陈颂
【摘要】 在数学的解题过程中,我们经常需要对一些公式或者概念做一些变形。比如将等式变形,不等式变形,根据概念变形等等。本文针对这三个方面做一些讨论,对数学中几种题型的解题思路做一个总结,希望会对在迷茫中的学生们有一个启发作用。
【关键词】 等式 不等式 变形
在数学的解题过程中,我们经常需要对一些公式或者概念做一些变形。比如将等式变形,不等式变形,根据概念变形等等。本文针对这三个方面做一些讨论,对数学中几种题型的解题思路做一个总结,希望会对在迷茫中的学生们有一个启发作用。
一、等式变形
例如:sin2α+cos2α=1的变形
我们知道sin2α+cos2α=1,是三角函數中一个非常基础而且重要的公式。许多相关公式也可以与这个公式相互照应。
例如,由公式sinα=yr,cosα=xr,(知识点:角的概念的推广)我们把此代入公式得到:
(yr)2+(xr)2=1,
即,x2+y2=r2此式由勾股定理得出。
又若在一个直角三角形中,我们有sinα=ac,cosα=bc,则代入公式有
(ac)2+(bc)2=1
即a2+b2=c2,即为勾股定理。
二、不等式变形
例如:不等式a2+b2≥2ab的变形。
以上不等式可以变形为:a2+b2-2ab≥0,由完全平方公式得:(a-b)2≥0,此式显然成立。故原不等式成立。
我们再将公式变形得:a2+b22≥ab,此式不太常用,但是我们可以熟悉一下这个形式。
我们将原式中的a换为a,将b换为b,得(a)2+(b)2≥2a·b,即为a+b≥2ab,也即为a+b2≥ab,此式较为常用。如果我们忘记了公式的写法,就可以根据以上思路进行思考,从而得出正确结论。
我们将原公式两边都加上a2+b2,可以得到2(a2+b2)≥a2+b2+2ab,即2(a2+b2)≥(a+b)2,此式也会在一些题中出现。
由此可见,数学中的知识点和公式都是有联系的,熟练掌握一种公式,我们可以触类旁通,得到类似的一组公式。在我们理解和总结其他知识点的时候,也可以进行相似的思考。
三、根据概念变形
根据概念变形要求我们有熟练掌握所学知识点的能力,能够把一些描述性的话语转换成为数学语言,这也是我们解一些大题时所需要掌握的内容。例如:在数学中有一些折叠图形的题,那么折叠重合的部分一定可以全等。如果重合的部分是三角形,我们就可以用到三角形全等相关的知识。由于篇幅局限,本文略去相关例题,读者可以自行寻找。
以上仅据有限的知识点展开讨论,同学们还可以寻找其他知识点之间的关系,以及公式、不等式、概念的变形,而把数学越学越活,越学越好。