数学文化渗透大学数学课堂的教学案例

曾艳妮，黄振东，邢　婧

（湖北经济学院统计学院，湖北武汉430205）



数学文化渗透大学数学课堂的教学案例

曾艳妮，黄振东，邢婧

（湖北经济学院统计学院，湖北武汉430205）

摘要：数学文化教育对大学数学教育有非常重要的作用和意义，但是如何在数学教学过程中巧妙的融入数学文化值得研究，本文通过五个具体的教学案例说明在教学过程中主要从知识背景、数学历史、相关趣味典故、欣赏数学之美、数学中的哲学思想等方面挖掘数学文化素材，渗透数学文化，以有效提升数学教学效果，开阔学生视野、提高数学素养。

关键词：数学文化；数学；教学；案例

数学文化有着丰富的内涵，基于数学文化的普遍定义，综合学者们的研究成果，数学文化除了传统数学的内容即作为科学的数学内容外还包括作为文化层面的数学，概括起来主要有数学史、数学的价值观、数学的知识体系、数学思想方法、数学与其它学科的交叉与融合等等。学者们都认为数学文化是人类文化的一部分，不仅具有文化价值而且具有育人功能，恰当好处地将数学文化渗透在数学教学中可以使学生在学习原有数学知识的同时开阔视野、增加学习趣味性、提高数学文化素养、提升学习积极性，使课堂教学更加高效，所以数学文化教育对大学数学教育有着重要意义和作用。下面通过几个案例说明数学文化渗透大学数学课堂教学的方法和途径。

一、教学内容的引入注重知识背景的阐述，揭示知识的发展历程。

案例一：微积分发展史融入微积分教学

微积分的理论体系严谨而循序渐进，步步深入、环环相扣，而其发展史却曲折艰辛，数学的发展史中是先有微积分，再有极限理论。倘若学生打开课本就直接正式接触成熟的理论使得对这门课程认识模糊，则不清楚为什么要学这门课程，这门课程是为解决什么核心问题而产生，更不知道这门课程如何发展起来的。这有悖于学习的认知规律，所以在微积分学习之前，介绍微积分的发展史有利于学生总体上对这门课程有一个初步的理解和认识，从心理上接受并愿意探究这门课程。

数学的发展源于社会环境的力量，16世纪下半叶，欧洲文艺复兴使得科学技术迅猛发展，生产力空前提高，航海、工商业和工程建筑设计都发达起来，研究物体的运动和变化成为迫切需要研究的课题，概括起来形成了四个核心问题：瞬时速度问题；曲线的切线；函数极值问题；求积问题（曲线长度、图形面积等）。前三个问题的解决导致微分学的产生，第四个问题的解决导致积分学的产生。17世纪十多位数学家为微积分的创立做了开创性的研究，解决了许多本来认为束手无策的难题，其中核心人物牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础试图建立微积分理论，但是由于对无穷小认识不清导致了很多悖论引发第二次数学危机。虽然微积分理论不严密，但从17世纪末到19世纪初，微积分理论依然被广泛而有效地应用于物理、天文等领域，并取得了丰硕的成果。后来经过两百多年众多数学家的努力，直到19世纪初，法国数学家柯西建立了严格的极限理论，后来德国数学家魏尔斯特拉斯等加以完善，从而形成了严密的实数理论，由此微积分理论的严密性无懈可击。

在学习的过程中可以布置学生课外拓展阅读数学史上著名的三次危机，了解危机的产生、发展、解决；查阅了解牛顿、莱布尼兹等数学家的生平事迹，学习他们的思维方法，数学精神等。

二、挖掘教学内容背后的文化素材

案例二：数列极限的概念学习中利用数学文化素材

数列极限概念的学习是一个由浅入深的过程，为了给学生以直观的认识和深刻的体会，可以介绍我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中利用圆内接正多边形计算圆面积的方法——割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。将割圆术的方法通过动画演示显现，借助多媒体让学生直观感受内接正多边形面积逐步逼近圆面积的过程，引导学生体会从有限分割到无限接近的思想飞跃，进而引入数列极限概念。

