直线与双曲线的位置关系

冯赟

直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何中的重要内容，其中直线与双曲线的位置关系尤其复杂，同学们难以处理，本文针对直线与双曲线的位置关系的常规题型进行了如下的研究.

[过已知点的直线与双曲线的位置关系]

在平面直角坐标系中找出已知点的位置，然后再分析过已知点的直线中满足题意的情况，特别要注意几个特殊位置，与坐标轴垂直、与渐近线平行或垂直、倾斜角小于渐近线的倾斜角、倾斜角大于渐近线的倾斜角.

例1 过点[P（7，5）]与双曲线[x27-y225=1]有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程.

解法一 若直线的斜率不存在时，则[x=7]，此时仅有一个交点[（7，0）]，满足条件；

若直线的斜率存在时，设直线的方程为[y-5=k（x-7）]，则[y=kx+5-k7]，

联立[y=kx+5-k7x27-y225=1]

[?（25-7k2）x2-14k（5-k7）x-7×（5-k7）2-175=0，]

当[k=577]时方程无解，不满足条件；

当[k=-577]时方程有一解，满足条件；

当[k≠±577]时，令[Δ=0]，解得[k]无解.

∴ 满足条件的直线有两条：[x=7]和[y=-577x-10].

解法二 P点在双曲线的渐近线上，过P点与双曲线只有一个公共点的直线有两条，一条是x轴的垂线，一条是平行于渐近线的直线，再根据相关条件解答（过程略，下同）.

例2 过点P（1，1）与双曲线[x29-y216=1]只有一个公共点的直线共有 条.

解法一 若直线的斜率不存在，直线的方程为：[x=1]，与双曲线无公共点，舍去；

若直线的斜率存在， 设直线的方程为：[y-1=k（x-1）]，

∴ [y-1=k（x-1）x29-y216=1]

[?（16-9k2）x2+18k（k-1）x-9k2+18k-153=0]，

当[16-9k2=0]，即[k=±43]时，方程有惟一解，满足题意；

当[16-9k2≠0]，即[k≠±43]时，[Δ=0]得到[k]一定有两解，满足题意.

综合知，符合题意的直线有四条.

解法二 P点在双曲线外且不在渐近线上，过P点与双曲线只有一个公共点的情况有四种：与两条渐近线分别平行、与双曲线相切.

结论 已知双曲线[x2a2-y2b2=1]，过点P（m，n）与双曲线只有一个公共点的直线有几条？与该点的位置有何关系？

若点P（m，n）在双曲线上，与双曲线有一个公共点的直线有三条；

若点P（m，n）在双曲线内（含焦点），与双曲线有一个公共点的直线有两条；

若点P（m，n）在双曲线外，

（1）且若在渐近线上的点外，与双曲线有一个公共点的直线有四条；

（2）且若在渐近线（除原点）上，与双曲线有一个公共点的直线有两条；

（3）且若在原点，与双曲线有一个公共点的直线不存在.

[根据过一个定点的直线与双曲线的位置关系求斜率或倾斜角的取值范围]

分析一条已知直线与双曲线的位置关系，然后再通过这个关系去分析变量的取值范围，这种题型在椭圆中出现很多，但是在双曲线中问题会变复杂，因为双曲线出现了渐近线，所以要考虑与渐近线平行或重合的情况.

例3 已知直线[y=kx+1]与双曲线[3x2-y2=1]，求[k]为何值时，直线与双曲线只有一个公共点？

解法一 直线过定点（0，1），该点在双曲线外，且不在渐近线上，所以与双曲线有一个公共点的直线有四条.

解法二 [y=kx+1，3x2-y2=1]

[?3x2-kx+12=1?3-k2x2-2kx-2=0]，

若[3-k2=0，]即[k=±3]，此时直线与双曲线相交于一个公共点；

若[3-k2≠0，Δ=4k2+4×2×3-k2=-4k2+24=0]，即[k=±6]，此时直线与双曲线相切于一点.

∴[k=±3]或[k=±6]时，直线与双曲线只有一个公共点.

例4 双曲线[x2-y2=1]的左焦点为[F1]，过点[F1]的直线[m]与双曲线的左支有且只有一个交点，则直线[m]倾斜角的取值范围是 .

解法一 显然直线的斜率存在，设直线方程为：[y=k（x+2）]，

∴[y=k（x+2），x2-y2=1?（k2-1）x2+22k2x+2k2+1=0]，

当[k2-1=0?k=±1]时，[x=-324]，惟一交点且在左支上，成立；

当[k2-1≠0?k≠±1]时，[Δ>0]恒成立，不满足题意.

综合知，[k=±1]，此时[α=45°]或[α=135°].

