椭圆中面积的最值问题

陈开懋 幸芹

椭圆中面积的最值问题，一般分为两种情况：一是题目直接考查某直线或某图形与已知椭圆所围成阴影部分的面积；二是考查椭圆中的其他问题，但可以转化为该椭圆中某特定面积问题加以计算解答. 解决此类问题的常规方法是将直线方程与椭圆方程联立消去一个变量后利用韦达定理以及点到直线距离公式建立目标函数，将面积问题转化为求函数最值问题，应熟练掌握.

[椭圆中的三角形面积最值]

例1 已知椭圆C：[x24+y23=1]，若经过椭圆右焦点F2作直线l交椭圆于A，B两点，求△ABF1面积的最大值.

解析 设直线AB的方程为[x=my+1][m∈R]，

把[x=my+1]代入[x24+y23=1]得，

[（3m2+4）y2+6my-9=0]，

显然[Δ>0]，设A[x1，y1]，B[x2，y2]，

则[S=12×2×y1-y2=][y1-y2]，

又[y1+y2=-6m3m2+4]，[y1?y2=-93m2+4]，

[（y1-y2）2=][（y1+y2）2-4][y1?y2=483m2+3（3m2+4）2]，

令[t=3+3m2]，则[t≥3，][（y1-y2）2=48t+1t+2]，

由于函数[y=t+1t]在[3，+∞]上单调递增，

所以[t+1t≥103]，故[（y1-y2）2≤9]，即[S≤3]，

故△ABF1面积的最大值等于3.

例2 已知椭圆[x22+y24=1]，过椭圆上的点P（1，[2]）作倾斜角互补的两条直线PA，PB分别交椭圆于A，B两点，求△PAB面积的最大值.

解析 设直线AB的方程为：[y=2x+b]，

代入[x22+y24=1]，得[4x2+22bx+b2-4=0]，

所以[Δ=8b2-16（b2-4）>0]，解得[b2<8].

设A[x1，y1]，B[x2，y2]，

则|AB|=[1+22][x1+x22-4x1x2]=[34-b22]，

点P到直线AB的距离[d=b3]，

∴ [SΔPAB=12AB?d=12b?][4-b22]

=[122-b2-42+16][≤][2]，

当且仅当b=±2时取等号，所以△PAB面积的最大值是[2].

总结 （1）选择合适的三角形面积表达式：①直接法：[SΔABC=12×底×高]，其中求底一般用到弦长公式，求高一般用到点到直线的距离公式；②割补法：用垂直于坐标轴的线段进行分割，并将垂直于坐标轴的线段当三角形的底边，高用点坐标表示.

（2）关于面积目标函数中变量的选择：①选择点坐标作为变量；②选择直线的斜率作为变量；③选择直线的截距作为变量；④同时选择直线的斜率和截距作为变量.

（3）关于直线方程形式的设法：①[y=kx+b]；②[x=my+n]. 选择不同直线方程的形式，可以起到减少分类讨论和简化运算的效果.

（4）面积目标函数最值的常见求法：一元函数法、基本不等式法、线性规划、三角换元法、代数换元法.

[椭圆中的四边形面积最值]

例3 设椭圆中心在坐标原点，点A（2，0），C（0，1）是它的两个顶点，直线[y=kx（k>0）]与椭圆相交于B，D两点，求四边形ABCD面积的最大值.

[O][y][x][B][A][D][C]

解析 因为点A（2，0），C（0，1）是椭圆的两个顶点，所以椭圆的方程为[x24+y2=1].由椭圆的对称性知，点B，D关于原点对称，设点B（x0，y0）（x0>0），则[x204+y20=1]，即[x20+4y20=4]. 设四边形ABCD的面积为S，则S=S△ABD+ S△BCD

=2S△AOB+2S△COB=|OA|[?]y0+|OC|[?]x0=2y0+x0. 接下来可以用两种方法处理：

方法一（三角换元）：

∵ [x204+y20=1]，可设x0=2cos[θ]，y0=sin[θ]，

∴ S=2y0+x0=2sin[θ]+2cos[θ]=2[2]，

sin（[θ]+45°）≤2[2]，当且仅当[θ]=45°时取等号. 故四边形ABCD面积的最大值是2[2].

方法二（利用基本不等式）：

[S=2y0+x0=（x0+2y0）2]=[x20+4y20+4x0y0]

=[4+2?x0?2y0≤][x20+4y20+4]=2[2]，

当且仅当2y0=x0=[2]时取等号.

故四边形ABCD面积的最大值是2[2].

总结 椭圆中的四边形面积常见处理技巧是将四边形分割成若干个三角形的面积之和，再利用前面所讲的三角形面积计算技巧来处理. 此题将四边形ABCD的面积表示成关于点B的坐标（x0，y0）的二元函数，再利用基本不等式或参数求最大值，是本题的解题技巧，若将四边形ABCD的面积表示成关于k的函数，则运算量要大许多. 当然，本题还可以以AC为分割线，将四边形ABCD的面积转化为两个三角形△ACB和△ACD的面积之和.

[与椭圆面积有关的其他问题]

例4 已知点A（0，-2），椭圆E：[x2a2+y2b2=1]（a>b>0）的离心率为[32]，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为[233]，O为坐标原点.

（1）求E的方程；

（2）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程.

解析 （1）设F（c，0），由条件知，[2c=233]，得[c=3].

又[ca=32]，所以a=2，b2=a2-c2=1.

故E的方程为[x24+y2=1].

（2）当l⊥x轴时不合题意，故可设l：y=kx-2，P（x1，y1），Q（x2，y2）.

将y=kx-2代入[x24+y2=1]，

得（1+4k2）x2-16kx+12=0，

当Δ=16（4k2-3）>0，

即k2>[34]时，x1，2=[8k±24k2-34k2+1]，

从而|PQ|=[k2+1]|x1-x2|=[4k2+1·4k2-34k2+1].

又点O到直线l的距离d=[2k2+1].

所以△OPQ的面积S△OPQ=[12]d·|PQ|=[44k2-34k2+1].

设[4k2-3]=t，则t>0，S△OPQ=[4tt2+4]=[4t+4t].

因为[t+4t]≥4，当且仅当t=2，即k=±[72]时等号成立，满足Δ>0，

所以，当△OPQ的面积最大时，k=±[72]，

l的方程为y=[72]x-2或y=-[72]x-2.

通过以上几个例子，我们发现解决椭圆中的面积最值问题往往采取割补法表示图形的面积，再利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想等数学思想方法，将它转化为解不等式或求函数最值，以及利用函数的单调性、各种平面几何中最值的思想来解决. 同时分割方法的不同、设未知元的不同，会导致运算的繁简不同，在解题时应注意方法的优化.