同样，还可以借助我国古代的“截杖问题”引入极限。

极限概念形成后，教师可以启示学生极限思想在实际中的应用，利用极限思想考虑某些数学问题往往会有豁然开朗的思路。如被数学教育家G·波利亚称为“由来已久的难题”的问题：两人坐在方桌旁，相继轮流往桌面上平放一枚同样大小的硬币。当最后桌面上只剩下一个位置时，谁放下最后一枚，谁就算胜了。设两人都是高手，问先放者胜还是后放者胜？G·波利亚的巧妙解法是“一猜二证”：猜想（把问题极端化）如果桌面小到只能放下一枚硬币，那么先放者必胜。证明（利用对称性）由于方桌有对称中心，先放者可将第一枚硬币占据桌面中心，以后每次都将硬币放在对方所放硬币关于桌面中心对称的位置，先放者必胜。从波利亚的精巧解法中，我们可以看到，他是利用极限的思想考察问题的极端状态，探索出解题方向或转化途径。

课后可以让学生进一步利用数列极限思想查阅Koch雪花曲线试着求其周长面积、Sierpinski三角形的形成等，进而延伸了解有关分形图的有关知识，体味数学的图形美。

三、引导学生学会欣赏数学之美

案例三：泰勒级数的学习中融入最美的数学等式——欧拉公式

在微积分的发展历程中，将复杂函数展开成泰勒级数具有重要意义，这一节内容学习完毕后，我们可以应用所学的知识将函数用麦克劳林级数公式展开得到著名的欧拉公式，令可得，此公式曾获得“最美的数学等式”称号，它的令人惊叹之处在于将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数——自然对数的底e和圆周率π，两个单位——虚数单位i和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0。此公式将这几个看似毫无关系的数字如此自然而巧妙地写成一个如此简单的式子，甚称“天作之合”！还有人理解0，1代表算术、e代表分析学、π代表几何、i代表代数，一个公式将四个数学分支联系在一起，冥冥之中早已存在于宇宙中！因此数学家评价它为“上帝创造的公式”，这充分体现了数学的统一美，使人为之深深地震撼！

凡是数学中奇妙的有规律的让人愉悦的美的东西，我们都可以称之为数学美，它是自然美中的一部分，是科学美学的核心，数学之美还有很多种，如图形之美、语言之美、符号之美、结果之美、解题方法之美等等，这些美是含蓄而深邃的，需要一定的功底才可以被发掘的，所以教师在讲课过程中要善于引导学生学会欣赏数学之美，一旦学生理解体会到了这些美，才会被数学深深吸引，才会有兴趣有热情去探索数学。

四、学习过程中增加数学典故，激发学生学习兴趣，开阔视野

案例四：无穷大的理论学习中讲解有限与无限的有关典故

无穷大是一种特殊形式的极限，学习了极限的概念后便可以从形式上给出无穷大的定义，但是如何让学生深刻的理解无穷大，还需要教师多做一些设计，不妨讲讲与无穷大相关的典故，打打比方帮助学生理解无穷大的本质。

例如《西游记》中，孙悟空一个筋斗翻十万八千里，可是他却依然翻不出如来佛的手掌心。这里孙悟空不管筋斗翻得多远，始终是个有限数，而如来佛法力无边不妨将他的手掌看成无穷大，孙悟空每翻一个筋斗眼看要逃出如来佛手心的时候，如来佛的手又变大一点，再翻一个再大一点，……，如此一来永远也逃不出去！于是无穷大可以理解为要它有多大它就有多大，无穷大是个变量！

再如希尔伯特的旅馆：说是数学家希尔伯特开了一个空间旅馆，旅馆有无穷多个房间，每个房间都住了一个客人，这时又来了k个客人，依然要求每人住一间房，如何安排？又来了一个团，有无穷多个客人，该怎样安排？又来了无穷多个团，每个团都有无穷多个客人，又该如何安排？通过分析答案发现无论来多少个客人，这个奇特的旅馆始终能装下，就是说无穷大中含有无穷个无穷大！

