请多一些通法，少一些特技

孔娟

【摘要】 “数学通法”实际上就是经过归纳得出的解决一类数学问题通用的方法. 在浩瀚无边的数学题海中，如果把题都归纳成类，然后每类都有若干种解决问题的通用方法，那么我们的数学学习就是“心中有数”的学习，这样才能提高学生的解题能力和解题效率. 本文通过解题通法中比较常见的消元法举例，探讨了提高学生解题能力的基本途径.

【关键词】 数学教学；解题通法；基本途径

高中数学解题教学是数学课程教学的重要组成部分，数学解题方法一直是教师和学生关注的焦点，解题方法的优劣某种程度上决定着解题的速度与效率. 部分老师 标新立异，过分追求试题解法的“独特新颖、多样快捷”，而忽视了对基础知识的梳理和对基本思想方法的训练，舍本求末，让人感觉有“矫揉造作”的痕迹. 而数学解题通法是研究数学乃至解决数学问题的有力工具，在解决数学问题时重视通规通法，有利于强化数学基础知识，发展数学能力，培养良好的思维品质. 注重和加强数学解题中“通法”的训练，是提高学生解题能力的基本途径.

消元法是解题通法中比较常见的一种方法，其以减少变量为主要特征，也是学生容易接受的基本方法. 而部分教师在实际教学中却经常忽视这一点，关注的却是一些自认为很“高大上”的技巧性解法，教学效果没有想象的那么好.

在进行对数运算教学中经常会遇到这样的一道题：

例1 计算lg25 + lg2lg50 + （lg2）2

解法一 原式 = lg52 + lg2（lg5 + lg10） + （lg2）2

= 2lg5 + lg2lg5 + lg2 + （lg2）2

= lg2（lg5 + lg2） + 2lg5 + lg2

= lg2 + 2lg5 + lg2

= 2（lg2 + lg5）

= 2lg10

= 2

你在教学中是不是就这么给你的学生讲解的呢？解法过程的第三步你怎么上来就想到提取lg2？你的学生知道吗？即使知道，下次也是提取lg2吗？

当我这样很轻松地把这道题讲完后，学生的作业却让我很吃惊！作业中有两种结果：

（1）用课上老师的方法，很多学生都是半途而废了；

（2）做出来的学生却不是用的这种方法. 这值得我们反思.

解法二 原式 = lg52 + lg2（lg5 + lg10） + （lg2）2

= 2lg5 + lg2（lg5 + 1） + （lg2）2

= 2（1 - lg2） + lg2（2 - lg2） + （lg2）2

= 2-2lg2 + 2lg2 - （lg2）2 + （lg2）2

= 2

很显然，学生是用了等式：lg2 + lg5 = 1，即lg5 = 1 - lg2进行了消元，可见这种消元的方法是学生容易想到和接受的，却被我们忽视了，说明最适合学生的方法才是好方法！

例2 求值：tan21° + lan24° + tan21°tan24°

解法一 原式 = 1 - tan21°tan24° + tan21°tan24°

= 1

解法二 看见21°，24°学生容易想到特殊角45°，利用24° = 45° - 21°进行消元.

原式 = tan21° + tan（45° - 21°） + tan21°tan（45° - 21°）

= tan21° + tan（45° - 21°）[1 + tan21°]

= tan21° + ·[1 + tan21°]

= tan21° + 1 - tan21°

= 1

点评 解法一步骤很少，解题速度很快，是对公式tan（α + β） = 的变形使用，学生不容易想到；解法二，过程稍微烦琐了点，但是是通解通法，是公式的直接使用. 教学时，教师应注重因材施教.

已知实数x，y，z满足2x = 3y = 6z，求证： + =

解法一 令2x = 3y = 6z = k，

解得

x = log2k，y = log3k，z = log6k，

+ = + = logk2 + logk3 = logk6 = = ，所以，原式得证.

解法二 由2x = 3y = 6z得，x = log26z = zlog26，y = log26z = zlog26，则 + = + = + = ，得证！

变题 已知实数x，y，z满足2x = 3y，4y = 6z，求实数x，y，z满足的等量关系为 ，你还能用方法一来解决吗？

点评 学生第一次看见解法一时，感觉这方法太好了，增加一个变量k，所有问题迎刃而解，题中本来就含有三个变量x，y，z了，一般的学生是不敢再设变量了.

而解法二是采用了消元的方法，出现三个变量时，用其中一个变量来表示另外两个变量是较为普通的做法.

以上三个实例是我在教学中的一点心得体会. 如果我们在教学中能从学生的实际出发，站在学生角度去思考一下问题，会对教学有很大帮助. 一味地拔高不利于学生基础的夯实，会让一批学生害怕数学. 在教学中请您多一些通法的教学，少一些特技的展示，您将和您的学生走得更近！