平面上的向量与点不加区别的代数解释

方又超

【摘要】xOy平面上的既有方向又有大小的向量和该平面上的点是两个不同的几何对象，在初等数学中它们不加区别，甚至在大学的解析几何中对它们也不加区别.用欧氏空间的同构理论可解释xOy平面上的向量和该平面上的点不加区别的数学处理方法是合理的.

【关键词】xOy平面；向量；点；欧氏空间的同构

一、引 言

首先指出文中的平面是建立了笛卡尔直角坐标系的xOy平面.在初等数学中处理xOy平面上的既有方向又有大小的向量时，建立了平面上的向量与平面上的点之间的一一对应关系，利用了一個描述性的结论：“平面上的既有方向又有大小的向量与平面上的点不加区别.”按照这一结论，如图所示，

五、结 论

同构的欧氏空间本质上是一样的，它们具有相同的结构.去掉元素的形式外衣，只着眼于运算方式，V2与R2的运算方式相同，且几何度量方式一样；在V2中由向量的运算及由几何度量决定的结论如果成立，相应的结论在R2中也一定成立，反之亦然.因而我们可以把V2中由向量的运算及由几何度量决定的性质的问题转化到R2中探讨，把V2中的向量α=aε1+bε2简记为α=（a，b），这不会引起任何逻辑上的矛盾，是合理的.同理可得欧氏空间V3与欧氏空间R3同构，V3中的向量与V3中的点