这对学生深刻理解无穷的含义和本质，领悟数学的奇妙和魅力有很好的促进，课后还可以进一步要求学生收集资料找出有限与无限的区别与联系，布置学生看《从一到无穷大》、《奇妙的无穷》等拓展数学文化的书籍。

五、在数学的学习中体会哲学的思想

案例五：数项级数学习中插入“飞矢不动”悖论

无穷多项相加到底有没有和，这便是级数要解决的问题，对这个知识的学习不妨介绍一下“飞矢不动”悖论。公元前五世纪，以诡辩著称的古希腊哲学家芝诺（Zeno）用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出一系列关于运动不可分性的哲学的悖论，人们通常称之为芝诺悖论。“飞矢不动”悖论是其中之一。从数学的观点来分析这个悖论，射出去的箭“动”是显然的，“静”可以理解为将箭走过的位移分成无穷多份，每份都是无穷小，箭在每一个瞬间都有一个固定的位置，或者说每一个瞬间基本是没有位移的，这就产生了悖论。通过对悖论的破解引导学生体会时间的连续性，量变引起质变等哲学思想。

关于无穷多项相加在数学的历史中还有过不少悖论，如阿基里斯追不上乌龟悖论等，学习了数项级数后可以让学生查阅书籍收集这方面的悖论，并用学过的知识逐一破解。通过这种方式加深对知识的理解，激发学生学习兴趣，体会哲学思想。

六、注重理论联系实际，在应用中传承数学文化

案例六：离散型随机变量数学期望的实际应用

保险金问题：交强险是汽车保险中必买的险种，假设每次事故财产损失平均赔付500元，人员伤亡平均赔付3万元，某型家庭自用车，每年缴纳交强险金额为950元.据统计数据分析，该型车一年内发生交通事故导致财产损失和人员伤亡的概率为分别0.2958和0.0182。问：一辆该型车，保险公司年平均收益为多少呢？

设保险公司年收益为X，首先写出X的分布律:根据题目给出的条件，当发生交通事故以0.2958的概率导致财产损失时，保险公司需赔偿500元，投保人缴纳了950元的保费，所以保险公司的收益为950-500=450元；当发生交通事故以0.0182的概率导致人员伤亡时，保险公司需赔偿3万元，950元的保费减去3万为负29050元，若车辆没有任何损失时，这950元的保费就为保险公司的纯盈利，概率为0.6860。所以X的分布律如下：

思考：对于受害者来说，若遭遇重大的损失和伤亡，这500元及3万元的赔偿金无疑是杯水车薪，所以，投保人希望能提高赔偿金（设m为财产损失平均赔偿金，n为人员伤亡平均赔偿金），同时又想少交一点保险费（设为s），而保险公司当然是想多收点保险费少陪一点钱，如何处理这种矛盾呢？即当m，n，s满足什么关系式，保险公司才能盈利呢？

X的分布律如下：

（注：本文系湖北经济学院法商学院2015年教育教学研究项目“数学文化融入大学数学教育的意义与策略研究”，项目编号：2015J16）

参考文献：

［1］曾艳妮，徐勇.数学文化对大学数学教育的意义和作用［J］.湖北经济学院学报（人文社科版），2016.1.

［2］彭维玲，历建兰.数学文化融入高师数学课堂教学的案例与分析［J］.通化师范学院学报（自然科学版），2015.4.

［3］曾艳妮.微积分教学中如何融入数学文化［J］.湖北经济学院学报（人文社科版），2014.12.

［4］任秋萍，张晓光，王佳秋，王新霞.高等数学课堂教学中渗透数学文化的研究［J］.高师理科学刊，2014.11.

［5］张维忠，徐晓芳.基于数学文化的教学案例设计述评［J］.浙江师范大学学报（自然科学版），2008.9.