谈三角形内角与一外角角平分线夹角与顶角关系的求法

米雪 王立波

【摘要】 其实对于数学中的几何问题，往往一道题总是存在一题多解的现象. 对于现在的初中教学，应当教会学生用一题多解的方法解决几何问题，这样不仅仅可以发散学生的数学思维，更能为以后的综合分析数学问题打下良好的基础. 所以我对任意三角形的一个内角与一个外角角平分线夹角度数的求法做一个一题多解的分析.

【关键词】 内角角平分线；外角角平分线；夹角；一题多解

在复习课中引入一题多解，非常有利于学生上述能力的培养. 因为在复习课中，学生已具备一定的数学知识与技能，具有一定的分析、解决问题的能力. 通过一题多解，可以加深学生对题目的形式、组成元素以及题目隐含的逻辑（因果）关系的认识，从而培养学生的数学洞察力和推理能力，拓宽解题思路，提高解题的灵活性.

例 已知△ABC，BE是∠ABC的角平分线，CF是∠ACB的角平分线，CE是△ABC外角∠ACD的角平分线，BG是△ABC外角∠HBC的角平分线，CG是△ABC外角∠ICB的平分线，求平分线夹角∠BFC，∠E，∠BGC与顶角∠A的度数关系.

方法一：常规求法

因为要探究三角形内角角平分线与内角角平分线的夹角、内角角平分线与外角角平分线夹角、外角角平分线与外角角平分线夹角与顶角的关系，也就是要用顶角表示这几个夹角，就要把它们用相关的角联系起来，这样就可以经过推导得到我们要的所求，就导出了角平分线夹角与顶角之间的关系.

（1）∠BFC = 90° + ∠A

理由：

∵ BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，

∴ ∠FBC = ∠ABC，

∠FCB = ∠ACB.

∵ 在△FBC中，∠BFC = 180° - （∠FBC + ∠FCB），

∴ ∠BFC = 180° - （ ∠ABC + ∠ACB）

= 180° - （∠ABC + ∠ACB）

= 180° - （180° - ∠A）

= 180° - 90° + ∠A

= 90° + ∠A.

（2）∠E = ∠A

理由：

∵ BF平分∠ABC，CE平分∠ACD，

∴ ∠FBC = ∠ABC，∠ACE = ∠ACD，

∵在△BCE中，∠E = ∠ECD - ∠FBC，

∴ ∠E = ∠ACD - ∠ABC

= （∠ACD-∠ABC）

= ∠A.

（3）∠BGC = 90° - ∠A

理由：

∵BG平分∠HBC，CG平分∠ICB，

∴∠GBC = ∠HBC，∠GCB = ∠ICB.

∵在△BGC中，∠G = 180° - （∠GBC + ∠GCB），

∴∠G = 180° - （ ∠HBC + ∠ICB）

= 180° - （∠HBC + ∠ICB）

= 180° - [（180° - ∠ABC） + （180°-∠ACB）]

= 180° - [360° - （∠ABC + ∠ACB）]

= 180° - （360° - 180° + ∠A）

= 90° - ∠A.

普遍的方法推导起来，学生接受得比较慢，而且理解起来也很难，再次出现类型题时，学生还是一头雾水找不到头绪，而我采用下列方法讲过之后，感觉学生在理解上有了明显的进步，而且应用起来也灵活自如.

方法二：简便求解

由普通方法推导出∠E与顶角∠A的关系：

∠E = ∠A，然后利用简便方法求解∠BFC，∠G与顶角∠A的关系.

∵ CF、CE分别平分∠ACB，∠ACD，

∴ ∠ACF = ∠ACB，

∠ECA = ∠ACD，

又∵ ∠ACB + ∠ACD = 180°，

∴ ∠FCA + ∠ACE = × 180° = 90°，

即∠FCE = 90°.

同理∠EBG = 90°.

∵ ∠BFC = ∠FCE + ∠E，

∴ ∠BFC = 90° + ∠A.

∵ ∠G = 90° - ∠E，

∴ ∠G = 90° - ∠A.

利用三角形内角和，外角定理求解另外两个夹角与顶角的关系，使原本复杂的问题变得简单化，学生理解起来也很容易，应用起来也很熟练，这就说明，在今后的教学中要适当地发现新的方法、简便方法，教会学生用简捷的思想分析问题、解决问题，为孩子将来的成长奠定基础. 我自己也会努力在这方面发展，培养优秀、出色的孩子.