例谈说题的实践与思考

赵雁泉

摘 要： 从“说课”到“说教学片断”再到“说题”，教研活动中的“说”的范围在逐步缩小，却更有实效。“说题”能够充分展示教学问题及解决问题的过程，还能够通过一题多a，一题多变，一题多用揭示数学思维的过程，提高学生解决问题的能力，实现数学课堂轻负高质的效果。教师说题活动能够促进参与者深入研究题目功能及教学策略，更能践行有效课堂教学，深入教学的研究和反思，促进教师的专业成长。

关键词： 说题 变式 解决问题 数学思维 创新能力

一、说题的背景

观察当前的课堂发现，大多数教师仍以“基本知识，基本技能”教学为主，对学生的数学思维和创新能力培养体现不够。老师们经常埋怨把以前做过、讲过的题目，再拿给学生做，学生又不会了。我认为这主要是因为教师在第一次讲解这些题目时，对题目功能的挖掘不够。就题论题，做一题，换一题，使学生的思维跟着跳跃。或者是教师在讲解时，只告诉学生怎么做，而没有呈现为什么这么做的思维过程，导致学生不能真正深入理解知识、方法，缺乏举一反三，融会贯通。所以，教师研究题目，研究解题教学，提高课堂教学效率是一项重要工作。在遇到新问题时，如何帮助学生找到条件和结论之间的逻辑联系和桥梁，提高学生分析问题、解决问题的能力，发展数学思维，成了我常常思考的问题。笔者今年有幸参加了杭州市说题比赛、展示活动，我深刻体会到说题能够促进教师深入挖掘题目功能，研究解题教学策略，从而提高课堂教学质量。教师为了说题会进行深层次备课，突出问题解决的过程，特别是揭示思维展示的过程，归纳问题的典型特性，教学目标从原来的“双基”到“四基”，体现发展学生的数学思维和创新意识。因此，说题活动是教师改变当前课堂状况的有效策略之一。

二、说题的定义

在说题之前，先进行解题，解题后，把题目的功能，如何审题、分析、解答、变式、拓展和回顾的思维过程按一定的规律和顺序加以叙述，这就是说题。说题时间一般控制在10分钟左右，不超过15分钟。说题分为“教师说题”、“教师和学生互动说题”和“学生说题”等。本文主要和大家交流教师说题。在我看来，教师说题更是一种教学教研活动，是促进教师专业发展的有效途径。教师说题是类似于说课的一种教育教研展示和讨论活动，是说课的延续和创新，但是比说课更有针对性，是一种更深层次备课后的展示。

三、说题的作用

说题能促进教师精选题目，并充分研究和挖掘题目功能，完善教学方法，精简讲练，这在一定程度上能够避免题海战术，实现教与学的轻负高质。

（一）说题促进教师更深层次的备课，有利于提升教师的学科专业素养。

说题之前，教师要进行一系列的准备工作，如：仔细查阅相关资料，认真学习相关的理论，深刻研究学科知识结构与分类，了解关于问题的来源，研究问题考查的目的，考查的知识、思想方法、解题经验等。这对于教师把握整个教材体系和课标及对学生的了解的要求更高，思维能力要求更强。说题要求教师理论与实践的结合，说题能使教师不仅注重结果，更注重过程教学，同时也注重开放式教学。所以说题能有效提高教师的专业能力、教学能力和教研能力，有利于提升教师的学科专业素养。

（二）说题改变课堂教学方式，有助于提高学生解决问题的能力。

说题改变了教师的教学方式，也就改变了学生的学习方式。学生会在教师的潜移默化下，学会用分析法和综合法分析问题；学会用多种方式解决一个问题，并举一反三；学会从中知道这道题所包含的理论层面的知识，解决一类问题，一题多用。这样既能够培养学生的数学思维，提高学生解决问题的能力，又能够培养学生敢于探索和创新的精神，提升学生的数学素养。

