从一道课本例题出发谈条件概率与积事件概率的区别

赖雪洪 刘熹

条件概率与积事件的概率这两个概念是概率教学的难点，如果不能从本质上把它们搞清楚，那么就会导致在实际应用中把积事件的概率错误地当作条件概率的问题，有时还不容易发现错误。究其原因，就是没有把条件概率与积事件概率的概念弄清楚。

笔者在讲述人教版高中数学选修2-3条件概率内容时，对P53例2讲解时发现，学生对条件概率与积事件概率很难区分。此题为：

一张储蓄卡的密码有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个。某人在银行自动提款机上取钱时忘记了密码的最后一位数字，求：任意按最后一位数字，第一次按错，第二次按对的概率。

有不少学生的解法如下：

记={第i次按对密码}（i=1，2，3），则P（|）==。分析造成错误的原因主要是对条件概率和积事件概率的区别没有弄清楚。

例题中的条件是连续按两次，相当于从0～9的10个数字中先后取出两个数字，这样样本空间Ω的基本事件总数为10×10=100个，就按对和按错而言，有如下三种情况：（错，错），（错，对），（对，错）。其中第一类有9×8=72种结果，第二类有9×1=9种结果，第三类有1×9=9种结果。第二次才按对是上面三类情况中的第二类，也就是说第一次按错并不是试验前已经发生的，而是与第二次按对是同时发生的。因此，它不是条件概率，而是积事件概率。而“第一次按错的条件下，第二次按对”的概率，这里是指在试验开始前就已经知道“第一次按错”的这个条件。这样样本空间就由{（错，错），（错，对），（对，错）}三类缩小为{（错，错），（错，对）}两类，因此这里所求的概率是在第一次按错后剩下的数字中再按对的概率，即这里所求的概率是附加了条件的事件的概率。根据条件概率的定义，求“在第一次按错的条件下，第二次按对”的概率才为条件概率。

因此，“第二次按对”与“第一次按错的条件下，第二次按对”的概率是有本质区别的，前者属于积事件概率，后者属于条件概率。所以这道题的正确解法为P（）==。

为在实际问题中快速准确地判定条件概率与积事件概率，一定要让学生分清随机试验中的固有条件和附加条件。积事件概率是随机事件在固有条件下同时发生的概率，条件概率是在一定附加条件之下发生的事件的概率。而从广义上讲，任何概率都是条件概率，因为任何事件都产生于一定条件下的试验或观察，即任何试验都有其固有条件，附加条件是指除试验条件之外的附加信息，这种附加信息通常表现为“已知某某事件发生了”。因此，此题中“第一次按错，第二次按对”显然是“随机按密码的最后一位数字”这个试验的固有条件，而不是将“第一次按错”作为“第二次按对”的附加条件。

再例如：10个零件中有8个正品，2个次品，从中任取一个，如果每次取出的是次品，不再放回，再任取一个零件直到取得正品为止。求取得正品前，取出次品1次的概率。

此题较普遍的错误解法是P（第一次取得次品，第二次取得正品）=。这种错误的解法还是把P（第一次取得次品，第二次取得正品）=P（第一次取得次品）·P（第二次取得正品|第一次取得次品）=，错误地理解为P（第二次取得正品|第一次取得次品）=。此题中的固有条件为“直到取得正品为止”;第一次取得次品，第二次取得正品是同时发生的;第一次取得次品不是第二次取得正品的附加条件。