基础解系，因而Ni=Ni+1，类似可证Ui=Ui+1。

推论6若rank(Ai)=rank(Ai+1)，则

Ni=Ni+1=Ni+2=…

Ui=Ui+1=Ui+2=…

证明由引理4和命题5即得。

命题7设A∈Mn(F)，则下列条件等价:

(1)rank(Ai)=rank(Ai+1)；

(2) Ni=Ni+1；

(3) Ui=Ui+1。

2主要结果

对于A∈Mn(F)，分别由(6)和(7)确定的象空间U与核空间N都是Fn的子空间，则有

定理8设A∈Mn(F)，则A的象空间U与核空间N使得

Fn=U⊕N

(15)

成立的充分必要条件是

rank(A)=rank(A2)

(16)

证明 (充分性)若(16)成立，对于∀β∈U∩N，则Aβ=0，且存在α∈Fn，使得β=Aα，于是A2α=0，由于rank(A)=rank(A2)，故线性方程组AX=0与A2X=0同解，于是

A2α=0⟹Aα=0

dim(U+N)=dimU+dimN

=rank(A)+n-rank(A)

=n

而U+N为Fn的子空间，且维数都是n，故Fn=U+N，于是(15)成立。

(必要性)若(15)成立，对∀η∈U，根据矩阵象空间的定义，存在ξ∈Fn，使η=Aξ，又设ξ=α+β，α∈U，β∈N，则

η=Aξ=Aα+Aβ=Aα

由于α∈U，得η=Aα∈U2，即η在A2的象空间中，即U=U1⊆U2，由引理3知U2⊆U1， 故得U2=U1，因此

rank(A2)=dimU2=dimU1=rank(A)

于是(16)成立，定理得证。

该结论用线性变换的语言表述就是

推论9设σ是n维线性空间V的线性变换，则

V=σV+σ-1(0)

(17)

的充分必要条件是

rank(σ)=rank(σ2)

(18)

证明取线性空间V的一组基e1，e2，…，en，设线性变换σ在此基下的矩阵为A。在取定的这组基下，V中向量与它的坐标之间的映射f是V到Fn的一个同构映射，此时在f对应下，线性空间V的象为Fn，值域σV的象为矩阵A的象空间U，核σ-1(0)的象为矩阵A的核空间N。于是(17)式成立的充要条件是(15)式成立，而rank(σ)=rank(A)，rank(σ2)=rank(A2)。

故(17)式成立当且仅当(18)式成立，推论9得证。

根据定理8与推论9，即得下面的推论。

推论10设σ是n维线性空间V的线性变换，如果σ在V的一组基下的矩阵是A，则(17)成立的充分必要条件是

rank(A)=rank(A2)

(19)

推论11复数域上矩阵A的象空间与核空间为直和的充分必要条件是A的若当标准形中，特征值为零的若当块都是一阶的。

3应用举例

把定理8、推论9及推论10应用于一些特定的矩阵或线性变换，可得到一些常见命题，参见以下例子。

例1对于幂等矩阵A，它的两个特征子空间

(20)

(21)

有Fn=V1⊕V0。

例2对于对合矩阵A，它的两个特征子空间

(22)

(23)

有Fn=V1⊕V-1。

证明因为A2=E，可以仿例1证明矩阵E-A的核空间就是V1，而E-A的象空间就是V-1，并且rank(E-A)=rank(E-A)2，故Fn=V1⊕V-1。

这两个例子说明，幂等矩阵与对合矩阵的特征子空间的性质，可以用核空间与像空间理论进行一种新的解释。

例3设A相似于对角矩阵，则Fn=U⊕N。证明设A相似于对角矩阵，故rank(A)=rank(A2)，根据定理8即得结论成立。

例4设A可逆， 此时rank(A)=rank(A2)=n， 核空间为零空间，而象空间就是，结论显然成立，此结论是平凡的。

上述例子表明有相当多类型的矩阵，它们的核空间与象空间互为余子空间。

最后回到引言中的引例，该例子是几乎所有代数教材中都引用的经典之例，可以用本文中的推论10给出一个很好的解释，即

例5在线性空间V=F[x]n中，定义微分变换

τ(f(x))=f'(x)