（三）说题是提高教研活动效率的有效途径之一。

听一节课需要40～45分钟，而说题只需10分钟左右，所以说题时间短，切口小，但涉及的方面多。一次教研活动可以有多人进行说题展示，所以说题活动是一种有效的教研形式。教师“说”数学问题的解决方法和策略，实质是展示自身的理论功底，数学知识的掌握程度，以及数学方法的理解能力和数学教学的前瞻性。通过课堂的具体实践，又使教师自身的教育理论得以提炼，也给旁人提供参考，使集体的智慧得以充分发挥。说题者要努力寻求现代教育理论的指导，评价者也要努力寻求说题教师的特色与成功经验的理论依据，说评双方围绕着共同的课题达成共识，达到取长补短、优势互补的效果，说题者得到反馈，进而改进、提高和完善自己的教学方案；听者从中得到比较、鉴别和借鉴，得到案例示范和理论滋养两方面的收益，营造了良好的教研氛围。

四、说题的实践

下面以笔者参加杭州市说题展示活动为例，阐述说题的过程。

（一）说题引入。

《数学课程标准解读》明确指出初中数学课程应当注重发展学生的空间观念，形成几何直观能力，发展合情推理和演绎推理能力。几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有很大的作用。下面看一个几何问题。

（二）题目呈现。

如图，E，F分别是正方形ABCD的边DC，CB上的点，且DE=CF，以AE为边作正方形AEHG，HE与BC交于点Q，连接DF。

（1）若E是CD的中点，求证：Q为CF的中点；

（2）连接AQ，设S=S，S=S，S=S，在（1）的条件下，判断S+S=S是否成立？并说明理由.

（三）题目赏析。

1。题目来源：本题改编自2015年四川省资阳市中考数学试题的第23题。

2。题目功能：本题注重考查的知识有正方形的性质，全等和相似三角形的判定与性质，勾股定理。本题需要学生具备的基本能力是直观理解能力、观察分析能力、逻辑思维能力和问题转化能力。本题所用的基本思想方法是数形结合思想和转化化归思想。本题使学生获得的基本活动经验是学会用分析、综合法找到条件和结论之间的逻辑关联，善于从复杂图形中分解出常用图形。

3。学情分析：学生往往能熟练掌握全等的判定和性质，也能发现相似三角形，但是，多次相似的转化难度较大，不能很好地与勾股定理结合，转化综合分析能力欠缺。

（四）解法分析。

解法分析不仅要讲清楚如何解题，更要展现为什么要这样解题的思维过程，同时也要用多种途径解决问题。

1。第一小题的解法：

（1）解法一：用平行线分线段成比例定理

思维分析过程有两种：

①执果索因：

②由因导果：

（2）解法二：用相似三角形的判定和性质

将待证结论转化为证明QC：CE=1：2，由题目的条件可知DE：DA=1：2，所以只要证QC：CE=DE：DA，那么就需要证明△QCE∽△EDA。

2。第二小题的解法：

（1）解法一：相似三角形面积比等于对应边之比的平方，结合勾股定理。

思维过程是：面积问题相似三角形面积比

S+S=S？坩+=1？坩+=1？坩△CQE～△QEA～△EDA

（2）解法二：代数法。

设CQ=QF=a，那么CE=DE=2a，AD=4a，我们可以求得S=a，S=4a，S=5a，从而得到S+S=S。这里，用代数方法非常简洁明了。

（3）解法三：面积的割大和补小。题目结论S+S=S中有“+”号，一般想到面积的割大补小。

①面积的割大：将△ADE沿着AE所在的直线对折，证明点D与点I重合，然后证明△QCE≌△QIE，从而得到S+S=S。

②面积的割小：将△QCE绕着点E顺时针旋转180度，易证点A、D、Q′共线。△QCE的面积转化到△Q′DE，然后证明△Q′AE≌△QAE，从而得到S+S=S。

一题多解是对同一问题寻求不同的解决方法，多角度思考问题，培养学生的发散性思维和创造性思维。但是教师不能盲目追求解法多样性，而是应该引导学生从解题思路差异性、解题过程简洁性、解题思维优越性三方面进行比较，选出最优化的方法，力求简单、直接。

