多元多项式的最大公因式

刘金旺，何秀秀

（湖南科技大学数学与计算科学学院，湖南湘潭411201）

多元多项式的最大公因式

刘金旺，何秀秀

（湖南科技大学数学与计算科学学院，湖南湘潭411201）

主要讨论多项式环上两个多元多项式的最大公因式的求解问题，通过探讨理想的交、最大公因式和最小公倍式三者之间的关系，采用Gröbner基的理论和方法，总结出理想的交与最小公倍式之间的关系，进而给出求解最大公因式的有效方法与算法，最后给出具体实例说明该方法的可行性.

多元多项式；多元多项式环；最大公因式

1 引言

多项式理论是代数学的重要内容，寻找两个多项式的最大公因式问题是多项式理论中非常困难的问题.求解两个一元多项式的最大公因式一般是先把两个多项式分解成一些不可约多项式的乘积，我们知道分解因式特别困难.目前，已有不少学者对其进行了较多的研究，关于一元多项式的最大公因式问题得到了一些较好的结果，常用的方法有殴几里德算法，系数矩阵的初等变换法等，都从不同的角度对其进行了研究.但是，对于多元多项式的最大公因式问题并没有得到比较好的解决，而且有关这方面的理论也比较少.其中，文献[2]讨论了两个二元多项式的最大公因式的存在性，并且给出了相应的证明，也得出一系列性质.文献[3]对两个二元多项式的最小公倍式进行了探讨，也得出相应的结论.文献[5]讨论了多元多项式可约性的相关性质.

本文主要致力于研究两个多元多项式最大公因式问题，通过引进Gröbner基的理论与方法，探讨理想、最小公倍式、最大公因式三者之间的关系，给出寻找最大公因式的有效方法和算法.

本文主要是在多元多项式环k[x1，…，xn]上进行探讨，下面给出相关的定义：

定义1[1]设f（x1，…，xn），g（x1，…，xn），h（x1，…，xn）∈k[x1，…，xn]，如果h（x1，…，xn）满足：

（1）h（x1，…，xn）整除f（x1，…，xn），g（x1，…，xn）；

（2）如果p（x1，…，xn）是f（x1，…，xn），g（x1，…，xn）的公因式，则p（x1，…，xn）整除h（x1，…，xn）.则称h（x1，…，xn）是f（x1，…，xn），g（x1，…，xn）的最大公因式，记作GCD（f（x1，…，xn），g（x1，…，xn））.

定义2[1]设f（x1，…，xn），g（x1，…，xn），h（x1，…，xn）∈k[x1，…，xn]，若h（x1，…，xn）∈k[x1，…，xn]满足：

（1）f（x1，…，xn），g（x1，…，xn）整除h（x1，…，xn）；

（2）h（x1，…，xn）整除f（x1，…，xn），g（x1，…，xn）的每个公倍式.则称h（x1，…，xn）是f（x1，…，xn），g（x1，…，xn），的最小公倍式，记作LCM（f（x1，…，xn），g（x1，…，xn））.

定义3[1]设其中I是有限集，令表示f（x1，…，xn）中出现的所有单项式的集合，令中所有项的集合.假设≤是T上的单项式序，对于非零的多项式f∈k[x1，…，xn]，称（T（f），≤）中的最大项为f的首项，用HT（f）表示；称（M（f），≤）中的最大项为f的首单项式，用HM（f）表示；首单项式HM（f）的系数称为首系数，用HC（f）表示.显然有HM（f）=HC（f）HT（f）.

定义4[1]对于固定的单项式序，非零理想I⊆k[x1，…，xn]的有限子集G={f1，f2，…，ft）称为I的Gröbner基，如果他们满足

定义5[1]设G是理想I的Gröbner基，如果G满足下列条件：

（1）∀f∈G，HC（f）=1；

（2）对任意f∈G，f模G{f}是不可约的.

则称G是I的既约Gröbner基.

定义6[1]设J=＜f1，f2，…，fs＞⊆F[x1，…，xn]，则第m个消元理想Jm是F[xm+1，…，xn]中的理想，记为Jm=J∩F [xm+1，…，xn]，消元理想Jm包含了方程组f1=f2=…=fs=0消去变元x1，…，xk后所能推出的所有多项式.

