为减法和除法鸣“冤”

雷有利

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2016）18-0114-02

多的来，我一直在思考两个问题，一个是减法是建立在加法的基础上吗？另一个则是除法是建立在乘法的基础上吗？从三十多年的教学实践上看，这两个问题的答案都应该是否定的。

减，本义：减少，由全体中去掉一部分，减，缩也——《说文》；减，少也——《广雅》。减法，《现代汉语词典》解释为：数学中的一种基本的运算方法，最简单的是数的减法，即从一个数中去掉另一个数的计算方法。

从教学实践上看，无论是家长还是教师，都是教学生5中去掉了3，用减法5-3，也许你会问，5中去掉一个数后得3，求这个数，你会怎么教？那你可以给学生讲：5中去掉得的这个数后，会得什么数？学生一定会说去掉得的这个数后会得到原来去掉的那个数，所以仍然可以理解为从一个数中去掉另一个数。

除，有去掉、改变、不计算在内的意思。除法，《现代汉语词典》解释为：“数学中的一种运算方法，最简单的是数的除法，即从一个数中连减相同的数的简便算法，如從10中减去相同的数2，总共可以减去5个，就是10除以2，或者说是2除10”。但各种版本的教材很少有用减法来定义除法的，如人教社义教版《小学数学教科书》在二年级用“平均分”和“包含除”两种形式介绍并引入除法，在四年级给除法下了一个“准确”的定义，那就是“已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算”；而人教社课标版在第一、二学段均未对除法及其他运算方法给出完整的定义，但在除法意义教学方面有重大突破，首先，是介绍“同样多”以及“平均分”，其次，以“乘船”以及“拿筷子”渗透“包含除”，最后，在《用2-6的乘法口诀求商》时，以小猴分桃为例，较为详细地用减法阐述除法的真正含义，这是一个重大进步。

有人说“平均分”与“包含除”是除法的两种不同的表现形式，但我认为这完全可以归为一种形式，那就是“求一个数里有多少个另一个数，用除法计算”。如“将15个桃平均放在3个盘子里，每个盘子放几个？”从学生的实际操作上看，先拿出3个桃将每个盘里放上一个，再拿出3个桃给每个盘里放上一个，又拿出3个桃给每个盘里放上一个……直至将15个桃分完。这难道不是求15里有多少个3吗？写成减法算式：15-3-3-3-3-3=0，每个盘里放上了5个一，即5个，所以，将15个桃平均放在3个盘里，每个盘子放5个。

在一年级下册（未学乘、除法时），我曾经给学生出示过一道开放题：8里面有几个2，怎么计算？全班50个学生中，写成8=2+2+2+2的占18%；写成2+2+2+2=8的占6%；写成8-2-2-2-2=0的占52%；写成2祝？）=8的占4%；写成8？=4的占6%，写成8鳎？）=2的占2%；有12%的学生不能动笔，后来发现写成乘法算式和除法算式的学生都学过乘、除有关的知识。我们班有一个好的习惯，那就是学生善于动手操作，我随机叫个写成8-2-2-2-2=0的学生说说理由：“我先拿了8根小棒放在桌面上，每次拿走2根，一共拿出了4个2根，所以，根据这个操作过程，算式应该是8-2-2-2-2=0（根），所以，8里面有4个2。到二年级下册学过《除法的初步认识》后，同样的问题我又抛给了学生，大部分学生写成了8？=4（个），我特地抽了一个一年前写成减法算式的学生，一年前你写的减法算式，现在为什么要写成除法算式？他的回答是：“写成8？=4比写成8-2-2-2-2=0简便得多，所以，我认为除法是减数相同的减法的简便算法，跟乘法是加数相同的加法的简便算法一个道理”。

人教社义教版小学数学教材把减法定义为：“已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的计算”。这样学生会普遍认为：先有和，后有差；先有加，再有减。这样就把加、减关系定义成了从属关系，而非并列关系。难怪不少学生在解“10只鸟飞走了3只，还剩几只？”时，写成10=3+（7），并很有道理地解释为：“因为减法的定义是由加法得来的，所以所有减法内容都可以写成加法的形式”。如果是这样，世界就只有生，而没有死；只有正，而没有负；只有合，而没有分。显然，这些现象都是不存在的，所以，加减法的关系应该是“平行”的，而不是从属的。

如何正确认识四则运算间的关系，是当前小学数学教学值得深思的一个问题。首先，加法和减法是一切运算的起源，所有高级运算以及信息技术原理都是在它们的基础上建立起来的，若没有这两种运算，则其他的所有运算都不会存在，所以，有运算“第一级”之称，又称“基级”。两者的关系可概括为“既相互依赖，又互相独立；既相互对立，又互相统一”，是“基本运算”这一事物的两个方面。其次，乘法和除法在运算大家庭中处于“承上启下“的地位。我们知道加法的简算创造了乘法，乘法的简算创造了乘方等；减法的简算创造了除法，除法的简算创造了负指数幂等。

加法和减法是互逆运算，从数量关系的角度讲，已知分量与分量求总量，用加法计算；已知总量与分量求另一分量，用减法计算；从计算的本质特征上看，求加数用减法计算，求被减数用加法计算。乘法和除法同样互为逆运算，从数量关系的角度讲，已知每份数与份数求总数，用乘法计算；已知总数与每份数（或份数）求份数（或每份数），用除法计算；从计算的本质特征上看，求乘数（或因数）用除法计算，求被除数用乘法计算，如：一个因数=积髁硪桓鲆蚴怀？商壮K脑蛟怂愕目捎梅叫瓮技右悦枋觯？

从上图可知：除法是特殊减法的简便算法，减法是除法的原始算法；同理，乘法是特殊加法的简便算法，加法是乘法的原始算法；加法、减法为第一级运算，是所有运算的“发源地”；乘法、除法为第二级运算，是更高级运算的“跳板”。至于减法与乘法以及加法与除法的关系请编辑与同行赐教。

我想，教师在教学活动中，既不能迷信教材，也不能脱离教材，要适当地改革教材，并创造性地使用教材，要敢于向“权威”说“No”，争取做“研究型”或“学者型”教师。