（五）变式拓展。

数学本身也是主体建构的产物，她应该是活的，动态的，开放的，表现多维度的。一个问题的多种变化，其中既包括解题过程中的各种铺垫，又包括对原问题的各种引申，如：改变条件，改变结论，一般化等。既然知识学习是一个建构的过程，那么就要突出学习者的主体作用，《数学课程标准解读》要求我们关注学生的个体差异，让不同层次的学生获得不同的发展。

1。针对学困生的变式拓展，重在基本图形的探究。以下三个变式，为学生能从复杂图形中分解出基本图形，并能分析其中基本元素及其关系积累活动经验。

变式1。基本图形：全等

已知：正方形ABCD中，DE=CF，求证：△ADE≌△DCF。

变式2。基本图形：一线三直角

已知：Rt△ADE与Rt△ECQ，且AE⊥QE，求证：△ADE∽△ECQ。

变式3。基本图形：一线三等角

已知：△ADE与△ECQ，且∠C=∠AEQ=∠D，求证：△ADE∽△ECQ。

针对学困生，我们要善于退，退到原始而不失重要性的地方，容易看清问题的本质。

2。针对中等生的变式拓展：将正方形变为菱形，其他条件不变。

变式4：如图，E，F分别是菱形ABCD的边DC，CB上的点，且DE=CF，以AE为边作菱形AEHG，HE与BC交于点Q，连接DF。

（1）若E是CD的中点，求证：Q为CF的中点；

（2）连接AQ，设S=S，S=S，S=S，在（1）的条件下，判断S+S=S是否成立？并说明理由.

思路分析：将△QCE的面积转化到△Q′DE，然后证明△Q′AE的面积与△QAE的面积相等，从而得到S+S=S。

针对中等生，我们还可以将特殊问题拓展到任意情况。

变式5。如图，E，F分别是正方形ABCD的边DC，CB上的点，且DE=CF，以AE为边作正方形AEHG，HE与BC交于点Q，连接AQ，设S=S，S=S，S=S。

（1）当CE=CD时，探究S，S，S的关系式，并说明理由。

（2）当CE=CD时，探究S，S，S的关系式，并说明理由。

（3）当CE=CD时，探究S，S，S的关系式，并说明理由。

思路分析：将中点变为三等分点，四等分点甚至N等分点，条件开放。E点位置改变，△QCE和△MDE不再全等，而是相似，面积的比值就是对应边的平方比。我们仍然可以用几何代数相结合的方法找出面积的数量关系。从特殊推广到一般，得到四等分点和N等分点的时候的面积数量关系。

（1）当CE=CD时，延长QE交AD的延长线于点M，可证△CEQ∽△DEM，由相似三角形面积比是对应边之比的平方，得到：S=4S，我们还可以得到△AEM的面积是△AEQ面积的两倍，因此我们得出结论：2S=S+4S。

运用从特殊到一般的思想，我们不难得到：

（2）当CE=CD时，延长QE交AD的延长线于点M，同理：3S=S+9S。

（3）当CE=CD时，延长QE交AD的延长线于点M，同理：（n-1）S=S+（n-1）S。

3。针对学优生，我们可以将E点变为动点，变式拓展为动态几何的问题。

变式6。正方形ABCD的边长为1，E为线段CD上的动点，以AE为边作正方形AEHG，HE与BC交于点Q。当点E从C向D运动时，求线段CQ的长度的最大值。

思路分析：在点E从C向D运动过程中，我们发现△CQE∽△DEA一直存在，用函数与方程的思想就能解决问题。设CE=x，DE=1-x，CQ=y，利用△QCE∽△EDA列出对应边成比例的方程式，就能得到函数式：y=x-x=-（x-）+，最后用二次函数的图像与性质求出最大值。