定义7[1]对于i≠j有如下记法：

2 主要结论

首先给出相关引理以及计算理想的交的基本算法：

引理1[1]设I1，I2，…，Im是多项式环k[x1，…，xn]上的理想，令y1，…，ym是一组新的变元，在多项式环k[y1，y2，…，ym，x1，x2，…，xn]上定义理想

其中k[y1，y2，…，ym，x1，x2，…，xn]上的单项式序为字典序，满足

引理2[1]设J⊆F[x1，…，xn]是一个理想，设G是理想J的Gröbner基，单项式序是字典序，并且满足x1＞x2＞…＞xn，则对于每一个0≤k≤n，集合Gk=G∩F[xk+1，…，xn]是第k个消元理想Jk的Gröbner基.

关于计算两个理想的交的算法如下：

输入：理想I，J∈k[x1，x2，…，xn]且I=＜f（x1，x2，…，xn）＞，J=＜g（x1，x2，…，xn）＞.

输出：I∩J.

第一步：分别求出理想I和J的Gröbner基：{f（x1，x2，…，xn）}，{g（x1，x2，…，xn）}；

第二步：引入新变元y1，y2，并在k[y1，y2，x1，…，xn]上构造新的理想

第三步：利用Gröbner基的算法[4]求的Gröbner基，具体操作如下：令G=H；B={（i，j）｜1≤i＜j≤13}；t=3；如果B≠0，则执行下列语句：取（i，j）∈B，如果LCM（HT（fi），HT（fj））≠HT（fi）· HT（fj）且Crit（fi，fj，B）=false，则h0=S（fi，fj）G；如果h0≠0；则t=t+1；ft=h0；G=G∪{ft}；B=B∪{（i，j）｜1≤i≤t-1}；B=B-{（i，j）}；结束（其中Crit（fi，fj，B）=true当且仅当存在k∉{i，j}，使得[i，k]，[j，k]∉B且HT（fk）|LCM（HT（fi），HT（fj））），则最终G为所求的Gröbner基.

第四步：通过上述办法所求得的Gröbner基G，则G∩k[x1，…，xn]为I∩J的Gröbner基.

定理1设f（x1，…，xn），g（x1，…，xn）∈k[x1，…，xn]，则

我们看到要求解f（x1，…，xn）与g（x1，…，xn）的最大公因式，我们可以先求出两个理想的交的既约Gröbner基，它就是f（x1，…，xn）与g（x1，…，xn）的最小公倍式，再根据定理2我们可以直接求出f（x1，…，xn）与g（x1，…，xn）的最大公因式.

下面通过一个例子来检验本文的方法.

[1]何青.计算代数[M].北京：北京师范大学出版社，1997.

[2]谭宜家，陈锦松.关于多元多项式的最大公因式[J].上饶师范学院学报，2006（6）：9-11.

[3]李立.关于多元多项式的最小公倍式[J].哈尔滨商业大学学报（自然科学版），2008，24，12：123-126.

[4]B.Buchberger，G.E.Collins and R.G.K.Loos editors.Computer Algebra.Symbolic and Algebraic Computation[J].Springer Verlag，1982.

[5]樊恺.关于多元多项式可约性的讨论[J].武汉教育学院学报，1998，17（6）：6-8.

The Greatest Common Factors of Polynomials in Several Indeterminates

LIU Jin-wang，HE Xiu-xiu
（School of Mathematics and Computation Science，Hunan University of Science and Technology，Xiangtan，Hunan 411201）

In this paper，the authors explores how to solve the greatest common factorsof two polynomials in several indeterminates over polynomial rings.The authors studied the association among the intersection of ideals，the greatest common factors and the least common multiple.Based on the theory and methods of basis，the authors summed up the relationship between the intersection of ideals and the least common multiple.Then，the authors give effective methods and algorithm of solving the greatest common factors.In the end of this paper，a numerical example is given to illustrate the effectiveness of our method.

polynomials in several indeterminates；multivariate polynomial rings；the greatest common factors

O15

A

1671－9743（2016）11－0010－04

2016-09-23

2016年湖南省研究生科研创新项目（CX2016B533）.

刘金旺，1964年生，男，教授，博士，博导，研究方向：线性代数.何秀秀，湖南科技大学数学与计算科学学院硕士研究生.