例谈高中生数学发散思维的培养策略

王鹏

【摘要】在当前实施新课标，注重培养学生素质的大环境下，开发高中学生的思维潜能，提高思维品质，具有十分重大的意义.本文以具体数学问题为例，探讨了如何培养高中生数学发散思维的培养策略.

【关键词】高中数学；发散思维；培养策略

一、发散问题的解法

在教学过程中，用多种方法，从各个不同角度和不同途径去寻求问题的答案，用一题多解来培养学生思维过程的灵活性.

例1 求证：1-cos2θ+sin2θ1+cos2θ+sin2θ=tg θ.

证法1（运用二倍角公式统一角度）

左=2sin2θ+2sinθcosθ2cos2θ+2sinθcosθ=2sinθ（sinθ+cosθ）2cosθ（sinθ+cosθ）=右.

证法2（逆用半角公式统一角度）

左=1-cos2θsin2θ+11+cos2θsin2θ+1=tgθ+1ctgθ+1=右.

证法3（运用万能公式统一函数种类）设tgθ=t，

左=1-1-t21+t2+2t1+t21+1-t21+t2+2t1+t2=2t2+2t2t+2=t=右.

证法4 ∵tgθ=1-cos2θsin2θ，（构法分母sin2θ并促使分子重新组合，在运算形式上得到统一）

∴左=（1-cos2θ+sin2θ）sin2θ（1+cos2θ+sin2θ）sin2θ=1-cos2θsin2θ=右.

证法5 可用变更论证法.只要证下式即可.

（1-cos2θ+sin2θ）sin2θ=（1-cos2θ）（1+cos2θ+sin2θ）.

证法6 由正切半角公式tgθ=1-cos2θsin2θ=sin2θ1+cos2θ，利用合分比性质，则命题得证.

通过一题多解引导学生归纳证明三角恒等式的基本方法：（1）统一函数种类；（2）统一角度；（3）统一运算.

一题多解可以拓宽思路，增强知识间联系，学会多角度思考解题的方法和灵活的思维方式.

二、发散问题的结论

对结论的发散是指确定了已知条件后没有现成的结论.让学生自己尽可能多地探究寻找有关结论，并进行求解.

例2 已知：sinα+sinβ=13 （1），cosα+cosβ=14 （2），由此可得到哪些结论？

让学生进行探索，然后相互讨论研究，各抒己见.

想法一 （1）2+（2）2可得cos（α-β）=-263288.（两角差的余弦公式）

想法二 （1）×（2），再和差化积：sin（α+β）[cos（α-β）+1]=112.

结合想法一可知：sin（α+β）=2425.

想法三 （1）2-（2）2再和差化积：2cos（α+β）[cos（α-β）+1]=-7144

结合想法一可知：可得cos（α+β）=-725.

想法四 （1）（2），再和差化积约去公因式可得：tgα+β2=43，进而用万能公式可求：sin（α+β）、cos（α+β）、tg（α+β）.

想法五 由sin2α+cos2α=1消去α得：4sinβ+3cosβ=2524.

由sin2β+cos2β=1消去β可得4sinα+3cosα=2524.（消参思想）

想法六 （1）+（2）并逆用两角和的正弦公式：

sinα+π4+sinβ+π4=7224.

（1）-（2）并逆用两角差的正弦公式：

sinα-π4+sinβ-π4=224.

想法七 （1）×3-（2）×4：3sinα-4cosα+3sinβ-4cosβ=0，

sin（α-θ）+sin（β-θ）=0θ=arctg43，

即2sinα+β-2θ2·cosα-β2=0.

∴α=2kπ+π+β（与已知矛盾舍去）或α+β=2kπ+2θ（k∈Z）.

则sin（α+β）、cos（α+β）、tg（α+β）均可求.

开放型题目的引入，可以引导学生从不同角度来思考，不仅仅思考条件本身，而且要思考条件之间的关系.要根据条件运用各种综合变换手段来处理信息、探索结论，有利于思维起点灵活性的培养，也有利于孜孜不倦的钻研精神和创造力的培养.

总之，在平时的教学中，要多注意各种基础知识间的联系与区别，注意积累各种基本的解题技能与技巧，不断地对零散的知识进行整合，对各种方法进行归纳，这样才能在解题时灵活调动相关知识、方法，迅速准确地解题.