变式7。如图，E，F分别是边长为a的正方形ABCD的边DC，CB上的点，且DE=CF，AE与DF交于点P，连接BP。当点E在直线CD上移动时，求BP的最小值。

思路分析：当E在直线CD上任意移动，保持DE=CF，那么运动过程中一直有△CDF≌△DAE，因此AE⊥DF恒成立。我们可以得到点P的运动轨迹是：在以AD为直径的圆上运动（记线段AD的中点为圆心O）。所以，BP的最小值就是当BPO共线的时候最短，BP的最小值为。这里用的是转化与化归的思想。

（六）反思回顾。

数学思想方法是学生对数学的知识内容和所使用方法的本质认识。通过数学学习，使学生形成数形结合，转化化归，从特殊到一般，函数与方程等思想是数学课程的重要目的。

“图形与证明”，对培养学生逻辑思维能力的作用显而易见。如何引导学生探索图形的性质，在数学活动中不断发展合情推理，并体会到证明的必要性，理解证明的基本过程，掌握演绎推理的基本格式是初中“空间与图形”学习的重点。学生通过灵活综合应用知识，感悟数学思想方法，积累基本活动经验，提高解决问题的能力。

五、说题的成效

杭州市及各区教师开展说题研究已经进行了多年，市、区多次进行了说题比赛和研讨。经过这么多年的说题锻炼，教师的学科专业素养得到了很快提升，学生分析问题、解决问题的能力也有了明显提升。

（一）说题活动促进了教师迅速成长。

前阵子，笔者有幸担任区中级评职模拟上课的评委，发现工作才六年的青年数学教师在分析例题环节比以前有了很大的进步。他们淋漓尽致地展示了例题解决的思维过程，而不是直接告诉学生如何解，而且他们对例题都及时进行了变式拓展，这让在场的评委都很欣喜。近年来，说题活动通过层层选拔，次次观摩，促进教师对教材、习题、试题、问题教学进行钻研。只有教师对教材和练习了然于胸，注重问题解决思维过程，才能高屋建瓴，发展学生思维。说题有效促进了教师的专业化成长。

（二）说题活动提高了学生解决问题的能力。

平时上课，我班的学生在回答如何解决问题时，经常会出现这样回答：

“我是从结论出发，一步一步倒推后找到这个思路的。”

“我是从这个已知条件入手，想到……”

“我是从另一个条件入手，找到了和他不同的解题方法……”

“老师，我发现这个题目可以把这个特殊条件：中点，去掉，换成一般条件：任意一点，结论仍然成立。”

……

也就是说，在教师的潜移默化下，学生学会了解决问题的思考方式。学生的数学学习活动不再是被动接受、记忆、模仿和练习。通过教师说题，学生也能学会说题，会用不同的途径解决同一个问题，还会用同一个方法解决不同的问题。学生学习变得更主动积极，思维能力和创新意识得到了培养和发展。

六、说题的反思

（一）说题要避免模式化，应该突出个性。

说题有一般的模式，但是也不应太程式化，教师说题对题目的处理要有独到之处，彰显极富创意之处，只有这样，才能给人耳目一新的感觉，焕发说题的活力。说题需要有“亮点”，不管哪种形式的说题，一定要力求重点突出，把体现本题个性特色的元素充分展示出来，这样才能使听者更好地了解说题的特点，才能发挥说题的特有功效。一个有特色的多媒体课件也可以让说题更精彩。说题是说者和听者的双边活动，无论在说题中采用哪种方法，都需要教师用丰富的情感激发听者的兴趣和热情。

（二）说题的板书要简练得当。

说题因时间有限，所以说题者不需把说的所有内容都板书在黑板上，只要把一些主要的解题环节板书在黑板上即可，使听者能听懂，但又不繁琐。

（三）教师的解题能力有待提高。

中国古代文学家教育家刘勰说：“操千曲而后晓声，观千剑而后识器。”要有高质量的、精彩的说题，教师自身有较强的解题能力是关键，否则是无米之炊。所以，教师平时要多解题，多研究题，当然也要研究课标，研究中考的方向。

参考文献：

[1]全日制义务教育数学课程标准解读[M]。北京师范大学出版社，2002。

[2]变式教学研究[J]。数学教学，2003（01）。

[3]说课最需要什么[M]。南京大学出版社，2010。