猜想—转化—验证培养模型思想

“平行四边形的面积”是西师版数学五年级上册的内容，是学生学习了面积和面积单位概念，掌握长方形和正方形面积的计算，认识了平行四边形基本特征基础上进行的学习。在本单元，学生先依据“转化”的数学思想方法探究平行四边形的面积计算公式模型，并利用该模型解决生活中的现实问题，再根据这种建模思想及方法学习后面的三角形、梯形的面积。

在教学过程中，让学生经历观察、猜想、操作、讨论、分析、推理等数学活动过程，体会“等积变形”、“转化”等数学思想方法，发展学生几何直观能力，培养模型思想。于是我在让学生探索新知时做了如下尝试。

生：老师，平行四边形有没有面积计算公式呢？

师：这个问题问得很好！那么平行四边形的面积公式是什么呢？下面请同学们继续观察这两个图形（方格图中的等底等高的长方形和平行四边形），除了面积相等外，它们之间还有什么关系呢？

生1：平行四边形的底和长方形的长都是4厘米，平行四边形的高和长方形的宽都是2厘米，长方形的面积和平行四边形的面积都是8平方厘米。

生2：平行四边形的底与长方形的长相等，高与长方形的宽相等，它们的面积也是相等的。

师：大家同意吗？

生（齐）：同意！

师：那么谁能根据这些信息大胆地猜想一下，平行四边形面积的计算方法？

生1（猜想1）：长方形的面积等于长乘宽，也就是相邻两边的乘积，所以我认为平行四边形的面积公式也应该是相邻两边的乘积。

（板书：平行四边形的面积=相邻两边的乘积）

师：这个猜想对不对呢？我们一起来验证。

（教师用一个活动的平行四边形演示验证。）

师：看来，这个猜想不正确（在公式的等号上画上斜杠）。那谁还有不同的猜想呢？

生2（猜想2）：我认为平行四边形的面积等于底乘高。

师：能说说你的理由？

生2：因为长方形也属于平行四边形，它的长就是平行四边形的底，宽就是平行四边形的高，因此我认为平行四边形的面积等于底乘高。

师：我理解你的意思了，长方形是一种特殊的平行四边形，由此你根据长方形的面积公式得出平行四边形的面积公式，这是由特殊情况推出一般情况，想法很不错。

生3：我也认为平行四边形的面积等于底乘高。

师：谈谈你的看法。

生3：刚才对比时我发现长方形的长、宽和平行四边形的底、高相等时，它们的面积也相等。而长方形的面积等于长乘宽，所以我想平行四边形的面积等于底乘高。

（板书：平行四边形的面积=底×高）

师：看来同学们比较同意这个猜想，但这个猜想到底对不对呢（等号上方画上问号）？猜想终归是猜想，这需要我们用科学的方法加以证明。下面请同学们借助手中的长方形卡片、平行四边形卡片（两张卡片底、高相同）、剪刀等学具分小组想办法验证这个猜想。（小组合作，教师提出相关要求。）

师：谁愿意把你们小组的验证方法说给大家听听？

生1：我们是把平行四边形变成长方形来验证的。

师：为什么这样想？

生1：因为我们刚才发现当平行四边形的底和长方形的长相等，高和宽相等时，这两个图形的面积相等。

师：接着说。

生1：我们先从平行四边形的一个顶点画一条高，再沿高剪出一个直角三角形和一个直角梯形，通过移动拼成一个长方形。

师：哦，我明白你们的想法了，你们利用了转化的方法，也就是（师课件演示学生的方法）沿着平行四边形的一条高剪开，把平行四边形转化成一个长方形。那谁能说说，平行四边形转化成长方形后，什么变了？什么没变？

生（齐）：形状变了，面积没变。

师：非常正确！转化后，长方形的长、宽分别与平行四边形的底、高有什么关系？

生1：长方形的长与平行四边形的底相等，宽与原来平行四边形的高相等，因为长方形的面积=长×宽，所以平行四边形的面积=底×高。

师：有不同意见吗？

生2：我们的方法和第二组同学的差不多。我们是这样验证的：我们也是画出平行四边形的一条高，沿这条高把它剪成两个直角梯形，把一个直角梯形移到另一边，正好拼成一个长方形。

师：老师听明白了，你们是这样做的……（多媒体演示学生的操作方法）。

生3：我们小组是把长方形与平行四边形重叠起来比，发现平行四边形一边多了一个小三角形，另一边又少了一个三角形。

师：把你们的做法给大家看一看。（生一边演示一边说明方法。）

师：你们的方法和第二组有很多相似之处，这两个小三角形你们有什么发现？

生3：我们发现2个三角形一样大，并且是直角三角形。

师：这两个三角形一样大，你们就把其中的一个三角形补在另一个三角形旁边。

（用多媒体演示重叠、剪拼过程。）

师：你们有什么发现？

生（齐）：拼成了一个长方形。

师：大家听明白了吗？

生（齐）：听明白了。

师：刚才几个小组的思路尽管有所不同，但割补转化的方法都对。实际上都是把平行四边形沿一条高剪开，将平行四边形转化成一个长方形来进行验证，这样我们就验证了猜想，平行四边形的面积=底×高（擦去等号上的“？”）

【教学反思】

“模型思想”是《数学课程标准（2011年版）》提出的十大核心概念之一，也是小学数学三大基本思想之一，这充分说明了模型思想在数学教学中的重要地位，同时也给数学教学提出了新的要求与挑战。本节课我充分利用教材上的素材来探索平行四边形面积计算公式，在学习过程中，以长方形面积计算为基础，以图形内在联系为线索，利用“重叠”、“转化”等方法，通过看一看、想一想、做一做、说一说，让学生经历观察、猜想、实验、推理、验证等感知活动，在实践中推导出平行四边形面积计算的公式，培养学生的模型思想及建模、用模能力。

在以旧引新的过程中，学生的好奇心和积极性得到了充分的调动。我及时引导，一是让学生明白长方形与平行四边形之间的异同；二是通过让学生用数方格的方法感知平行四边形的底、高、面积与长方形的长、宽、面积之间的关系。由此把学生引上转化的思路上去，从而提出解决问题的猜想。

小组合作，验证猜想。首先小组讨论，提出解决方法，再通过动手比一比，画一画，剪一剪，拼一拼等操作，直观地验证猜想。与此同时也培养了学生的创新潜能，激发学生的学习兴趣，学生的主体意识和合作精神得到加强。

学生通过实际操作，利用多种方法直观形象地证明，平行四边形剪拼成长方形后，只是形状发生了变化而面积没有变化，剪拼后平行四边形的底等于长方形的长，高等于长方形的宽。这样学生自己就明白了平行四边形的面积等于“底乘高”的道理，从而推导出“平行四边形的面积=底×高”。通过教学，向学生渗透了猜想—转化—验证的数学思想方法，极大地激发了学生学习数学的兴趣，培养了学生的建模思想和建模能力。

作者简介：

肖秀芳，女，1974年出生，重庆璧山人，小学高级教师，擅长“建模教学”研究，现工作单位：重庆市璧山区北街小学校。

注：本文系重庆市教育科学“十二五”2012年度规化课题“小学数学建模教学的行动研究”研究成果。