解法二 焦点在双曲线内，过该点与双曲线左支只有一个公共点的情况就是分别于两条渐近线平行的时候.

结论 设直线[l]：[y=kx+m（k≠0）]，

双曲线：[x2a2-y2b2=1]，

[?（b2-a2k2）x2+2kma2x-a2（m2+b2）=0].

（1）二次项系数为0时，直线与双曲线的渐近线平行或重合. 若重合，无公共点；若平行，有一个公共点.

（2）二次项系数不为0时，上式为一元二次方程.

[Δ]>0[?]直线与双曲线有两个公共点；

[Δ]<0[?]直线与双曲线无公共点；

[Δ]=0[?]直线与双曲线有一个公共点.

[直线与双曲线交于两点的不同情况中分析参数的取值范围]

对于直线与椭圆交于两点的情况，同学们很好掌握，只需要将直线与方程联立，化简后根据二次项系数不为0，同时[Δ>0]即可. 但是在直线与双曲线中，情况就会复杂很多，它需要分为两个交点在同在左支、同在右支或者左右支各一个讨论.

例5 直线[y=kx+2]与双曲线[x2-y2=6]的右支交于两个不同的点，则实数[k]取值范围是（ ）

A. [-153，153] B. [0，153]

C. [-153，0] D. [-153，-1]

分析 在直线与椭圆的位置关系中，同学们处理直线与椭圆有两个公共点时非常轻松，类比迁移到直线与双曲线的位置关系的时候很容易出错. 直线与双曲线若有两个公共点的情况，有可能两个公共点在同一支上，也有可能在不同支上，这时除了考虑[Δ>0]外，还有考虑韦达定理.

解 联立 [y=kx+2x2-y2=6?k2-1x2+4kx+10=0]

[?k2-1≠0Δ>0x1x2>0x1+x2>0?-153答案 D

结论 设直线[l]：[y=kx+m（k≠0）]，

双曲线：[x2a2-y2b2=1]相交于两点时：

联立[y=kx+mx2a2-y2b2=1]

[?（b2-a2k2）x2+2kma2x-a2（m2+b2）=0].

若两个公共点在同一支上：

（1）若都在右支上[b2-a2k2≠0，Δ>0，x1·x2>0，x1+x2>0，]

（2）若都在左支上[b2-a2k2≠0，Δ>0，x1·x2>0，x1+x2<0，]

若两个公共点在不同支上：[b2-a2k2≠0，Δ>0，x1·x2<0，]

[练习]

1.已知过点[P（1，2）]的直线[l]与双曲线[C： 2x2-y2][=2]有且只有一个交点，则[l]的斜率[k]的取值是 .

2.双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为[l1，l2]，经过右焦点F垂直于[l1]的直线分别交[l1，l2]于A，B两点.已知[OA，AB，OB]成等差数列，且[BF]与[FA]同向.

[x][B][F][A][l2][l1][O][y]

（1）求双曲线的离心率；

（2）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程.

[参考答案]

1.设直线[l]的方程为[y-2=k（x-1）]，

代入双曲线[C]的方程，整理得，

[（2-k2）x2+2（k2-2k）x-k2+4k-6=0（?）].

（1）当[2-k2=0，]即[k=±2]时，直线与双曲线的渐近线平行，此时只有一个交点.

（2）当[2-k2≠0]时，令[Δ=0]得，[k=32.] 此时只有一个公共点.

（3）又点[（1，2）]与双曲线的右顶点[（1，0）]在直线[x=1]上，而[x=1]为双曲线的一条切线.

∴当[k]不存在时，直线与双曲线只有一个公共点.

综上所述，当[k=±2]或[k=32]或[k]不存在时，[l]与[C]只有一个交点.

2.（1）设双曲线方程为[x2a2-y2b2=1a>0，b>0]，[OA=m-d]，[AB=m]，[OB=m+d]，

由勾股定理可得：

[m-d2+m2=m+d2]，

解得[d=m4]，

[tan∠AOF=ba]，

[tan∠AOB=tan2∠AOF=ABOA=43]，

由倍角公式得

[tan2∠AOF=2tan∠AOF1-tan2∠AOF][=2ba1-ba2=43].

解得[ba=12]，[a=2b]，[c=5b]，则离心率[e=52].

（2）设过点F的直线方程为[y=-abx-c]，

与双曲线方程[x2a2-y2b2=1]联立，

将[a=2b]，[c=5b]代入，化简有[x2-x+21=0]，

则[x1+x2=325b15]，[x1x2=28b25]，

AB被双曲线所截得的线段长为

[4=1+ab2x1-x2=1+ab2x1+x22-4x1x2]，

将上式代入，有：[4=5325b152-4?28b25]

解得：[b=3]，则有[a=6]，

最后求得双曲线方程为[x236-y29=1].