涉及2个量的概率问题探究

◇　甘肃　姜有军



涉及2个量的概率问题探究

◇甘肃姜有军

在概率计算中常会遇到含有2个变量的复杂问题.若在古典概型中出现2个量,可先将其中一个量的取值定下来,再根据条件讨论确定另一个变量的取值,最后用概率公式加以计算;若在几何概型中出现2个量时,可用2个量构成的面积来计算概率．

x2+2ax+b2=0.

(1) 若a是从0、1、2、3中任取的1个数,b是从0、1、2中任取的1个数,求上述方程有实根的概率;

(2) 若a是从区间[0,3]任取1个数,b是从区间[0,2]任取的1个数,求上述方程有实根的概率．

(1) 古典概型中出现2个量,先将一个量的取值确定,再根据条件讨论确定另一个变量的取值,最后利用概率公式求解即可．实验的全部结果有12个,如何考虑a≥b呢?不妨分别令a=0、1、2、3时,根据条件a≥b来讨论b的取值．

当a=0时,b=0;

当a=1时,b=0,1;

当a=2时,b=0,1,2;

当a=3时,b=0,1,2.

图1

(2) 几何概型中出现2个量,可用2个量构成的面积来计算概率．实验全部结果所构成区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2},符合a≥b的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b},如图1所示，故

(1) 设集合P={-1,1,2,3,4,5}和Q={-2,-1,1,2,3,4},分别从P和Q中随机取一个数作a和b,求y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率;

(1) 实验的全部结果有36种,需满足的条件是a>0,且2b≤a,不妨分别令a=1、2、3、4、5时,根据条件来讨论b的取值．

当a=1时,b=-2,-1;

当a=2时,b=-2,-1,1;

当a=3时,b=-2,-1,1;

当a=4时,b=-2,-1,1,2;

当a=5时,b=-2,-1,1,2;

(2) 实验的全部结果所构成区域为{(a,b)|a+b-8≤0,a>0,b>0},而符合a>0,且2b≤a的区域为{(a,b)|a+b-8≤0,a>0,b>0,a≥2b},如图2所示,其中阴影部分面积比整个区域面积为所求概率,故

图2

从上述解答过程可以看出,在概率计算中遇到含有2个变量的问题时,先分清概率模型,若是古典概型中出现2个量,先将一个量的取值定下来,而根据条件讨论确定另一个变量的取值,最后利用概率公式加以计算;若是几何概型中出现2个量时,我们常常用2个量构成的面积来计算概率.望读者仔细体会,将解题思想加以应用．

(作者单位：甘肃省金昌市第二中学)