取F[x]n的一组基1，x，x2，…，xn-1， 则τ关于该基的矩阵是

由于rank(A)=n-1，rank(A2)=n-2，故对于微分变换τ而言，有

τF[x]n+τ-1(0)≠F[x]n

4方幂的像空间与核空间

虽然对一般方阵或线性变换而言，它的象空间和核空间是直和，但一定有定理12。

定理12设A∈Mn(F)，则一定存在最小正整数k，使得

Fn=Uk⊕Nk

(24)

并且对任何i≥k，都有

Fn=Ui⊕Ni

(25)

证明根据引理4，一定存在最小正整数k，使得

rank(Ak)=rank(Ak+1)=rank(Ak+2)=…此时rank(Ak)=rank(A2k)，由定理8，得，

对任何i≥k，都有rank(Ai)=rank(A2i)， 故有Fn=Ui⊕Ni。

该结论用线性变换的语言表述就是

推论13设V是n维线性空间，σ∈L(V)，则一定存在最小正整数k，使得

V=σkV⊕(σk)-1(0)

(26)

并且对任何i≥k，都有

V=σiV⊕(σi)-1(0)

(27)

例6设有若当矩阵

易知rank(A)≠rank(A2)，但rank(A2)=rank(A3)，由定理8，得

Pn≠U+N

但是

Pn=U2⊕N2=U3⊕N3=…

上例表明，对于一般矩阵，可以通过求出它的若当标准形，就能得到定理12中的最小正整数k。同样可以举出线性变换之例，限于篇幅，这里不再赘述。

[参考文献]

[1]屠伯埙，徐诚浩，王芬.高等代数[M].上海:上海科学技术出版社，1987.

[2]薛晓欢.核空间与像空间构成直和的条件[J].高等数学研究,2014, 17(1):123-124.

[3]朱一心,马雪松,范兴亚,等.关于线性变换的像空间与核空间的直和[J].数学的实践与认识,2012, 42(18):267-272.

[4]汪杏枝. n维线性空间上的两个线性变换的象与核[J].湖北师范学院学报(自然科学版),2001, 21(4):20-23.

[5]袁力,沈洁.幂等变换值域与核的性质及推广[J].绵阳师范学院学报,2013(11):15-17.

[6]马淑云，王骁力，张菲菲，等.从V=AV⊕A-1(0)的一个条件谈起[J].南阳师范学院学报，2013,12(6):10-13.

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[8]黄堃.线性映射的值域与核的维数特征及应用[J].电力学报， 2010,25(6):496-499.

[9]张姗梅,刘耀军.线性变换的值域与核互为正交补的条件[J].太原师范学院学报(自然科学版)，2009,8(3):21-25.

[10]杨欣芳.线性空间分解为线性变换的核与象的直和的一个充分条件[J].韶关大学学报(自然科学版)，1996,17(4)：9-12.

(责任编辑：张凯兵)

Necessary and Sufficient Conditions of Linear Space Expressed by Direct Sum of Image and Kernel Space

Tang Ao，Zhou Wei，Hu Fugao

(SchoolofMathematicsandStatistics,HubeiEngineeringUniversity,Xiaogan,Hubei432000,China)

Abstract：According to the properties of image and kernel space, the necessary and sufficient conditions are discussed that the linear space can be expressed by the direct sum of image and kernel space. Moreover, several examples are cited by using these conditions.

Key Words：linear space; linear transformation; image space; kernel space; direct sum

收稿日期：2016-02-03

基金项目：湖北工程学院教研项目(2013028);湖北工程学院创新团队项目(201501)

作者简介：汤傲(1994-),男,湖北武汉人,湖北工程学院数学与统计学院学生。

中图分类号：O151.21

文献标志码：A

文章编号：2095-4824(2016)03-0110-04

胡付高(1964-),男,湖北大悟人,湖北工程学院数学与统计学院教授，本文通信作者。