椭圆中的离心率最值问题

柯淑芳

椭圆中的离心率最值问题是解析几何中的重点和难点，往往借助于图形的性质、椭圆的范围、正余弦函数的有界性、均值不等式等来构造关于a，b，c的不等式，从而达到求解的目的. 本文主要研究如何利用椭圆焦点三角形中的角求解椭圆中的离心率最值问题.

首先给出一些关于椭圆焦点三角形的相关概念和性质如下：

椭圆上任意一点P与两焦点所构成的三角形，称为焦点三角形.

性质1 若[F1，F2]是椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的两个焦点，[P]是椭圆上一点，且[∠F1PF2=θ]，则[SΔF1PF2=b2tanθ2].

[P][F1][F2][x][y][θ] [O]

证明 设[PF1=m]，[PF2=n]，

由余弦定理得[m2+n2-2mncosθ=F1F22=4c2，]

由椭圆定义得[m+n=2a，]

由上得：[mn=2（a2-c2）1+cosθ=2b21+cosθ]，

[∴][SΔF1PF2=12mnsinθ=b2sinθ1+cosθ=b2tanθ2].

性质2 已知椭圆方程为[x2a2+y2b2=1（a>b>0），]两焦点分别为[F1，F2，]设焦点三角形[PF1F2]中[∠F1PF2=θ，]则[cosθ≥1-2e2]（当且仅当动点为短轴端点时取等号）.

证明 在[△F1PF2]中，由余弦定理可知

[cos∠F1PF2=PF12+PF22-F1F222PF1?PF2]

[=（PF1+PF2）2-2PF1?PF2-4c22PF1?PF2]

[=2a2-2c2PF1?PF2-1≥2a2-2c2PF1+PF222-1]

[=2a2-2c2a2-1=1-2e2].

性质3 已知[B]为椭圆短轴的端点，[F1，F2]为椭圆的两个焦点，[O]为坐标原点. ①[sin∠F1BO=ca=e]，②[P]为椭圆上任意一点，当[P]位于短轴端点时[∠F1PF2]达到最大值即[∠F1BF2≥∠F1PF2].

[P][B][F1][F2][x][y][θ] [O]

例1 [F1，F2]为椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的左右焦点，若椭圆上存在点[P]，使得[∠F1PF2=π2]，求椭圆离心率[e]的取值范围.

解法一 设[B]为椭圆短轴上的一个端点，

则[∠F1BF2≥∠F1PF2=π2].

所以，[∠F1BO≥π4].

所以，[sin∠F1BO=ca=e≥22].

又因为[0解法二 利用余弦定理，∵[∠F1BF2≥90°]，

∴[cos∠F1BF2=a2+a2-4c22a2≤0]，

即[a2≤2c2]，∴[e=ca≥22]，

∴[e∈22，1].

解法三 由焦点三角形的性质可知

[S△F1PF2=b2tan45°]，

∴[b2≤S△F1PF2=12?2c?b=bc]，即[b≤c]，

∴[b2≤c2]，∴[a2-c2≤c2]，

∴[e∈22，1].

解法四 由焦半径公式得

[PF1=a+ex0]，[PF2=a-ex0]，

由勾股定理得[（a+ex0）2+（a-ex0）2=4c2]，

即[x02=2a2-a2c2≥0]，

∴[e=ca≥22]，

∴[e∈22，1].

解法五 利用均值不等式，设[PF1=m，PF2=n]，

∴[m2+n2=4c2]，

又[2a=m+n]，

∴[4a2=m2+n2+2mn≤2（m2+n2）=8c2]，

即[a2≤2c2]，∴[e=ca≥22]，

∴[e∈22，1] .

点评 在这五种解题方法中，主要从两个方向构造不等式最终得到椭圆离心率的最值，一个是角度（如解法一、二、三），另一个是长度（如解法四和五）. 显然，用长度构造计算量稍大些；用角度构造，特别是利用焦点三角形的性质直接计算简单方便得多.

下面看看利用椭圆焦点三角形的角度求离心率最值的应用.

例2 已知椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的两焦点分别为[F1，F2，]若椭圆上存在一点[P，]使得[∠F1PF2=120°，]求椭圆的离心率[e]的取值范围.

解析 由椭圆焦点三角形性质可知

[cos120°≥1-2e2，] 即[-12≥1-2e2]，

于是得到[e]的取值范围是[32，1].

例3 [F1，F2]为椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的左右焦点，[P]是椭圆上一点，且[SΔPF1F2=33b2]，求椭圆离心率[e]的取值范围.

解析 由焦点三角形的性质得

[SΔPF1F2=b2×tan12∠F1PF2]，可以得到[∠F1PF2=π3]，

∴[cosπ3≥1-2e2]，

即[12≥1-2e2]，

∴[e∈12，1].

总之，利用椭圆焦点三角形中的角求椭圆中的离心率最值可以更加简便，为我们节省了解题的时间，而归根到底椭圆焦点三角形的角的特殊性质还是抓住课本——椭圆的定义[PF1+PF2=2a][2a>F1F2]，再结合正余弦定理或勾股定理，由边的关系找出a与c的关系，从而求出离心率的最值或取值范围.