逆向“倒换”，解题“法宝”

丁晨洋

摘要：加强逆向思维的训练，可改变其思维结构，培养思维灵活性、深刻性和双向能力，提高分析问题和解决问题的能力。迅速而自然地从正面思维转到逆向思维的能力，正是数学能力增强的一种标志。因此，我们在平时训练中务必要加强逆向思维能力的培养与塑造。在此，笔者浅要谈谈逆向思维方法中的倒换法。

关键词：数学教学；逆向思维；“倒换”

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）05-0110

在数学学习中，逻辑思维能力和空间想象能力是学生学习的基础，是对学生数学认知特点的概括，是在数学活动中表现和培养的、带有数学的特点，因此被认为是数学能力。而数学思维能力是数学能力的核心，除了掌握必须的基础知识、基本技能和数学思想方法以外，决定高考数学成绩的关键是数学思维能力。所以，在平时学习过程中，教师应该有意识、自觉地培养学生自身的数学思维能力，优化思维品质，把思维能力的培养和提高放在一个重要的位置，在学习的全过程中长抓不懈。

逆向思维是指由果索因、知本求源，从原问题的相反方向着手的一种思维。它是数学思维的一个重要原则，是创造思维的一个组成部分，也是进行思维训练的载体，培养逆向思维过程也是培养思维敏捷性的过程。现在有许多学生之所以处于低层次的学习水平，有一个重要因素，即逆向思维能力薄弱，缺乏创造能力、观察能力、分析能力和开拓精神。因此，加强逆向思维的训练，可改变其思维结构，培养思维灵活性、深刻性和双向能力，提高分析问题和解决问题的能力。迅速而自然地从正面思维转到逆向思维的能力，正是数学能力增强的一种标志。因此，我们在平时训练中务必要加强逆向思维能力的培养与塑造。在此，笔者谈谈逆向思维方法中的倒换法。

一、倒换法的定义及必要性

以颠倒、变换为手段，从反面对问题进行分析、思考，这种逆向思维的解题方法称为倒换法。解题是一项系统的工程，有许多因素影响它的成败。具有扎实的解题基础，解题不一定获得成功。因为数学解题中，程序化的问题是极少的，要把问题中的条件与结论沟通起来，判断利用什么知识，选择什么方法，这就必须对问题进行解剖、识别，对各种信息进行筛选、加工和组装，以创造利用知识、方法和经验的条件，这种复杂的、创造性的分析过程就是数学思维过程。这一过程能否顺利进行，取决于数学方法是否正确。就像当今社会，我们人与人之间的交流一样，换位是经常洞察一个人，解析一个事件的常用手段，因此对一些特殊的数学题型采用一些倒换技巧是可行的，也是必要的。

二、倒换法的几种不同的表现形式

1. 常量与变量间的“倒换”

在解题实践中，发现题目自身各部分之间隐含的特定的数量关系——变量与常量的互依关系，常常是解决问题的突破口。但由于习惯思维之势，人们往往抓住变量不放，有时会陷入困境。为了解题的需要，可暂时视某一变量为常量，这样可以从“动”中求“静”，以“静”制“动”，促使问题向有利于解决的方向转化。

例：已知函数y=（log2m-1）log32x-6log2mlog3x+log2m+1，当1≤m ≤2时，恒有y>0，试求x的取值范围。

分析：如果在本题中，m视为参数，x为主变元，按常规方法，需分log2m=1与log2m≠1两种情形分别研究log3x的一次函数，二次函数取正值的条件，十分繁琐，若以log2m为主元，将参数升格为主变量，可使问题的解答变得相当简捷。

妙！此题解法打破常规。这种“常量”与“变量”间的倒换，往往会在处理多变元对称问题、含有参数与主变量的有关问题时，若能突破常规思维，在解题时选取参变量为主变量，反客为主，就能实现问题轻松解决。显然，这种变换思考角度，将问题进行“倒换”处理，让我们从“山重水复疑无路”的困境，进入到“柳暗花明又一村”的美好景色中来。

2. 正面与反面间的“倒换”

从正面直接解决问题时，很难有进展，如果能够改变思维的方向，从问题的反面去进行逆向思考，往往会收到意想不到的效果。

例：已知二次方程（1-i）x2+（λ+i）x+（1+iλ）=0（i为虚数单位，λ∈R）有两个虚根的充要条件是的取值范围为 。

可知当且仅当λ=2时，原方程有实根，于是方程有两个虚根（无实根）的充要条件是λ≠2。

由此可见，对一些正面分类较繁，反面则很简单的这种“至少型”“至多型”等带有否定字眼的问题，若能借用“正反倒换”的技巧，便能开拓思路，提高分析问题和解决问题的能力，从而化难为易、化繁为简。

3. 结论先后顺序的“倒换”

在解有关存在探索型问题时，我们往往是直接从题目本身出发，想方设法地利用条件向目标靠近，但往往比较困难。但若能将问题所发生的先后顺序进行适当的倒换，从不同的角度思考问题，就会使问题迎刃而解。

其实，在我们高中数学这种“倒换术”是经常利用的，特别是像上例所示的存在探索性问题更是得利用这种“倒换”，将先后顺序倒换，同时借助数形结合、转换命题、构造法等实现解题。

4. 分子分母的“倒换”

分式函数求最值，是数学问题中的常見题型。虽然用常规方法能解题，但对知识的要求比较高。我们若能将其分子分母倒换一下，再解题，定会让人耳目一新，想法颇多。

综合上述可知，所求函数的最大值为1。

这种分子分母间的“倒换术”，特别适用于分式函数，尤其是分母的表达式比分子要复杂或者含无理根式的函数，若能巧妙实施分子分母的倒换，解题自然方便可操作。

从以上几个例题可以说明，虽然倒换法不是常规的思维方法，但我们如果能突破常规思维方法，能够将一些常规的数学问题采用逆向思维——“倒换”来解题，也会收到非常不错的效果，既提高了大家的思维能力，又培养了大家的创新意识。其实，我们在解题时特别是练习中，考试时只会用一种方法做到底，时间大量浪费不说，而且效率极低，得不偿失。因此，我们在平时的训练中，也有必要把一些好的技巧、好的思维策略，辩证地渗透到数学解题过程中，让我们也能体会到“倒一倒，问题轻松解决了”的乐趣。

（作者单位：浙江省龙游中学 324400）