取值于Banach空间上的向量值函数的柯西型积分的一些性质

王瑞东，　刘玉波，　李旗挺，　张　舜，　王　喆

(1.天津理工大学理学院, 天津300384； 2.天津理工大学中环信息学院，天津300384)



取值于Banach空间上的向量值函数的柯西型积分的一些性质

王瑞东1，刘玉波1，李旗挺1，张舜2，王喆1

(1.天津理工大学理学院, 天津300384； 2.天津理工大学中环信息学院，天津300384)

[摘要]应用初等的方法讨论了取值于Banach空间上的向量值函数的柯西型积分的连续性、可导性、解析性和高阶导数公式，以及柯西型积分在具有可数基的Banach空间中的性质.

[关键词]向量值函数； Banach空间； 柯西型积分； 可数基

1基本概念和引理

定义1[1]用C表示复数域，E表示赋范线性空间.设D为C的一个子集，若对D中任一元素z，在E中有唯一确定的向量x与之对应，则称在D上确定了一个到赋范线性空间E上的向量值函数，记为x=f(z)，其中z∈D.

引理1.1[2]设E为任一无穷维的Banach空间，那么其必含有具有可数基的无穷维闭线性子空间.

2向量值函数的柯西型积分

定义2.1设Γ为C上的简单曲线(Γ不必是闭的)，向量值函数f(z)是定义在Γ上，取值于赋范线性空间的可积函数.则具有如下形式的积分

称为向量值函数的柯西型积分.

定理2.1设Γ为C上的简单曲线(Γ不必是闭的)，f(ζ)是定义在Γ上取值于赋范线性空间上的向量值函数，且‖f(ζ)‖沿Γ可积.则由柯西型积分定义的函数

在C上(除曲线Γ外)连续.

又因为‖f(ζ)‖沿Γ可积，所以∫Γ‖f(ζ)‖ds存在，不妨令M=∫Γ‖f(ζ)‖ds，则

从而有

故

定理2.3设Γ为C上的简单曲线(Γ不必是闭的)，f(ζ)是定义在Γ上取值于具有可数基的Banach空间的向量值函数.若由柯西型积分所定义的函数

‖F(z)-F(z0)‖<ε.

其中

所以F(z)在任意一组可数基下的每一个坐标函数连续.

推论2.1设Γ为C上的简单曲线(Γ不必是闭的)，D是不含Γ的区域，f(ζ)是取值于lp(p≥1)空间的沿Γ连续向量值函数. 则由柯西型积分定义的函数

证由定理2.3即得.

定理2.4设Γ为C上的简单曲线(Γ不必是闭的)，f(ζ)是定义在Γ上取值于赋范线性空间上的向量值函数，且‖f(ζ)‖沿Γ可积.则由柯西型积分定义的函数

在不含Γ的任何区域D内解析, 且

证ρ和M如定理2.1中证明所定义，则

即

由z的任意性，可知F(z)在不含Γ的区域内处处可导，从而F(z)是解析的.

定理2.5设Γ为C上的简单曲线(Γ不必是闭的)，f(ζ)是取值于具有可数基的Banach空间的向量值函数，且‖f(ζ)‖沿Γ可积.则有

证该定理的第(i)部分由定理2.4显然成立.

下面证明该定理的第(ii)部分. 由于定理2.4，F(z)在不含Γ的任何区域D内解析，即对于任意的ε>0，对应存在δ>0，当|Δz|<δ时，有

即当|Δz|<δ时，有

所以

定理2.6设Γ为C上的简单曲线(Γ不必是闭的)，f(ζ)是定义在Γ上取值于赋范线性空间上的向量值函数，且‖f(ζ)‖沿Γ可积.则由柯西型积分定义的函数

在不含Γ的任何区域D内解析，且

(2.1)

考察范数

其中

又因为‖f(ζ)‖沿Γ可积，所以∫Γ‖f(ζ)‖ds存在，不妨设M=∫Γ‖f(ζ)‖ds，则

这样由归纳法知

推论2.2设Γ为C上的简单曲线(Γ不必是闭的)，f(ζ)是取值于具有可数基的Banach空间的向量值函数，且‖f(ζ)‖沿Γ可积.则有

从而

证该推论的第(i)部分由定理2.6显然成立.下面证明该定理的第(ii)部分.由定理的第(i)部分及定理2.2可得

所以

从而

[参考文献]

[1]刘玉波.关于有限维向量值函数一些注记[J].天津理工大学学报，2010，26(2):53-57.

[2]定光桂.巴拿赫空间引论 [M].2版.北京:科学出版社，2008.

[3]刘玉波，李旗挺.可数基的Banach空间上的向量值函数的一些性质，大学数学，2014，30(3)：59-64.

[4]刘玉波.关于复数域上Banach空间上的向量值函数的一些注记[J].天津师范大学学报，2009，(29)3：25-28.

[5]刘玉波.向量值函数解析的两个充要条件的注记[J].天津理工大学学报，2010，26(4)：16-18.

Some Properties of Cauchy Type Integral of Vector-valued Functions on Banach Space

WANGRui-Dong1,LIUYu-Bo1,LIQi-Ting1,ZHANGShun2,WANGZhe1

(1.School of Science, Tianjin University of Technology, Tianjin 300384, China;2.Zhonghuan Information College of Tianjin University of Technology, Tianjin 300384, China)

Abstract:We study the continuity, derivative, analyticity and the high order derivative formula of the Cauchy type integral functions, which valued on Banach space, by elementary method. We also give some properties of Cauchy type integral functions with countable base.

Key words:vector valued functions; Banach space; Cauchy type integral; countable base

[收稿日期]2015-12-25；[修改日期] 2016-2-29

[基金项目]国家自然科学基金(11301384)

[作者简介]王瑞东(1981-)，男，博士，副教授，从事泛函分析及应用的研究.Emaill:wangrdtjut@126.com

[中图分类号]O177.2

[文献标识码]C

[文章编号]1672-1454(2016)02-0091-06