求三角函数最值问题的策略

◇　重庆　梁明龙



求三角函数最值问题的策略

◇重庆梁明龙

三角函数最值问题是函数最值的重要组成部分,是历届高考的热点,此类问题不仅与三角基础知识密切相关,而且与代数中的二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识的联系也很密切．三角函数的最值问题有以下几种类型．

1形如y=asin x+b(或y=acos x+b)型

策略利用|sinx|≤1(或|cosx|≤1),即可求解．

解函数y=acosx+b的最值与a的符号有关,故需对a分类讨论.

当a=0时,不合题意;

当a=4,b=-3时,

bsinx+acosx=-3sinx+4cosx=

当a=-4,b=-3时,

bsinx+acosx=-3sinx-4cosx=

所以bsinx+acosx的最大值为5.

2形如y=asin x+bcos x型

3形如y=asin2x+bsinx+c(或y=acos2x+bcosx+c)型

策略对含有sinx、cosx,并且其中一个是二次,处理方式是应用sin2x+cos2x=1,使函数式只含有一种三角函数,再应用换元法,转化成二次函数来求解．

策略对于一个分式,分子、分母分别含有正、余弦的一次式．常利用正、余弦函数的有界性，将其转化为关于y的不等式求解，也可以用圆的参数方程或斜率公式求解．

总之,求三角函数最值的常用方法有: 1) 配方法(主要利用二次函数理论及三角函数的有界性); 2) 化为一个角的三角函数(主要利用和差角公式及三角函数的有界性); 3) 数形结合法等．

(作者单位：重庆市大足中学)