高考数学中的“方案设计问题”

罗雅玲

高中数学课程标准突出体现基础性、普及性和发展性，强调从数学现实出发，让学生将亲身经历过的买卖问题抽象成数学模型并进行数学理解与应用；学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识；形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神.

为与此相适应，应用问题在中考试题中的比重日渐增大.近年来全国各地中考试题或模拟卷的应用题中，“方案设计问题”不拘泥于传统的思想和方法，而是从现实角度出发、挖掘其中蕴含的大量的数学信息，进而有效考查学生从数学的角度运用所学的知识和方法解决问题的能力，探索数学的应用价值，因而备受关注.

1.方案的设计

商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元.

（1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件恰好用去2700元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？

（2）该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润（利润=售价-进价）不少于750元，且不超过760元，请你帮助该商场设计相应的进货方案.

答案：解：（1）设该商场能购进甲种商品x件，根据题意，得15x+35（100-x）=2700

解得：x=40

乙种商品：100-40=60（件）

答：该商品能购进甲种商品40件，乙种商品60件.

（2）设该商场购进甲种商品a件，则购进乙种商品（100-a）件.根据题意，得20-15a+45-35（100-a）≥75020-15a+45-35（100-a）≤760.

因此，不等式组的解集为48≤a≤50a.

根据题意，a的值应是整数，∴a=48或a=49或a=50

∴该商场共有三种进货方案：

方案一：购进甲种商品48件，乙种商品52件；

方案二：购进甲种商品49件，乙种商品51件；

方案三：购进甲种商品50件，乙种商品50件.

点评：应用函数化的方案设计是近年来中考的特点，商场购物这一日常生活问题，若利用一元一次方程或一元一次不等式组对数据处理，则不仅体现初、高中数学知识衔接，而且引导学生关注社会，有益于方案的设计.

认知心理学研究表明，学生的知识形成过程是外来信息与学生原有知识和思维结构相互作用的过程，学生的数学能力是通过活动作为中介形成的，在活动中思考，在活动中创新，在活动中得到发展.

布鲁纳主张以主动探索活动发现客观知识体系中的逻辑结构，实现对知识掌握的深入，发展学生的能力.

高中数学课程倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式.这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程.

2.方案的运用

某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料全部生产A、B两种产品共50件，生产A、B两种产品与所需原料情况如下表所示：

（1）该工厂生产A、B两种产品有哪几种方案？

（2）若生成一件A产品可获利80元，生产一件B产品可获利120元，怎样安排生产可获得最大利润？

解：（1）设工厂可安排生产x件A产品，则生产（50-x）件B产品由题意得：

9x+4（50-x）≤3603x+10（50-x）≤290

解得30≤x≤32.

∴有三种生产方案：①A：30件，B：20件②A：31件，B：19件③A：32件，18件.

（2）方案①A，30件，B，20件时，20×120+30×80=4800（元）.

方案②A，31件，B，19件时，19×120+31×80=4760（元）.

方案③A，32件，B，18件时，18×120+32×80=4720（元）.

故方案①A30件，B20件时，利润最大.

点评：分类讨论是一种重要的数学思想方法，本题是市场方案设计分类，使学生灵活、综合地应用数学认知进行问题解决，对问题作出较好的思维决策.生活中数学无处不在.中考试题应用题中的“方案设计问题”让学生在用数学中学习数学，培养了科学精神和进行科学研究的能力，提高了应用数学知识解决实际问题的敏锐性和创造性，激发了学习兴趣，也提高了学习能力，值得关注.

新课程倡导的课堂教学不再是教师传授给学生解决问题的思路、途径、方法，学生的数学学习活动不再是接受、记忆、模仿和练习，而是学生在教师的组织、引导下，通过动手实践、合作交流、阅读自学等途径自主探究问题解决的思路、途径、方法.新课程强调，学习是教与学的交往、互动，师生双方相互交流、相互启发、相互补充，在这个过程中教师与学生分享情感、体验与观念，丰富教学内容，求得新的发现，从而达成共识，达到共享、共进，实现教学相长和共同发展.对学生而言，这意味着主体性的凸显、个性的表现、创造性的解放.在学习方式上，新课程倡导的是积极主动、勇于探索的学习方式.

指导教师：周明墩