数123456789的奇妙性质及其推广

田甦文 田雨

【摘要】通过数123456789（和987654321）的一个奇妙性质入手，我们提出了一个相当一般的关于一类乘积中数字出现规律的猜想.

【中图分类号】O156.1

也许很少人注意到，数123456789有一个非常有趣的性质，而且由此还可以发现其他一些相关的奇妙现象.这些现象都只涉及最基本的整数运算，但是据我们了解还没有人发现过.

最简单的情况，就是把123456789直接乘以一个数字（从1到9），结果如下：

也就是说，除了3、6、9这三个能被3整除的数字外，其他数字跟123456789相乘得到的结果，其各位数仍然是123456789这9个数字的不同排列（既无重复也无遗漏），但其具体排列顺序似乎并无明显的规律.

由于123456789乘以9时得到的已经是10位数，因此乘以更大的数时显然不可能再是123456789这9个不同数字的排列.但是，123456789乘以10得到1234567890，如果把数字0也算上的话，仍然是所有10个数字的排列（实际上123456789本身也可以看成0123456789）.这就提示我们，如果把123456789乘以更大的数时，是否也有类似的规律出现呢？

首先做一个简单的分析，

123456789 * 81=9999999909，显然当所乘的数大于81时将会得到一个11位数，总共10个数字不可能没有重复.因此，原则上我们可以观察123456789乘以从11到80的所有整数，看看结果是否出现10个不同数字的排列.这里我们仅仅列出从11到30的结果：

当乘以3的倍数时都得不到想要的结果，自不必说，但是当乘以19时出现了第一个例外（出现了两个9而没有0），后来的28和29同样出现了数字重复和遗漏的现象.而从31到80，这样的例外情形总体来说逐渐增多，但仍有相当部分的相乘结果是10个不同数字的排列，这里就不再赘述.

无独有偶，除了123456789之外，数987654321也有类似有趣的性质，但由于该数较大，当乘以大于10的整数时已经得到11位数，所以这里只考察乘以1到10的结果：

同样是除了3的倍数以外，乘以其他整数得到的结果均为0123456789这10个不同数字的排列.

这样一个自然的问题就是，除此之外还有没有别的数也有类似的性质呢？如果我们简单地对前面两个数做一个减法：

987654321-123456789=864197532，

很凑巧结果同样是123456789这9个不同数字的排列.但是864197532这个数的性质就不像前面两个数这么有趣了，除了乘以较小的几个数可以得到类似的结果，其他情况下一般不再具有这种性质.另外，

9876543210-123456789=9753086421，

虽然结果凑巧也是0123456789这10个不同数字的排列，但是由于该数较大，只要乘以2就会超过10位数字，因此不可能再做进一步的考察.虽然我们没法穷尽所有的情况，但是到目前为止还没有发现其他与123456789和987654321性质同样好的9位数（或者10位数）.不过这些在相减的情形同樣得到9个（或者10个）不同数字排列的现象本身也是有趣的，如

987654321-123456789 * 3=617283954，

9876543210-123456789 * 3=9506172843，

等等，但是由于很难总结出一般的规律，我们就未做进一步的研究了.

如果不局限于9位（或者10位）数，那么还可以找到更一般的有趣性质.用112233445566778899代替123456789，首先可以注意到

112233445566778899 * 98=10998877665544332102，

112233445566778899 * 99=11111111111111111001，

其中前一式的结果中0123456789这10个数字刚好每个数字也是出现两次，这是我们希望看到的性质；而后一式的样子完全类似于前面123456789乘以9的式子.一般地，可以验证112233445566778899乘以从1到100的所有整数，除了乘数可以被3整除的情形，结果中0123456789这10个数字刚好每个数字都是出现两次.这里我们只列出乘数从2到19的结果：

当乘以大于100的整数时，出于位数的限制最大可以到

112233445566778899 * 890=99887766554433220110，

112233445566778899 * 891=99999999999999999009，

其中可以预期也会出现类似于123456789乘以19这样的反例，但我们未做进一步的考察.

如果用998877665544332211代替987654321，那么类似地，当乘以大于100的整数时已经得到21位数而无需考察，同样可以验证998877665544332211乘以从1到100的所有整数，除了乘数可以被3整除的情形，结果中10个不同数字刚好每个数字都是出现两次.这里我们只列出乘数从2到19的结果：

此处不再赘述.

容易想到，上述规律可以进一步推广到111222333444555666777888999和999888777666555444333222111乘以从1到1000的所有整数，甚至更高位数的情形.在这些情形单靠人力很难做彻底的验证，但是对于我们随机抽样到的情形（除了乘数可以被3整除），上述有趣的性质都是保持的.

基于上述研究，最后我们提出一个普遍的猜想：形如11…122…233…3……88…899…9和99…988…877…7……22…211…1（其中123456789每个数字均出现n次）的数乘以从1到10n的所有整数，除了乘数可以被3整除的情形，得到的结果中10个不同数字刚好每个数字都是出现n次.希望有人能证明这个猜想.